12.3质心运动定理(理论力学课件)

实际应用时，可采用投影形式。
（12.17 ）
质心运动定理在坐标轴上投影：
mm&&yx&&cc

Fxe Fye
m&z&c Fze
（12.18 ）
——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘 积等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，
该式称为投影形式的质心运动定理。
三、质心运动守恒 mac miai Fie
质点系外力的矢量和。
同时指出：内力不能改变质心的运动。
形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程完 全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：
质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的 质量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等 于作用于整个质点系上的外力的矢量和。
mac miai Fie
状况，所以质心的概念是动力学的重要概念之一。
rc ④m质mi r心i 的(1坐2.标10)
计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，
即
xC
mi xi m
, yC

mi yi m
, zC

mi zi m
(12.13)
式中 mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，m
。
②若质点系中各质点的质量不相等。则有：
rc
mi m
ri
（12.12 ）
ri 的系数表示第 i 个质点的质量在质点系的质量
所占的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质
点系质量中所占的比例的平均位置。
③ 质心的作用
由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布
状况有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布
y
m1g
m2g
c1 c c2 e
t
x
Rx Ry
作用于质心上的外力有：
重力m1g、m2g； 螺栓的约束反力Rx、Ry。
（2）建立静坐标如图：电动机质心C的方程为：
xc

m1x1 m2 x2 m1 m2
若将上列各式等号右端的分子 与分母同乘以重力加速度g，就 得到质点系的重心坐标公式。
可见物体在重力场中运
动时，重心与质心相重合。
但应当注意，质心与重心是 两个不同的概念。
重心仅在质点系受到重力作用（即在地球表面附近）时才存
在，而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点
系的存在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广
为质点系的质量。
质心是可见，如果把质点系的质量都集中于 质心做为一个质点，那么此质点的 动量就等于质点系的动量，可见质 心运动具有特殊意义。
xC
mi xi , m
yC
mi yi , m
⑤质心与重心的比较：
zC
mi zi m
（12-13 ）
2、质心速度
rC
mi ri m
(12.10)
质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：
vC

drC dt

mivi p mm
或
mvc mivi
p = mvc mivi
（12.14） （12.15）
式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。
由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的 动量时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知 道质点系的质量和质心的速度就足够了。
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
rc
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一
种
特征质心的概念及其运动在质点系（特别是刚体）动力学 中
p = mvc
3、质心加速度
将式（12.14）对时间求导，得：
aC

dvC dt
dp d(mvC ) d( mivi )
dt dt
dt
mac miai Fie (12.17)
二、质心运动定理
maC miai Fie FRe
（12.17
上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等）于作用于
例3 设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上， 如图，电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为
c1，在转子的轴线上，转子的质量为 m2 。 由于制造不够精确，因而 其质心与转子轴线相距为
e， 试求当电动机以匀角速度 ω转动时，螺旋栓所受的 水平剪力和地面的铅垂反
力。
解：（1）研究整个电动机
看作一个整体，受力分析如图：
2.质r心c 的力mm学i r意i 义
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc

m
r1 m r2 ...... m m m ...... m
rn
r1 r2 ...... rn
n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11 ）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质 量中所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径
例如绕定轴转动的刚体，
p = mvc mivi
设其角速度为w，质心C至转轴 的距离为e，则由式（12.15）可知， 此刚体动量的大小为
p = mvc me
显然，当刚体质心位于转轴上时，
则不论转动角速度多大，其动量恒
等于零。
vC

drC dt

mivi p (12.14) mm
①如果 FRe 0 mac 0
则质心作匀速直线运动；
则 vc cont
②若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数 和恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。 以上结论，称为质心运动守恒定律。
③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运 动，且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点
系保持静止。
如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦 力，则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要
有外力才能使其运动。
有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用 在质点系上的外力而与内力无关。
例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的 ； 汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体 来说是内力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞， 通过传动机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向 前的摩擦力，而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才 能前进。