线性离散系统数学模型

例 y(k 2) 2 y(k 1) 5 y(k) 0,求通解。 解 ： 特 征方 程 r 2 2r 5 0， 有 一 对 共 轭 复 根 1 j2 5e jarctg2， 则通解为 y(k) c1 (1 j2)k c2 (1 j2)k。
例 y(k 2) 4 y(k 1) 4 y(k) 0,求通解。 解：特征方程 r 2 4r 4 0，有二重根 2， 则通解为 y(k) c1 (2)k c2k(2)k。
y(k ) c1r1k c2r2k cnrnk； （2） 若 解 有m重 根 ， 则m重 根 的 解 的 形 式 为
r k , kr k , k 2r k， ，k m-1r k的 线 性 组 合 ，
通
解
中
的
系
数c
由
n
系
统
的
初
始
条
件
确
定。
➢特解求法——试探法，略
对照：连续系统微分方程解析法求通解
连续系统的齐次方程为 y (n) a1 y (n1) an y(t ) 0
它的特征方程为 x n a1 x n1 a2 x n2 an 0
有n个特征 根： （1） 若 解 为 n个 单 根 x1 , x2 , , xn ,则 方 程 通 解 为 ：
y(t ) c1e x1t c2e x2t cne ； xnt （2）若解有m重根，则m重根的 解的形式 为
数 学 模
连续系统 微分方程 脉冲过渡函数
—— ——
离散系统 差分方程 脉冲响应
型 S传递函数
—— Z传递函数
状态空间表达式 —— 离散状态空间表达式
主要内容： ➢线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换； ➢线性定常离散系统的求解方法。
3.2 线性常系数差分方程(时域表达式)
——Difference Equation
➢第二种形式：称为 (n，m) 阶差分方程，其中 m≤n，是在输入 输出的最低阶上统一。
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bmu(k)
连续定常系统的 n 阶微分方程（m≤n）
dn
d n1
d
dm
d m1
d
dt n y(t) a1 dt n1 y(t) an1 dt y(t) an y(t) b0 dt m u(t) b1 dt m1 u(t) bm1 dt u(t) bmu(t)
i0
i 1
例3 2 2 y(k 1) ay(k) bu(k),设y(0)、u(k)已 知 ， 用 递 推 法 求 解 解 ：k 0 y(1) ay(0) bu(0)
k 1 y(2) ay(1) bu(1) a 2 y(0) abu(0) bu(1)
k 1
y(k) a k y(0) a k1i bu(i) 通 解 特 解 i0
e xt , te xt , t 2e xt， ，t m1e xt的 线 性 组 合 ， 通 解 中 的 系 数cn由 系 统 的 初 始 条 件 确 定。
例 已知y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k) 0, 初始条件y(0) 0，y(1) 1，求解。 解：特征方程 r 2 3r 2 0，有两实根 1， 2， 则通解为 y(k) c1 (1)k c2 (2)k。 代入初始条件可得c1 1, c2 1， 则解为 y(k) (1)k (2)k。
第3章 线性离散系统数学描述
本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法， 它们是分析和设计数字控制系统的基础。
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3.1 引言
离散系统（ Discrete System ），又称离散时间系统 （Discrete-Time System ) 。本章研究线性定常离散系统的 数学描述及求解方法，这是分析和综合数控系统的基础。
解法二：解析法——差分方程通解求法
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bm u(k)
它的齐次方程为 y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) 0
它的特征方程为 r n a1r n1 a2r n2 an 0 有n个 特 征 根 ： （1） 若 解 为 n个 单 根 r1 , r2 , , rn ,则 方 程通 解 为 ：
h*(t) h*(t)
离散系统
t
t
根据线性系统叠加原理，已知h* (t)后，任意输入脉冲序列u* (t)， 可得系统输出为
y * (t) u(0)h* (t) u(1)h* (t T ) u(n)h* (t nT )
3.2.2 差分方程解 =通解+特解
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
y(k) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)
y(k) b0u(k) b1u(k 1) bm u(k m)
[a1 y(k 1) an y(k n)]
m
n
bi u(k i) ai y(k i)
3.3 脉冲响应与卷积和
Impulse Response —— Convolution Summation
设系统输入为单位脉冲序列
d
*
(t)
1, k 0, k
0 0
其输出脉冲序列 h * (t )称为系统的脉冲响应，也称权序列
（ weighting sequence ）。
δ*(t) δ*(t)
3.2.1 差分方程表达式
➢第一种形式：表示 y(kT) 与本时刻及前 m 个时刻输入、前 n 个时刻的输出有关，称为 n 阶常系数差分方程，是在输入输 出的最高阶上统一。
y(k) a1 y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)