2013年湖北七市高三年级联合考试--数学(理科)
(完整版)2013年高考理科数学湖北卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12- B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a->-.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z =14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝.在Rt △OCD 中，DE＝·OD CD OC ==则83CE ===，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：将椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)化为标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)，即sin cos 222m ρθθ⎛⋅+⋅= ⎝⎭，则该直线的一般式为y ＋x －m ＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b ，其标准方程为x 2＋y 2＝b 2.∵直线与圆O相切，∴=b，|m .又∵直线l 经过椭圆C 的焦点，∴|m |＝c .∴c =，c 2＝2b 2.∵a 2＝b 2＋c 2＝3b 2，∴22223c e a ==.∴e =.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A－3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值． 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝1224bc bc ⋅==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111m n n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，图1所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β.由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角， 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，QP uuur ＝(－a ，－b ，c )，BF u u u r ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，从而sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅u u u r u u u r m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a m λ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令S L [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有 (1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--， 4444333333(8281)(8382)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜．将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。
湖北省2013高三数学第二次联考 理 版
≤≥1湖北省2013届高三数学第二次联考 理 新人教版试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x R,∈则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件2．已知命题:,p m n 为直线，α为平面，若//,,m n n ⊂α则//m α; 命题:q 若,>a b 则>ac bc ,则下列命题为真命题的是（ ） A ．p 或qB ．⌝p 或qC ．⌝p 且qD ．p 且q3．设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x 展开式中的第4项为（ ） A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-4．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ） 7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4A ．7B ．8C ．9D ．10 5．若23529++=x y z，则函数μ的最大值为（ ） AB ．C．D6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积为2V ，则12:V V =（ ）侧视图A ．1:2B ．2:1C ．1:1D ．1:47.已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为 ()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）8．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b 右支上的一点00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为23,则双曲线的离心率为（ ）ABC ．D ． 9．已知,x R ∈符号[]x表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．3443,,4532⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1253,,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．1253,,2342⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系。
湖北省七市2013届高三4月联考理科综合试题(扫描版).pdf
2013年湖北七市（州）高三年级联合考试 理科综合能力测试参考答案(A卷) 【化学部分】 单项选择题（共42分） 7. D 8. D 9. A 10. B 11. A 12. D 13. B 26（14分） ⑴ 6.02×1022 或 0.1NA（1分） ⑵ a b（1分） ⑶ 5.6g（2分） ⑷ 0.86 （2分） ⑸ ①2 Na－2e－＝2Na + （1分） Na 2S、Fe（1分） ②负极（2分） 增大（2分） 不变（2分）【物理部分】 一、选择题（共48分） 14、A 15、D 16、D 17、CAD 19、B20、B CCD 二、实验题（共15分） 22、(1)B -----1分 (2)=0.188 J-----2分=0.184J-----2分 23、（1）×1-----1分; 15。
-----1分 （2）＝901。
-----2分 电路图为：（3分） （3）-----3分 24(14分)、解： 时，物体做竖直上抛运动---------------2分 sm=10m---------------------2分 解得:v0=10m/s=14.14m/s----------------------3分 θ=0时，物体沿水平方向做减速运动---------------2分 ，sm=10m-----------------2分 解得:=0.577---------------------------------3分 25(18分)解：(1)设PQ左侧匀强电场场强为E1，方向与水平方向夹角为θ． 沿水平方向有 qE1cosθ=ma 沿竖直方向有 qE1sinθ=mg 对水平方向的匀加速运动有 v2=2as 代入数据可解得 E1=0.5N/C θ=53o -------1分 即E1大小为0.5N/C,方向与水平向右方向夹53o角斜向上． 其中 d=2.295-2.2=0.095m sinθ=θ＝30o 所以，带电微粒作圆周运动的时间为 s 带电微粒与墙壁碰撞的时间为 t总＝3+=s 33．[物理——选修3—3]（15分） （1）（6分）． （2）（9分）BC长度为，故顺时针旋转至BC水平方向时水银未流出。
