高考数学-统计案例-1-回归分析的基本思想及其初步应用

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专项-统计案例

3.1回归分析的基本思想及其初步应用

知识点

1.回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．

2.线性回归方程：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其方程称为线性回归方程.

记回归直线方程为：a bx y +=，称为变量Y 对变量x 的回归直线方程，其中a b ，叫做回归系数．未知参数

b 和a 的最小二乘法估计分别为b

ˆ和a ˆ，给定一组数据()()()n n y x y x y x ,,........,,,2211，则a ˆ与b ˆ的计算公式为：()()()

∑∑∑∑====--=

---=n

i i n

i i

i n

i i

n x y

x n y x x x y

x x b

ˆ，x b y a

ˆˆ-=，其中∑∑====n

i i n i i y n

y x n

x 1

1,1，从而a bx +的估计表示为a x b y

ˆˆˆ+=. 3.相关关系的强弱：

（1）相关系数：给定一组数据()()()n n y x y x y x ,,........,,,2211，则变量间线性相关系数r 的计算公式为：

()()

∑∑∑∑∑∑======---=

----=

i n

i i i n

i i

i n

i i

y n y x n x y

x n y

x y

x x y

x x r 1

)((

（2）相关系数和相关程度：

两个变量的变化趋势线性相关关系

10≤

0ˆ>b 01<≤-r

一个变量增，另一个变量减

负相关(

)

0ˆ

0=r

无规律

不相关

当75.0≥r 时，通常认为两个变量有较强的线性关系. 4. 随机误差

线性回归模型⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝bx ＋a ＋e ，

E e ＝0，D e ＝σ2

，其中a ，b 为模型的未知参数，通常e 为随机变量，称为随机误

差．x 称为解释变量，y 称为预报变量．

3．残差分析

(1)残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1,2，…，n ，e ^

i 称为相应于点(x i ，y i )的残差．残差平方和()∑=-n

i i

ˆ越小，模型拟合效果越好

（2）残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标为样本编号，或i x 的数据，或i y 的数据，这样做出的图形称为残差图

4.相关指数：R 2＝1－∑n

i ＝1 (y i －y ^

i )2

∑n i ＝1 (y i －y )2

.，相关指数的值越大，模型的拟合效果越好.

注建立回归模型的基本步骤

1．确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．

2．画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)． 3．由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)． 4．按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．

5．得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．

题型一求线性回归方程

【例1】某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