高中数学人教A版必修1分段函数问题的解答方法
常见分段函数问题求解策略
常见分段函数问题求解策略【方法综述】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．【题型展示】1．求分段函数的函数值例1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，则[(1)]f f =解：因为()21-=f ,所以[(1)]f f ()()51222=+-=-=f .解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．2．求解分段函数的解析式例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式．解： (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解：析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝25x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝25×50＝20(元)．(2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.则有⎩⎪⎨⎪⎧40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，解：得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝20，所以解：析式为y ＝15x ＋20，故所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ，0＜x ≤100，15x ＋20，x ＞100.解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象例3.已知函数()|21|f x x =+.（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数； （Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明).xyO【答案】（Ⅰ）121,2()121,2x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩ ；（Ⅱ）图象见解：析，定义域：R ，值域：[0,)+∞.【解析】（Ⅰ）121,2()121,2x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩（Ⅱ）图象如下图：观察得到定义域为R ，值域为[0,)+∞.解题策略（1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．（2）分段函数的定义域是各段函数解：析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．【针对训练】1．已知函数则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 1【答案】A 【解析】 由题得f(-1)=.故答案为：A2. 已知符号函数sgn= ,是R 上的增函数，，则（ ）A ． sgn sgnB ． sgn - sgnC ． sgn sgnD ． sgn- sgn【答案】B 【解析】 当时，，由单调性：，此时，当时，，此时：， 当时，，由单调性：，此时，所以.故选B.3.已知函数))((+∈N n n f 满足⎩⎨⎧<+≥-=100)],5([100,3)(n n f f n n n f ，则=)1(f （ ）A ．97B ．98C ．99D ．100【答案】B【解析】∵,98)101()]104([)99(,97)100(====f f f f f,98)99()]102([)97(,97)100()]103([)98(======f f f f f f f f ,97)98()]101([)96(===f f f f 依此类推，得98)1()97()99(==⋅⋅⋅==f f f ，∴选B.4．已知函数()()1,0{11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A . [)32ln2,2-B . []32ln2,2-C . []1,2e -D . [)1,2e - 【答案】A 【解析】作出函数f (x )的图象如图， 若m <n ,且f (m )=f (n )，则当ln (x +1)=1时，得x +1=e ，即x =e −1，则满足0<n ⩽e −1，−2<m ⩽0，则ln (n +1)=12m +1,即m =2ln (n +1)−2，则n −m =n +2−2ln (n +1)， 设h (n )=n +2−2ln (n +1)，0<n ⩽e −1则()2121'1111n n h n n n n +--=-==+++ ， 当h ′(x )>0得1<n ⩽e −1，当h ′(x )<0得0<n <1，即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln 2， 当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2，当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2，则3−2ln 2⩽h (n )<2， 即n −m 的取值范围是[3−2ln 2,2)，本题选择A 选项.5.已知函数 的图象如下图所示，则 的解：析式是________________．【答案】【解析】依据函数的图象，将函数的解：析式写为分段函数的形式为：.6.已知函数，若，则实数的值为__________．【答案】5【解析】由题可得：故答案为5.7.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＞10，f (f (x ＋6))，x ＜10，求f (5)的值．【答案】11【解析】∵5＜10，∴f (5)＝f (f (5＋6))＝f (f (11))， ∵11＞10，∴f (f (11))＝f (9)，又∵9＜10，∴f (9)＝f (f (15))＝f (13)＝11.即f (5)＝11.8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0x 2，x ＜0，作出此函数的图象．【答案】见解析.【解析】由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．9．画出分段函数的图象，并求，，的值．【答案】，，【解析】由题意画出分段函数的图象如下图所示．由分段函数的解：析式可得：，，．10.如图，已知底角为o 45的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为cm22，当一条垂直于底边BC（垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令x BF =，（1）试写出直线l 左边部分的面积)(x f 与x 的函数．（2）已知}4)(|{<=x f x A ，}32|{+<<-=a x a x B ,若B B A =⋃，求a 的取值范围．【答案】（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,2122x x x x x x y （2）}21|{≤≤a a【解析】（1）函数解：析式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,2122x x x x x x y（2）}30|{,4)(<<=∴<x x A x f ，由B A ⊆，得⎩⎨⎧≤-≥+0232a a 21≤≤∴a∴a 的取值范围为}21|{≤≤a a ．。
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
考点03 分段函数的4种求法(解析版)
