最优化方法试卷及答案5套.docx

《最优化方法》1

一、填空题:

1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中

___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示

为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。

2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为

__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为

___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶

方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________

3.设严格凸二次规划形式为：

min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2

s.t. 2%! 4- x2 < 1

> 0

x2 > 0

则其对偶规划为_______________________________________________

min%（d ） = f （x k +ad k ）

的最优步长为务=—叫）F.

d kT Gd k

2. （10分）证明凸规划

min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）

的最优解是唯一的

3. （13分）考虑不等式约束问题

min /（x ）

s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}

其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足

巧（计<0,

VC,（元）（可

则d 是元处的可行下降方向。

4. 求解无约束最优化问题: min/（x ）,xe^,设*是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:

用最速下降法求解时, 搜索方向卅= _____________

用Newton 法求解时, 搜索方向卅二 ____________

用共轨梯度法求解时, 搜索方向卅二 ________________

《最优化方法》2

一、填空题:

1.最优化问题的数学模型一般为:

其中

___________ 称为目标函数，____________ 称为约束函数，可行域D可以表示

为______________________________ ,若_________________________________ 称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。

2. ______________________________________________________ 设f（x）=昇+2“2-10“+5兀2，则其梯度为___________________________________ ，海色矩阵

,几何意义为，二阶

方向导数为,几何意义为

3.设严格凸二次规划形式为：

min /(%) = X,2 + 兀：_ 2x} - x2

S.t. Xj + x2 < 1

%! > 0

兀2 no

则其对偶规划为_______________________________________________

4.求解无约束最优化问题: 设*是不满足最优性条件的第k

步迭代点，则:

用最速下降法求解时, 搜索方向十二____________

用Newton法求解时, 搜索方向卅= ____________

用共轨梯度法求解时, 搜索方向卅= _________________

二.(10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。(200 字左右)

三.(25分)计算题

3.(10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解:

min /(x) = 2昇一3屛一6%]%2(%] -x2 -1).

4. (15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题： min

/=!

n

s.t. c(x)=工“ -a = 0 /=!

其中 p > 1,61 > 0.

四. 证明题(共33分)

1. (10 分)

设f(x )=丄XG 兀+宀+/是正定二次函数，证明一维问题

2

min ©(a) = f(x k +ad k

) 2. (23分)考虑如下规划问题

min /(x),x e R n

s.t. q(x) < 0,z = 1,2,…，加.

其中/(x),c f (x)(i = 1,•••,«)是凸函数，证明：

(1)

(7分)上述规划为凸规划； (2) (8分)上述规划的最优解集疋为凸集;

(3) (8分)设/(x),c f (x)(i = l,2,---,n)有连续的一阶偏导数,若F 是

的最优步长为纵=-

d kT Gd k

KT 点，则/是上述凸规划问题的全局解。

《最优化方法》试题3

一、 填空题

1 •设于（兀）是凸集Su/?"上的一阶可微函数，则于⑴是S 上的凸函数

的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义 是（ ）；

2•设/（兀）是凸集川上的二阶可微函数，则/（兀）是疋上的严格凸函数

）（填”当，或”当且仅当'）对任意xer , ▽分（朗是

）矩阵;

• 2 r

min z =兀「+ 兀：一 x }x 2 - 2x } - 3x 2

二、选择题

min f = (%j -2)2 +£

1 •给定问题w. -州+W ,则下列各点属于K-T 点的是

%! - X 2 < 0

( )

A) (0,0卩

B) (1,1/ 0 (丄,D) 2 2 雪y

2 2 2 •下列函数中属于严格凸函数的是(

) A) /(%)=彳 + 2X {X 2 -10^+ 5X 2 3.已知规划问题和./. -x,-x 2 >-2 可行方向集为（

-x, - 5X 2 > -5 x 2 > 0

）,下降方向集为（ 则在点X = （-,-/处的 6 6 ）。

B)