三角函数的诱导公式教学课件

公式 三或一
任意正角的三角 函数
公式一
0-2Π的角的三角 函数
公式 二或三
锐角的三角函数
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
推导
O
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为 P的1（终x边，关y于）y。=x由对于称角，（角Π2（-Π2α-）α的）终的边终与边角与单α 位圆的交点P2与点P1关于y=x对称，因此点P2的 坐标是（y，x），由三角函数的定义得：
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
观察
O
观察图像，易知： Π-α的终边与角α的终边关于y轴对称； Π+α的终边与角α的终边关于原点对称； 角-α的终边与角α的终边关于x轴对称； 角Π/2 -α的终边与角α的终边关于y=x
对称。
那么，这些角的三角函数又有什么关系呢？
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
探究
O
给定一个角α. 角Π-α、Π+α的终边与角α的终边有
什么关系？它们的三角函数之间有什么 关系？ 角-α的终边与角α的终边有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？ 角Π/2 -α的终边与角α有什么关系它 们的三角函数之间有什么关系？
y=sinx
sinα=y sin（Π -α）=x
2
cosα=x cos（ Π -α）=y
2
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
结论
O
Xபைடு நூலகம்
由上述推导可得公式五
，又
Π 2
+α=Π-(
Π 2
-α
),由公式四、五
可得公式六。
sin（ Π -α）= cosα
2
cos（Π -α）= sinα
2
sin（Π2 +α）= cosα cos（ Π +α）= - sinα
y=cosx
c2=a2+b2
Y
例题
O
X
cos（-2040°） = cos2040° = cos（6*360°-120°） = cos120°=cos（180°-60°） = -cos60°= - 1
2
由例题可得出：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角 三角函数，一般可按下边步骤进行：
任意负角的三角 函数
三角函数的诱导公式
sinx cosx tanx cotx
正弦
余弦
余切 正切
Y
思考
O
X
我们利用单位圆定义了三角函数，而圆 具有很好的对称性，能否利用圆的这种对称 性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从 单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性 以及关于原点O的中心对称性等出发，获取 一些三角函数的性质呢？
Y
推导
O
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为
P1（x，y）。由于角Π+α的终边与角α的终 边关于原点对称，角Π+α的终边与单位圆的
交点P2与点P1关于原点O对称，因此点P2的坐标 是（-x，-y），由三角函数的定义得：
sinα=y sin（Π+α）=-y
cosα=x cos（Π+α）=-x
tanα=y/x tan（Π+α）=y/x
2
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
归纳
O
X
归纳概括公式五和六，可得：
Π/2 +α和 Π/2 -α的正弦（余弦） 函数值，分别等于α的余弦（正弦） 函数值，前面加上一个把α看成锐角 时原函数值得符号。
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
本章小结
O
X
公式一～六都叫做诱导公式。（要理解并熟记)
sin（2kΠ+α） sin（Π+α） sin（-α）= sin（Π-α）
= sinα，k∈Z = -sinα
-sinα
= sinα
cos（2kΠ+α） = cosα，k∈Z
cos（Π+α） = cosα
cos（-α）= cosα
cos（Π-α） = -cosα
sin（ Π -α）= cosα sin（ Π +α）= cosα
c2=a2+b2
Y
归纳
O
X
回忆公式一﹝sin（2kΠ+α）= sinα，cos（2kΠ+α）=
cosα，tan（2kΠ+α）= tanα），k∈Z﹞
可归纳概括公式一至四：
2kΠ+α（k∈Z），-α，Π+α，Π-α的三角函数值， 等于α的同名函数值，前面加上一个吧α看成锐角时 原函数值得符号。
y=sinx
2
2
cos（Π -α）= sinα cos（Π +α）= - sinα
2
2
tan（2kΠ+α）
= tanα）， tan（Π+α） tan（-α）= tan（Π-α）
k∈Z
= tanα
-tanα
= -tanα
tan（Π -α）= ？
2
tan（Π +α）= ？
2
思考？
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
结论
O
X
由上述推导可得公式二，同理可证公式三和四。
sin（Π+α）= -sinα cos（Π+α）= cosα tan（Π+α）= tanα
sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα
y=sinx
y=cosx
sin（Π-α）= sinα cos（Π-α）= -cosα tan（Π-α）= -tanα