2009-2010_电动力学_期末考试试卷(A卷)_标准答案

一. 从时谐波的麦克斯韦方程组出发，推导磁感应强度

E 所满足的亥姆霍兹方程。 (10分)

解：时谐波的麦克斯韦方程组可以写为 (2分)

00

E i H H i E

E H ωμωε∇⨯=∇⨯=-∇⋅=∇

⋅=

对上述第一个方程两边求旋度得：(5分)

()E i H ωμ∇⨯∇⨯=∇⨯

2

()E E i H ωμ∇∇⋅-∇=∇⨯

利用麦克斯韦方程组的第二和第四个方程得磁感应强度E

所满足的亥姆霍兹方程为：(3分)

22

0E k E ∇+=

式中k ω=

二. ①简述平面电磁波的特点，②说明推迟势的物理意义。（10分） 答：①平面电磁波有如下的特点：

a. 电磁波为横波，E 和B 与传播方向垂直。

b. E 和B 相互垂直，E ⨯B 沿矢波k 方向。

c. E 和B 同相，振幅比为υ。 ②推迟势说明了t 时刻，某一点的势是由较早时刻t －

c

r 时刻的电荷或电流激发的，这说明了

电磁作用是以光速传播的。

三. 一圆频率为ω的平面波从空气垂直入射到一良导体上，良导体的电容率、磁导率和电导率分

别为,,εμσ，入射平面xz 平面，导体表面为xy 平面。求（1）导体内电场的表达式，（2）电磁波的穿透深度。（15分） 解：由于0,

x x y y k k k k ''''==== （5分）

所以ˆˆ0,0,

x x y y z z k e

i e αβαββα''=====+

2221

2βαωμεαβωμσ

⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩

1/2

112βω

⎤⎛⎫⎥ ⎪∴= ⎪⎥⎝

⎭⎣⎦

，1/2

112αω

⎤⎛⎫⎥ ⎪= ⎪⎥⎝

⎭⎣⎦

在良导体情况下

1σωε

>>，所以βα≈≈

5分），这样导体内电场的表达式为（2分）

0()

(,)i z t z E x t E e e βωα--=

所以穿透深度为（3分）

1δα=

=

四. 在06cm 08cm ..⨯的真空矩形波导中，若仅能传播的波模为TE 10及TE 01，求该电磁波的频率范围。（15分）

解：最低截止频率 （5分）

22

22

0,)()()()(b

n a m

c b

n a m

mn c +=+=

πεμπω 22

,)()(

2

2b

n a m

c f mn c +=

=

π

ω a =0.6cm, b =0.8cm

Hz b a c f c 10

8

22

10,10

*5.2006.0/10*3*5.0)0()1

(2==+= （5分）

Hz b a c f c 10

8

22

01,10

*875.1008.0/10*3*5.0)1()0

(

2==+=

Hz b a c f c 10

2

2

8

22

11,10

*1.3)008

.01(

)006

.01(10*3*5.0)1()1

(

2

≈+=+=

仅能传播TE 10及

TE 01波，所以频率必须满足01,10,,c c f f f f >>，不能传播TE 11波，所以11,c f f <，所以该电磁波的频率满足Hz f Hz 10

10

10

*1.310

*5.2<< （5分）

五．一长为l 的z 轴上的短天线上有电流分布为02()1I z I z l ⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

()2z l /≤的振荡电流，电

流的振荡频率为ω，求此短天线辐射出的A 、B 和E

。（20分）

解：由电流分布计算出电偶极矩的变化为(5分)

()/20/2

1ˆˆ2

l z z l e z d z I le

-==

⎰

P I

所以

000ˆ48ikR

ikR z e

I l e e R R

μμππ=

=A P

(5分)

00ˆˆsin 8ikR

i I lk ikn e e

R

ϕμθπ=∇⨯=⨯=-B A A (5分)

00ˆˆsin 8ikR

i I l c n

e

e

R

θμωθπ=⨯=-E B (5分)

六．一直山洞长1km ，一列火车静止时的长也是1km ，当这列火车以0.6c 的速度行驶时，站在地

面上的观察者观测到火车从车前端进洞到车尾端出洞所需的时间为多少？（10分） 解：在地面上的观察者看到火车长：（5分）

==⨯

=⨯3

2

010810l l m

火车从前端进洞到尾端出洞所走的距离为

+=⨯3

0 1.810l l m 所以所需时间为：（5分）

-+⨯=-

=

=3

5

1.81010

()0.6l l t s v

c

七．一无限大带电平板相对于地面以速度v 沿与板平行的方向匀速运动。在平板所在的参照系中

观察，平板所带电荷的面密度为分别为σ。求地面上观察者观测到板两侧的电磁场。(20分) 解： 以平板所在的参照系为∑'

系，地面所在的参照系为∑

系，在∑'

系中平板是静止

的，所以平板两侧的电磁场为

ˆ'y e

σε=±E ，'0=B 由电磁场的变换关系得

'

'

0,0====E E B Β

'

ˆy γ⊥==±

E E , 2

ˆz v

=±B 上式中正号和负号分别代表平板上侧和下侧的电磁场。

（8分）

（5分）

（7分）