第9章压杆稳定
材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
第 九 章 压 杆 稳 定
第 九 章 压 杆 稳 定知识要点1 压杆稳定性的概念压杆稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。
压杆的临界压力是指压杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。
一般由cr F 表示。
2 细长中心受压直杆的临界压力在线弹性和小变形条件下，有着不同杆端约束的细长压杆的欧拉临界压立公式可统一写成()22cr l EI F μπ= 式中，系数μ称为压杆的长度因数，与杆端的约束条件有关。
l μ称为压杆的相当长度，其物理意义是指压杆的挠曲线两个拐点之间的直线距离。
各种常见支撑条件下细长压杆的相当长度和长度系数列于表9-1中。
3 压杆的临界应力总图（1）压杆的柔度（长细比）il μλ= （2）临界应力总图：表示压杆的临界应力随柔度不同而变化的曲线，如土9-1所示。
4 三类压杆的临界力（1） 大柔度杆()P λλ≥临界压力和临界应力按欧拉公式计算()22cr l EI F μπ=22λπσEI cr = il E P p μλσπλ==,2 表9-1各种支撑约束条件下等截面细长压杆临界力的欧公式（2）中柔度杆()P S λλλ≤≤当压杆的临界应力超过比例极限时，压杆的临界应力的计算需按折减弹性模量公式计算22λπσEI cr =式中，r E 为弹性模量，其表达式按压杆截面形式不同而异。
（3）小柔度杆()S λλ≤对于小柔度杆，已不是稳定问题，它属于强度问题，临界应力)(b s cr σσσ或=5 压杆的稳定计算（1）稳定条件 压杆横截面上的工作应力不得超过材料的强度，许用应力与稳定因数ϕ的乘积，即[]σϕσ≤=A F （2）稳定因数ϕ根据试验，有设计规范给出。
①在钢结构设计规范中，钢结构截面分为a,b,c 三类，其稳定因数ϕ被列入文献1的表9-2，9-3中。
②在木结构设计规范中，按树种强度等级给出两种ϕ的计算公式：a 树种强度等级为TC17,TC15 及TB20时2801175⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≤λϕλ，23000,75λϕλ=>b 树种强度等级为TC13， TC11 ，TB17及TB15时 2651191⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≤λϕλ， 2280091λϕλ=>，习题详解9-1 两端球形铰支的等截面细长压杆，按题9-1图(a)所示坐标系及挠曲线形状，导出的临界力公式为()22cr l EI F μπ= 试分析当分别取题9-1图(a)，(b)，(c)所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与题9-1图(a)情况下的相同，由此所得的cr F 公式又是否相同。
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。
②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。
③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。
④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。
⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。
3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。
原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。
这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。
随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。
19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。
例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。
弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。
从此稳定问题才在工程中得到高度重视。
§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。
（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。
（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。
（4）桁架结构的某些杆件。
（5）建筑物中的柱。
2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
2020年2月3日星期一
19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
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死亡。 ❖ 1907年加拿大跨度为548米的魁北克大桥在施工时倒塌（因弦杆
失稳），75名员工遇难。破坏从开始到结束只有15秒。
❖ 1925年原苏联的莫兹尔桥在试车时受压杆件失稳而破坏。
Fcr
Fcr
图(a)
I min
Iy
50 103 12
1012
4.17 109 m4
10 500 500
z 50
图(a)
z y
y
(4545 6) 等边角钢
图(b)
Fcr
2EImin （m1l）2
2 200 4.17
（0.7 0.5）2
67.14kN
图(b) Imin Iz 3.89 108 m4
种情况下杆系所能承受的最大载荷。
（a）