专题二 函数考点3 分段函数的4种求法【方法点拨】分段函数的4种求法1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答. 三、【高考模拟】1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【解析】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．已知函数(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，则(1)f =（ ）A ．3B ．6C ．15D ．12【答案】C 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可； 【解析】解：因为(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，所以()()()11233215f f =+=⨯+=故选：C3．已知函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()1f -=（ ）A ．12B ．2C ．14D ．18【答案】C 【分析】根据函数的解析式，代入计算，即可求解. 【解析】由题意，函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，可得()()()211113224f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1f -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数各段的定义域求解. 【解析】因为20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，所以()()()110122f f f -====，故选：C 5．已知5,6()(4),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A ．6-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【分析】利用解析式可有()()(1)37f f f -==，利用已有的解析式可得(1)f -的值. 【解析】由题设有()()(1)372f f f -===， 故选：C.6．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()2f f =（ ）A ．26B ．17C ．8D ．-10【答案】B 【分析】利用分段函数的解析式，将自变量代入即可求解. 【解析】由21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2224f =-⨯=-， 所以()()()()2244117ff f =-=-+=.故选：B7．已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（ ）A ．4B ．16C ．32D ．64【答案】D 【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得； 【解析】解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +==== 故选：D8．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ）A ．52 B ．32C ．92D ．12-【答案】B 【分析】 先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【解析】 因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.9．设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （ ）A ．0B ．3C ．1D ．2 【答案】C 【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【解析】由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C10．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a <C ．2a >D ．R【答案】A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【解析】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.11．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解. 【解析】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集， 当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞， 则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意； 综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.12．已知()()()23200x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，方程()()2210f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根x 的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】画出函数的图象，求出22[()]()10f x f x +-=的根，结合函数的图象，求解即可．【解析】232(0)()(0)x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩的图象如图：方程22[()]()10f x f x +-=，可得()1f x =-，或1()2f x =， 由函数的图象可知：()1f x =-，有2个x 的值，1()2f x =，有一个x 的值， 所以方程22[()]()10f x f x +-=的根x 的个数是3．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根问题，考查分段函数的图象，解决本题的关键点是先由关于()f x 的一元二次方程解出方程根()1f x =-或1()2f x =，再画出分段函数的图象可得与1y =和12y =的交点个数，即为根x 的个数，考查学生数形结合思想和计算能力，属于中档题． 13．已知函数()1,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若()()2f f a =，则（ ）A ．1a =±B ．1a =-C ．0a ≤D ．0a <【答案】C 【分析】分0a <，0a =，0a >三种情况求解即可 【解析】当0a <时，()1f a =，得()()()12f f a f ==，当0a =时，()01f =，()()()12ff a f ==，成立，当0a >时，()1f a a =+，得()()()1112ff a f a a =+=++=，得0a =，不成立；所以0a ≤. 故选：C14．已知函数()22,1,,12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，则a =（ ）A ．1 BC．D ．32【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程即可得出结果. 【解析】当1a ≤-时，由23a +=，得1a =，舍去； 当1a 2-<<时，由23a =得a =a =当2a ≥时，由23a =得32a =舍去，综上，a =故选：B.15．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】由函数解析式，先计算()0f 的值，然后将其代入，由此得到关于a 的方程，求解即可. 【解析】 (0)2f =2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =故选：A 【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16．设f （x ）＝,012(1),1x x x x ⎧<<⎪⎨-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ）A ．