高三数学联合考试
高三数学联合考试（理工类）本科目考试时间：2013年4月18日下午15：00-17：00★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A．-i B．i C．-1 D．12．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，则a+b=A．(-2，-1) B．(2，1) C．(3，-1) D．(-3，1)3．下列说法中不正确的个数是①命题“x∈R，≤0”的否定是“∈R，>0”；②若“p q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件A．O B．1 C．2 D．34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是A.112 B．80 C．72 D．646．已知全集U=Z，Z为整数集，如上右图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=-1时，(CuA) B=A．{-3，-1，5} B．{-3，-1，5，7} C．{-3，-1，7} D．{-3，-1，7，9}7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有A．12种B．18种C．24种D．48种8．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x 轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为A．B．C．D．9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是A．6 8．7 C．8 D．1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2 |x-1|；②y= ；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l 的“绝对曲线”有A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清．模棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若tan = ，∈(0，)，则sin(2 + )= ．12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2 ，则k= ．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I) y1 y2= ；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分.15．(几何证明选讲)如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2 ，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB= ．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4 ，)，曲线C的参数方程为( 为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量=( sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)= •．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a= ，f(A)=4，求b+c的最大值．18．(本小题满分12分)数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n •bn+1( 为常数，且≠1)．(I)求数列{an}的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+ + +…+ 与了Sn的大小．19．(本小题满分12分)如图，矩形A1A2A′2A′1，满足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2 ，A1A′1= ，沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱，使A1与A2、A′1与A′2重合后分别记为D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，点M、N分别为D1B和B1C1的中点．(I)证明：MN∥平面DD1C1C；(Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角，求的值．20．(本小题满分12分)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元) 赞成人数[15,25) 8[25,35) 7[35,45) 10[45,55) 6[55,65) 2[65,75) 1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；(Ⅱ)若从月收入(单位：百元)在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．21．(本小题满分13分)在矩形ABCD中，|AB|=2 ，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且= = .(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+ =1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=k•.(I)求函数F(x)= f(x)- g(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)> g(x)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )> ．2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）参考答案一、选择题：CABAB DCBAD二、填空题：11. 12. 13.（Ⅰ）（Ⅱ）14.（Ⅰ）（Ⅱ）15. 16.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）……………3分∴的最小正周期……………4分由得∴的单调递增区间为……………6分（Ⅱ）由得，∵∴∴, ……………8分法一：又，∴当时，最大为……………12分法二：即；当且仅当时等号成立。
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学(理)试题(扫描版)
