高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项和学案(含解析)新人教A版必修5

第一课时 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和公式 [提出问题] 已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题1：若q＝1，则Sn与a1有何关系？ 提示：Sn＝na1. 问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ 提示：能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②

①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴当q≠1时，Sn＝a1－qn1－q. [导入新知] 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q

公式 Sn＝ na1q＝，a1－qn1－qq S

n＝ na1q＝，a1－anq1－qq

[化解疑难] 1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．

2．当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝a1－qn1－q较好；若已知an，则用公式

Sn＝a1－anq1－q较好．

等比数列的前n项和公式的基本运算 [例1] 在等比数列{an}中： (1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；

(2)若a3＝32，S3＝92，求a1和公比q. [解] (1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4. ∴16＝q4. ∴q＝2(负舍)．

∴S7＝a1－q71－q＝1－271－2＝127.

(2)①当q≠1时，S3＝a1－q31－q＝92， 又a3＝a1·q2＝32， ∴a1(1＋q＋q2)＝92，

即32q2(1＋q＋q2)＝92， 解得q＝－12(q＝1舍去)， ∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，

∴a1＝32.

综上得 a1＝6，q＝－12，或 a1＝32，q＝1.

[类题通法] 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． [活学活用] 在等比数列{an}中： (1)若q＝2，S4＝1，求S8； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5. 解：(1)设首项为a1， ∵q＝2，S4＝1，

∴a1－241－2＝1，即a1＝115，

∴S8＝a1－q81－q＝115－281－2＝17. (2)设公比为q，由通项公式及已知条件得

 a1＋a1q2＝10，

a1q3＋a1q5＝54，

即 a1＋q2＝10， ①a1q3＋q2＝54. ② ∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴②÷①得q3＝18，即q＝12， ∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×123＝1，

S5＝a1－q51－q＝8×1－1251－12＝312.

等比数列前n项和的性质 [例2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值． [解] 由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．

由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为S8－S4S4＝2， 故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)， 所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32. [类题通法] 等比数列前n项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．

(2)等比数列的项数是偶数时，S偶S奇＝q；

等比数列的项数是奇数时，S奇－a1S偶＝q. [活学活用] 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 解析：选C 法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.

由已知可得 S2＝a1－q21－q＝3，S4＝a1－q41－q＝15， 两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4， 故q＝2或q＝－2. 若q＝2，代入解得a1＝1，此时

S6＝a1－q61－q＝－261－2＝63.

若q＝－2，代入解得a1＝－3，此时 S6＝a1－q61－q＝－－－6]1－－＝63.故选C.

法二：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63. 法三：设等比数列的公比为q. 则S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15， 解得q2＝4. 故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 2．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

解析：由题意知 S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴ S奇＝－80，S偶＝－160.∴公比q＝S偶S奇＝－160－80＝2. 答案：2 等比数列的综合应用 [例3] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. [解] (1)∵S1，S3，S2成等差数列， ∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1，

于是2a1－q31－q＝a1＋a1－q21－q， 即2(1＋q＋q2)＝2＋q， 整理得2q2＋q＝0，

∴q＝－12(q＝0舍去)．

(2)∵q＝－12，又a1－a3＝3， ∴a1－a1·－122＝3，解得a1＝4.

于是Sn＝41－－12n1－－12 ＝831－－12n. [类题通法] 解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键． [活学活用] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋3， 当n＝1时，a1＝S1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{an}的通项公式an＝－2n＋3(n∈N*)． 又an＝log5bn， ∴log5bn＝－2n＋3， 于是bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1，

∴bn＋1bn＝5－2n＋15－2n＋3＝5－2＝125.

因此{bn}是公比为125的等比数列，且b1＝5－2＋3＝5， 于是{bn}的前n项和

Tn＝51－125n1－125＝125241－125n.

5.等比数列求和中的误区 [典例] 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q. [解] 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；

当q≠1时，a1－q31－q＝3a1q2， 因为a1≠0， 所以1＋q＋q2＝3q2， 2q2－q－1＝0，

解得q＝－12.

综上所述，公比q的值是1或－12. [易错防范] 1．易忽视q＝1这一情况，从而得出错解． 2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q，若其中含有字母，就应按q＝0，q＝1，q≠0且q≠1讨论．

[成功破障] 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，

得S3＝a1－q31－q＝－q31－q＝6， 解得q＝1(舍去)或q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.

[随堂即时演练] 1．数列{2n－1}的前99项和为( ) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299

解析：选C 数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝1－2991－2

＝299－1. 2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( )

A．2 B.12

C．4 D.14 解析：选C a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得 a4－a3＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝4.

3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________. 解析：∵q＝2，n＝5，Sn＝62，

∴a1－qn1－q＝62，即a1－251－2＝62， ∴a1＝2. 答案：2 4．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________. 解析：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列， 故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)， 解得S15＝210.