14B ．54C ．14或54D ．2【答案】C 【分析】根据解析式分段讨论可求出. 【解析】解：∵(),012(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a a <<⎧⎪⎨=⎪⎩或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ． 17．已知函()f x ={222,0,,0,x mx m x x m x -+≤+>，若()()12ff =，则实数m的值为（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先求()11f m =+，分1m ≤-和1m >-，两种情况求()()1f f ，再计算实数m 的值.【解析】()11f m =+，当1m ≤-时，()10f ≤，此时()()()()()221112112f f f m m m m m =+=+-++=≠，故不成立；当1m >-时，()10f >，此时()()()()1112f f f m m m =+=++=，解得：12m =，成立. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数求自变量，本题的关键是求出()11f m =+后，需分两种情况，求实数m 的值.18．已知函数222,0,()1,0,x x f x x x ⎧->=⎨+⎩，若()2f a =，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-【答案】C 【分析】分类讨论a ，代入解析式可解得结果. 【解析】当0a >时，()222af a =-=，解得2a =；当0a 时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-． 故选：C19．已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是（ ）A ．0或2B ．4C ．1或4D ．1【答案】C 【分析】讨论()1f a ≤与()1f a >先计算()f a 的值；再讨论1a ≤与1a >计算a 值. 【解析】 由()()1ff a =，当()1f a ≤时，有()21f a=，则()0f a = ；当()1f a >时，有()2log 1f a =，则()2f a = ；由()0f a =，当1a ≤时，有20a =，a 无解；当1a >时，有2log 0a =，1a =不符合； 由()2f a =，当1a ≤时，有22a =，1a =；当1a >时，有2log 2a =，4a =； 综上所述：1a =或4a = 故选：C20．已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（ ） A ．52B ．213±或52 C．21或52D ．213-或52 【答案】D 【分析】分0a >和0a ≤两种情况求解 【解析】 解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =， 当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得21a =（舍去），或21a =-， 综上52a =或213a =-， 故选：D21．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+ 【答案】A 【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果. 【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符； 选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符； 选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符； 故选：A22．函数图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A 【分析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 【解析】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.23．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()212x f x x -=⋅ B ．()212x f x x -=⋅C ．()()1)f x x x =⋅- D ．()221x f x x =-【答案】A 【分析】利用()10f >可排除CD ，利用奇偶性可排除B ，由此得到结果. 【解析】当1x =时，()10f >，CD 中的函数()10f =，可排除CD ；由图象关于原点对称可知()f x 为奇函数，A 中()()212x f x x f x --=-⋅=-，满足奇函数定义；B中()()221122x x f x x x f x ---=⋅-=⋅=，满足偶函数定义，可排除B.故选：A.24．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________. 【答案】122675a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解. 【解析】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩， 解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -，()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2335g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且42169325a +≤， 解得122675a <≤， 当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值， 则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且9352559a -≤， 即715a <-，且44135a ≥-时，无解， 综上：a 的取值范围为122675a <≤.故答案为：122675a <≤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解.25．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________.【答案】4- 【分析】利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得即可； 【解析】解：当0x ≥时，()2xf x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+即0x =时，()f x 的最小值为1a +；当0x <时，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有02a<，所以0a <，则224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得4a =- 故答案为：4-26．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a ∴<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3). 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.27．已知函数21(),0()22,04x a x f x x x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[3,0)- 【分析】由二次函数的性质可得当04x 时，函数的值域刚好为[8-，1]，故只需1()2xy =-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得． 