B
（b）
B
FA
CF
FA
CF
D 解：压杆BD：FN=F
Fcr
2EI
（ 2a）2
2EI
2a2
2EI
Fmax Fcr 2a2
D
四根压杆：FN
2F 2
Fcr
2E a2Biblioteka I2E a2I
Fmax
2Fcr
2 2E I
a2
§9-3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图
❖ 压杆的稳定性问题提出并在欧拉公式的基础上加以研究。
加拿大的魁北克(Quebec)桥
1907加拿大的魁北克(Quebec)桥倒塌现场
九江长江大桥 跨越长江的公铁两用（4车道加双线）桥。主跨216米，为中国当 时铁路钢桥跨度之最。钢梁设双层桥面，上层公路下层铁路。
2006沈阳世界园艺博园主入口广场的主题建筑“凤之翼”
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长压杆临界压力的计算 欧拉公式 §9-3 欧拉公式的应用范围 临界应力总图 §9-4 压杆的稳定校核 §9-5 提高压杆稳定性的措施
§9-1 压杆稳定性的概念
❖背景知识 ❖稳定的平衡与不稳定的平衡 ❖理想“中心受压直杆”
力学模型 临界压力 失稳 ❖总结 提升
Fcr （ 2mE2Il）m2in
2 200 38.9 （2 0.5）2
76.8kN
例题9.2 长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将b改为h后仍为
细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？
若改为与正
h h d
方形面积相
b
h
同的圆形呢？
解：
Fcr 正 Fcr 长
Fcr 正 Fcr 圆
2E I正
试验观察及思考
钢板尺：截面尺寸20×1，
许用应力[ s ]=196MPa
F 196 201 3920N
3920N
40N
问题的提出
松木板条：截面尺寸5×30，
抗压[ s ]=40MPa
F 40530 6000N 30N
6000N
300 300 30
1000
3920N
细长压杆
压杆
细长压杆
历史事件
x l
x
若 A 0 则压杆保持为直线平衡状态
必有： sin kl 0
y
y
则 kl n (n 1, 2,3,)
取 n 1 则 kl Fcr l
EI
即
Fcr
2EI
l2
Fcr
2EI
l2
欧拉在1774年提出的压杆稳定临界荷载计算公式
应用条件：
（1）理想“中心受压直杆”
（2）线弹性范围内
§9-2 细长压杆临界压力的计算 欧拉公式
M (x) Fcrw EIw M (x) Fcrw
w Fcr w 0 EI
x Fcr
w k 2w 0
k 2 Fcr EI
w Asin kx Bcos kx
边界条件： x0 w0 B0 x l w 0 Asin kl 0
w Fcr M (x)
F Fcr F Fcr
临界状态： 从稳定平衡过渡到不稳定平衡 的特定状态称为临界状态。
临界力：
稳定的平衡
临界状态下作用的压力Fcr称为临界力。
它是判别压杆是否会失稳的重要指标。
不稳定的平衡
失稳：中心受压直杆在临界力Fcr作用下，其直线形态的平衡丧 失了稳定性，称为失稳。其危害：突然性；使结构整体垮塌。
稳定的平衡与不稳定的平衡
稳定的平衡
不稳定的平衡
施加微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，撤去扰动后小球 能回到原来的平衡位置。
施加微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，撤去扰动后小球 不能回到原来的平衡位置。
理想“中心受压直杆”力学模型：
（1）材质均匀；
F Fcr
（2）杆轴为直线；
（3）压力沿轴线
❖ 1940年美国的塔科马桥刚完工4个月，在一场大风中，由于侧向 刚度不足而失去稳定，使整个桥梁扭转摆动而破坏。
❖ 1978年美国康涅狄格州哈特福市中心体育馆，在一场暴风雪中倒 塌，事故的原因也是个别压杆失稳。
❖ 1990年2月，某厂四楼接层会议室屋顶轻钢屋架因压杆失稳连同 屋面突然倒塌。当时，305人正在会议室开会，造成42人死亡， 179人受伤的特大事故。
（3）两端为球形铰支座
公式说明：
（1）Fcr与杆长成反比 （2） Fcr与杆件的EI成正比（I为压杆失稳方向的惯性矩I=Imin ） （3） Fcr与杆端约束有关 （4） Fcr与外加压力的大小无关
支承情况
Fcr （m2lE）I2
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 一端自由 横向相对移动
l l l l l
F
F
失
F
稳
时
挠
曲
线
形
状
F F
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2
l
EI
2
Fcr
2EI
(0.7l)2
Fcr
2EI
(0.5l)2
Fcr
2EI
(2l)2
2EI
Fcr l 2
长度因数μ m=1 m 0.7 m=0.5 m=2
m=1
例题9.1 求下列细长压杆的临界力，E=200GPa。
总结 提升
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住、来去无踪
如何显化它的作用呢？欧拉用13年的功夫，悟出 了一个捕捉它、显化它的巧妙方法 ——
用干扰力产生的初始变形代替它
F Fcr
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤走 了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
（m l）2 2EI长
（m l）2
2E I正
（m l）2 2 E I圆
（m l）2
h4
I正 I长
12 hb3
h b
3
8
12
I正 I圆
h4
12
d4
1
d2
2
12
4 d4
3
64
64
例题9.3 五根直径都为d的细长圆杆铰结成平面正方形杆系
ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两