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案 一、DBC B A B BDCD二、 11．－89 12．30613．720 14．230x y -+= 15． 7（3分） 21n -（2分） 三、16．∵数列{a n }为等差数列，∴a 1+a 3=2a 2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3． ∴a 1,a 2,a 3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴a n =2n-4或a n =-2n+4．又{log 3b n }为等差数列，且{log 3b n }的前10项和为45，∴{b n }为等比数列且log 3b 5+log 3b 6=9，即b 5b 6=39．而b 5=81，∴b 6=35，公比q=3，故b n =b 5·3n-5=3n-1．综上：a n =2n-4或a n =-2n+4 , b n =3n-1．(2)由（1）结合条件知a n =2n-4, 当n=1时，|a 1+b 1|=1．当n>=2时，|a n +b n |=a n +b n ，此时，S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+（a n +b n )-2(a 1+b 1)=n 2-3n+312n -+2=n 2-3n+332n +． 综上：221(1)3333323(2)2n n n n S n n n n n =⎧+⎪==-+⎨+-+≥⎪⎩(n ∈N *)． 17． (1)f (x )= 32 sinωx - 12 cosωx +m +12 =sin(ωx -π6 )+m +12∵点(π12 ，1)是f (x )图象的对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x =π3 ，∴f (x )的周期T=(π3 - π12 )×4=π，∴ω=2. 将点(π12 ,1)坐标代入f (x )的解析式得m =12 ，∴f (x )=sin(2x -π6 )+1.将f (x ) =sin(2x -π6)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y =sin(4x - π6 )+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g (x )=2sin(4x - π6 )+1. （2）由余弦定理，2222224131cos ()2444b c a a c a a c A bc ac c a +-+-===+≥⨯， 当且仅当3a c c a=时取等号，即c =时等号成立. 因为A 为三角形的内角，所以π06A <≤. ∴πππ2666A -<-≤，所以π12sin(2)16A -<-≤，所以π02sin(2)126A <-+≤ 故()2A g 的取值范围为(0,2]. 18．解法一：(1)连结OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .(2)假设存在这样的C 点，设OAC α∠=．在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ， 由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，所以OH ⊥平面P AC .又P A ⊂面P AC ，所以P A ⊥OH ．在平面P AO 中，过O 作OG ⊥P A 于G ，连结HG ，则有P A ⊥平面OGH ．从而P A ⊥HG ，故∠OGH 为二面角B －P A －C 的平面角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin α＝sin α.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×sin α2＋sin 2α． 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝ 所以cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝105， 解得21sin 2α=，即sin 2α=，∴045α=，即C 为AB的中点． 故当C 为AB 的中点时，二面角B －P A －C 的余弦值为105. 解法二：(1)同解法一 (1) ． (2)如图所示，以O 为坐标原点，OB ， OP 所在直线分别为x 轴， z 轴，过 O 与AB 垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (cos α, sin α,0)，P (0,0，2)，D .设m ＝(x ，y ，z )是平面PAC 的一个法向量，则由m ·AC →＝0，m ·AP →＝0，得 (cos 1)sin 00x y x αα++=⎧⎪⎨-=⎪⎩即tan 2x y z α⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩取sin 2x α=-，得m ＝sin ,cos ,222ααα⎛⎫-⎪⎝⎭． 因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量为n ＝(0,1,0)． 设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n ·m |n |·|m |＝cosα又二面角B －P A －Ccosα＝105， 解得tan 12α=，∴0452α=，即090α=，即C 为AB 的中点．故当C 为AB 的中点时，二面角B －P A －C 的余弦值为10. ∴99011114851009001000160032016320a E a ξ=-⨯+⨯+⨯=-+． ∴该集团公司收益的期望为18562525100028a E ξ-=-， 由题意185625256187528a -≥，解得a ≤9900． 故特等奖奖金最高可设置成9900元．20． (1)连结QN ，则|QN|=|PQ|．当a >1时，则点N 在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a ，且2a >|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的椭圆，此时曲线C 的方程为222211x y a a +=-． 当a <1时，则点N 在圆外，此时||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2a ，且2a <|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的双曲线，此时曲线C 的方程为222211x y a a -=- ． (2)由（1）知，此时曲线C 为椭圆，其方程为222211x y a a +=-．设直线l 的方程为：x=my+1(m≠0)，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则E(x 2,-y 2). 联立得222214x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去x 得方程： [(a 2-1)m 2+ a 2]y 2+2m(a 2-1)y -a 2(a 2-1)=0 (*)则y 1+y 2=-2m(a 2-1)(a 2-1)m 2+ a 2 ,y 1y 2=a 2(a 2-1)(a 2-1)m 2+ a 2① 设直线AE 与x 轴交于D(n,0)，则k AE =k AD .即121121y y y x x x n+=--, 将x 1=my 1+1,x 2=my 2+1代入并整理得： 2my 1y 2+(1-n)(y 1+y 2)=0 ②把①代入②整理得：222(1)[]0m a n a --=，∴当n=a 2时，恒成立，即直线AE 恒过定点（a 2，0）．.由于点G 为曲线C 上的动点，故当点G 与椭圆的短轴顶点重合时，DGN ∆的面积取最大值，其最大值为3221(1)2a -． 21．（Ⅰ）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，有()ln(1)f x x '=-+，当10x -<<时，()0f x '>时，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<时，()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为(1,0]-，单调递减区间为[0,)+∞. （Ⅱ）设ln(1)()(0)x g x x x+=>，则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)x x x x x x g x x x x -+-+++¢==+. 由（Ⅰ）知，(1)ln(1)x x x -++在(0,)+?单调递减，∴(1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而0n m >>，所以()()g n g m <，得ln(1)ln(1)n m n m ++<， 得ln(1)ln(1)m n n m +<+，故()()11m n n m +<+.（Ⅲ）由1231n x x x x ++++=，及柯西不等式可知，1231111(1)1111n n x x x x ⎛⎫++++- ⎪----⎝⎭[]1231231111(1)(1)(1)(1)1111n n x x x xx x x x ⎛⎫=++++-+-+-++- ⎪----⎝⎭2211n x ≥+=-所以21231111111111111n n n n x x x x n n ++++≥=++>+------， 所以111231111(1)1111nn n n x x x x ⎛⎫++++>+ ⎪----⎝⎭ 又22013n <<，由（Ⅱ）可知()()2013112013n n +>+，即()()112013112013n n +>+，.所以()11120141231111120141111n n n n x x x x ⎛⎫++++>+> ⎪----⎝⎭. 故112013123111120141111n n x x x x ⎛⎫++++> ⎪----⎝⎭.。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试(理科)数学参考答案(定稿)