【解析】解：当04x 时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，011()8,()122a ---当1x =时，函数取最大值1，当4x =时，函数取最小值8-，又函数()f x 的值域为[8-，1]，1()2xy ∴=-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，1()2x y =-，0a x <单调递增，∴只需0182112a⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得30a -<故答案为：[3,0)-．28．设函数()()222,0,21,0.x a a x f x x x a x ⎧--+≤⎪=⎨-++->⎪⎩若()0f 是()f x 的最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】[)2+∞，【分析】由题可得要使()0f 是()f x 的最大值，只需满足020a a ≥⎧⎨-≤⎩即可.【解析】()0=0f ，当0x ≤时，()22y x a a =--+，对称轴为x a =，开口向下，当0x >时，221y x x a =-++-对称轴为1x =，开口向下，则此时在1x =取得最大值为2a -，要使()0f 是()f x 的最大值，则020a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，则a 的取值范围为[)2+∞，. 故答案为：[)2+∞，. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及其应用，其中解答题中涉及到二次函数的图象与性质的应用，以及分段函数的最值问题的求解方法，此类问题解答的关键在于正确理解分段的性质，合理列出相应的不等关系式.29．函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】54a ≤ 【分析】根据分段函数的解析式，先求出1≥x 时，函数的值域；再求出1x <时，函数的值域；根据题中条件，即可得出结果. 【解析】由题意，当1≥x 时，()2f x x =-显然单调递减，则()(]2,1f x x =-∈-∞；当1x <时，()2f x x x a =++是开口向，对称轴为12x =-的二次函数，则()1124f x f a ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，又函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，所以只需114a -≤，解得54a ≤. 故答案为：54a ≤.30．设函数31,0,()1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()1f f 的值为______．【答案】1 【分析】先计算(1)f ，再计算()()1f f 可得．【解析】由题意(1)110f =-=，所以((1))(0)1==f f f ． 故答案为：1．。
人教A版高中数学必修第一册 第2课时 分段函数【课件】
• 求分段函数函数值的方法
• 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后 代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
－2x，x＜－1，
1．已知函数 f(x)＝2，－1≤x≤1， 2x，x＞1.
(1)求 f－32，f21，f29，ff12； (2)若 f(a)＝6，求 a 的值．
题型 3 分段函数在实际问题中的应用
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长
温度为 15～20 ℃的新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关
闭后，大棚里温度 y(℃)随时间 x(h)变化的函数图象，其中 AB 段是恒温
阶段，BC 段是双曲线 y＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
• (2)条件：自变量x在不同取值范围内，有着 ____________；
• (3)结论：这样的函数称为分段函数．
• 【答案】不同的对应关系
微思考
• 分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系 不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
• 【提示】分段函数是一个函数而不是几个函 数．
|课堂互动|
• (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先 应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化 为分段函数，然后分段作出函数图象．
• (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象， 在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其 图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要 特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
• 对于应用题，要在分析题意的基础上，弄清变 量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根 据图象求关系式，则要分段用待定系数法求出，最 后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义 域的各个“分点”．
高中数学必修一 第3章 3.1 3.1.2 第2课时 分段函数
第2课时 分段函数学习 目 标核 心 素 养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．[答案] [0，＋∞)3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.8 [∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，∴f (7)＝f (f (12))＝f (9)＝f (f (14))＝f (11)＝8.]分段函数的解析式【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ， 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2； (2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时， f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．把本例条件改为“f (x )＝|x |－2”，再求本例的3个问题． [解] (1)f (x )＝|x |－2＝⎩⎨⎧x －2，x ≥0，－x －2，x <0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的值域为[－2，＋∞)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )[答案] (1)× (2)√2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2[当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。
新人教版高中数学必修第一册分段函数ppt课件及课时作业
f(1)＝3×1＋5＝8，f
f
－52＝f
－52＋1
＝f －32＝3×－32＋5＝12.
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 解得 a≥1 或 a≤－12， 即实数 a 的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞).
则23cc＋ ＋dd＝ ＝46， ， 解得cd＝＝20，， 所以f(x)＝2x，
x＋2，x<－1，
所以 f(x)＝x2，－1≤x≤2， 2x，x>2.
三
分段函数在实际问题中的应用
例3 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日 开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是 “一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰 墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每 生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝ 180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手 办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. 求 “ 冰 墩 墩 ” 玩 具 手 办 销 售 利 润 y( 万 元 ) 关 于 产 量 x( 万 盒 ) 的 函 数 关 系 式.(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总 价＝固定成本＋生产中投入成本)
延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－23∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－23 或2.
分段函数的几种常见题型及解法
例1
设
f
(
x)
1
2x
x, ,
x0 x0
，
则 f [ f (2)] （ C ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 3
4
2
2
例2 设函数 f (x)是定义在 R上的奇函
数，且
f
(
x)
log
g(
2(x x)
1)
, x0 , x0
则 g[ f (7)] （ ）
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
【类型二】有关奇偶性
例3
判断函数
f
(
x)
x 2 x
x 2
x
, ,
x0 x0
的奇偶性？
思考： 你会选择怎样的方法来判断？
【类型三】有关单调性
例4
如果函数
f
(
x)
(2
ax
a)
x
1
, ,
x 1 x 1
在R上为增函数，那么 a 的取值范
围是 ___[_32__,__2_)__
温馨提示：函数的单调性是相对于某 个区间而言的，反应在图象上，体现 的是在这个区间上的一种整体趋势。
五、作业布置
设函数
f
(
x)
x2
4x
,
x4
，
log2 x , x 4
若函数 y f (x)在区间(a , a 1)
上单调递增， 则实数a 的取值
范围是 ___________来自谢谢观赏 再见祝同学们学习愉快！
① ②
③
三、课堂练习
已知函数
f
(x)
2x1
2
, x 1
高中数学函数分段题解题技巧
高中数学函数分段题解题技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，而函数的分段则是函数的一种特殊形式。
分段函数在解题过程中常常出现，因此掌握解题技巧是非常重要的。
本文将介绍一些常见的函数分段题解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应对这类题目。
首先，让我们来看一个例子：已知函数f(x)如下所示：\[f(x) = \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\2x+1, & x > 0 \\\end{cases}\]我们需要求解f(x)的定义域、值域以及图像。
要求解定义域，我们需要注意到函数的定义域是指函数的自变量取值范围。
在这个例子中，我们可以看到函数f(x)在x小于等于0的时候是x的平方，在x大于0的时候是2x+1。
因此，函数的定义域可以表示为：x ≤ 0 或 x > 0。
也就是说，函数的定义域是整个实数集。
接下来，我们来求解值域。
值域是函数的因变量取值范围。
在这个例子中，我们可以看到当x小于等于0时，函数的值是x的平方，而x的平方是非负数，所以值域是[0, +∞)。
而当x大于0时，函数的值是2x+1，它的取值范围是(-∞, +∞)。
因此，整个函数的值域是(-∞, +∞)。
最后，我们来绘制函数的图像。
由于函数f(x)在x小于等于0和x大于0时的表达式不同，我们需要分别绘制这两部分的图像。
当x小于等于0时，函数的表达式是x的平方，这是一个开口向上的抛物线。
当x大于0时，函数的表达式是2x+1，这是一条斜率为2的直线。
因此，我们可以将这两部分的图像连在一起，得到整个函数的图像。
通过这个例子，我们可以总结出一些解题技巧：1. 注意函数的定义域和值域。
定义域是函数的自变量取值范围，值域是函数的因变量取值范围。
在分段函数中，不同的定义域和值域可能对应不同的表达式。
2. 绘制函数的图像时，需要根据不同的定义域和表达式来绘制不同的部分。
可以先绘制各个部分的图像，再将它们连在一起。
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优质资料---欢迎下载分段函数问题的解答方法所谓分段函数是指函数的定义域分为几段，且每一段的解析式又不一样的函数。
归结起来分段函数问题主要包括：①分段函数解析式的求法；②求分段函数值的基本方法；③分段函数值域与最值的求法；④分段函数单调性的判断（或证明）；⑤分段函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型。
各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。
那么在实际解答分段函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、 某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远处的B 地，在B 地停留1 12小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行走的路程S 表示成时间t 的函数；【解析】【知识点】①行驶问题的结构特征；②行驶问题中涉及的基本量及其关系；③解答行驶问题的基本思路与方法；④求函数解析式的基本方法。
【解题思路】问题是行驶问题，行驶问题的基本量包括行驶速度，行驶时间和行驶路程，这三个基本量的关系为，行驶路程=行驶速度⨯行驶时间；根据题意，问题中包含三个行驶过程：①从A 地出发到达B 地；②在B 地停留；③从B 地返回A 地，根据行驶路程=行驶速度⨯行驶时间分别求出三个过程行驶路程与时间的关系式就可得出结果。
【详细解答】问题中包含三个行驶过程： 52t ， 0<t ≤5，①从A 地出发到达B 地，S=52t ；②在B 地 ∴ S= 260， 5<t ≤132， 停留,S=260；③从B 地返回A 地,S=65(t-612)； 65（t-132）, 132<t ≤212， 2、已知f(x)=2x-1， g(x)= 2x ，（x ≥0），-1 ， (x ＜0)。
①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。
【解题思路】f 〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到f 〔g(x)〕也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数f 〔g(x)〕的解析式； g 〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-1≥0和2x-1＜0中x 的取值范围，从而得到函数 g 〔f(x)〕的解析式；【详细解答】 f(x)=2x-1， ∴f 〔g(x)〕= 22x -1，（x ≥0），g 〔f(x)〕= 2(21)x -，x ≥12， g(x)= 2x ，（x ≥0）， -3， (x ＜0)， -1， x ＜12； -1 ， (x ＜0），3、已知f(x)= ln(x+1)，（x ＞-1）， g(x)=-x+2。
11()2x -，（x ≤-1），① 求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕。
【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。
【解题思路】f 〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2＞-1或-x+2≤-1，且自变量的分段为x ＜3或x ≥3，从而得到函数 f 〔g(x)〕的解析式；g 〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到g 〔f(x)〕也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数 g 〔f(x)〕的解析式。
【详细解答】 g(x)=-x+2，f(x)= ln(x+1)，（x ＞-1），∴f 〔g(x)〕= ，（x ＜3），-ln(x+1)+2，（x ＞-1）， 11()2x -，（x ≤-1）， 11()2x -+，（x ≥3）； g 〔f(x)〕=- 11()2x -+2，（x ≤-1）；『思考问题1』（1）【典例1】是求分段函数解析式的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，掌握分段函数的性质和求函数解析式的基本方法；（2）【典例1】中1题是应用问题，解答时只需分辨清楚应用问题的类型，结合该类应用问题解答的基本方法就可求出结果；（3）【典例1】中2，3两题是求复合函数f(g(x))（或g 〔f(x)〕）解析式的问题，这类问题的特点是：①已知两个函数的解析式，其中一个函数是分段函数；② 求复合函数的解析式，涉及到确定自变量属于哪一段的问题；解答的基本思路是整体代入，由分段函数各段的定义域确定出分段函数中自变量x 的取值范围，再求复合函数的解析式。
〔练习1〕解答下列问题：1、函数f(x)=〔x 〕的函数值表示不超过x 的最大整数，例如〔-3.5〕=-4，,〔2.1〕=2，当x ∈（-2.5,3〕时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图像；2、已知f(x)=3x-6， 2x +x （x ≥0）g(x)=1 (x ＜0)①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；3、已知f(x)= 2x-1，g(x)= 2x -3x+2，求f 〔g(x)〕。
【典例2】解答下列问题：1、设函数f(x)= 2x +1，x ≤1，则f(f(3))=（ ）A 15 2x ，x ＞1，B 3C 23D 139【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】根据自变量3，确定求函数值的解析式，并求出f(3)的函数值，把求出的结果作为自变量，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。
【详细解答】3>1，∴ f(3)= 23，23≤1，∴ f(23)=49+1=139，⇒ f(f(3))= 139，⇒ D 正确，∴选D 。
2、设函数f(x)= 3x-1，x ＜1，则满足f(f(a))= ()2f a ，的a 的取值范围是（ ）2x ，x ≥1，A ［23，1］B ［0，1］C ［23，+∞） D ［1，+∞） 【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③指数函数的定义与性质；④参数分类讨论的原则与方法。
【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，应该从a ≥1和a<1两种情况考虑去解答问题。
【详细解答】①当a ≥1时，f(a)= 2a >1，∴f(f(a))= 22a=()2f a ；②当a<1时，f(a)=3a-1，∴若3a-1≥1，即a ≥23时，f(f(a))= 312a -=()2f a ，若3a-1<1，即a<23时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4≠312a -≠()2f a ；∴当f(f(a))= ()2f a 时，实数a 的取值范围是[23，+∞）。
3、已知函数f(x)= f(x+1) ，x ＜4，求f(2+2log 3)的值；1()2x ，x ≥4，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③对数的定义与性质。
【解题思路】根据对数的性质可知，3<2+2log 3<4，确定求函数值的解析式，并求出f(2+2log 3)的函数值，把求出的结果作为自变量，由4<3+2log 3<5，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。
【详细解答】3<,2+2log 3<4，∴ f(2+2log 3)= f(2+2log 3+1)= f(3+2log 3)，4<3+2log 3<5，∴ f(3+2log 3)= 23log 312+（）= 2log 242-= 12log 242-= 124，∴ f(2+2log 3)=f(3+2log 3)=124。
4、已知函数f(x)= 2x +1，x ≥0，若f(x)=10，则x= ；-2x ，x ＜0，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】这里是已知f(x)的函数值，求自变量的问题，现在是自变量未知，需要从x<0和x ≥0两种情况分别考虑去解答问题。
【详细解答】①当x<0时， f(x)= -2x=10，∴ x=-5；②当x ≥0时， f(x)= 2x +1=10， ∴ x=3；∴当f(x)=10时，x=-5或x=3。
5、已知实数a ≠0，函数f(x)= 2x+a ，x ＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a 的值为 ； -x-2a ，x ≥1，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③参数分类讨论的基本原则和基本方法；【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，根据a ≠0，应该从a>0和a<0两种情况考虑去解答问题。
【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1，∴ f(1-a)=2（1-a ）+a=2-a ，f(1+a)=-（1+a ）-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，∴2-a=-3a-1，⇒a=-32<0，⇒此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1，∴ f(1-a)=-（1-a ）-2a=-1-a ，f(1+a)=2（1+a ）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，∴-1-a=-3a+2，⇒a=- 34<0，∴当a ≠0，f(1-a)=f(1+a)时，a=- 34。
6、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）【解析】【知识点】①求函数解析式的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】设该家庭高峰时间段的用电量为1x 千瓦时，应付电费为1y ，低谷时间段的用电量为2x 千瓦时，应付电费为2y ，该家庭本月应付的电费为y 元，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件分别求出1y ，2y 的解析式，利用求函数值的基本方法求出1y ，2y 的值，从而求出y 的值。
【详细解答】设该家庭高峰时间段的用电量为1x 千瓦时，应付电费为1y ，低谷时间段的用电量为2x 千瓦时，应付电费为2y ，该家庭本月应付的电费为y 元，由题意可得： 0.5681x ， 0＜1x ≤50， 0.2882x ， 0＜2x ≤50， 1y = 28.40+0.598（1x -50），50＜1x ≤250， 2y = 14.40+0.318（2x -50），50＜2x ≤250， 148.00+0.668（1x -250），1x ＞250， 78.00+0.3888（2x -250），2x ＞250，∴y=1y +2y =28.40+0.598⨯150+14.40+0.318⨯50=148.40（元）；『思考问题2』（1）【典例2】是分段函数求值的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。