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学参考答案1．D 解析：∵22i (2i)i 2i 112i i 1i z ++-====--，∴选择“D ”． 2．A解析：∵(2,3)()U P A B ∈ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩故选择A ．3．A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==．故选A ． 4．B解析：将曲线方程2y x =与直线方程y x =联立方程组，解得0x =或1x =．结合图形可知选项B 正确．5．B解析：方法1：∵(0)10,(1)l g 20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点．又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点．方法2：由()0f x =得lg(1)22x x +=-+．作出函数()lg(1)g x x =+与()22x h x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点．6．C解析：11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ． 7．D解析：∵当0x <时，函数()f x 为增函数，∴当0x <时，()0f x '>．又∵当0x >时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”．8．C解析：①A 显然正确．②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确． ③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a ba b a b a b ．当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b ．故C 不正确． ④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D 正确．故选择“C ”．黄冈中学孝感高中9．A解析：1l ：111110A B x y C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=． ∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=．故选“A ”．10．C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长为=，∴球的表面积为50π，选择“C ”．11．48解析：设被抽查的男生的人数为n ．∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75．又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =．12．解析：∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=13．2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3．14．[0,6π解析：作出可行域如图所示．直线2x y z +=与y 轴交于点(0,)2z ．设直线2x y z +=与曲线cos (0)2y x x π=≤≤相切于点A ．∵由1sin 2y x '=-=-得6x π=，∴(6A π，代入2x y z+=得6z π=(0,0)O 代入2x y z +=得0z =．故z 的取值范围为[0,6π．15．3解析：∵2AD AE AB =⋅，∴24AD AB AE==．设C D x =，则C B x =．∵222AB BC AC +=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3CD =．16解析：将极坐标方程化为普通方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=．在1C 中，令0y =，得x =，再将代入2C 得a =． 17．解：（1）由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或．（6分） （2）方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，则“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”．∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-．方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-．（12分） 18．解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23T πω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+．∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+．故()2sin(3)4f x x π=+．（6分）（2）2()2sin(3)cos32(sin 3cos cos3sin )cos33cos3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos61)sin(6)4x x x π=++=+．由262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z ．（12分） 19．解：（1）记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =．① 2132322531()5C C P A C C ==．（3分）②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．（6分）（2）1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P X P X C P X ==⨯===⨯===⨯=．（9分） ①X 的分布列为②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．（12分） 【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20．解：方法1：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵P M C N =，∴M N P C =，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥ AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒．在ACN ∆中，AN =．在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=． 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=．在Rt M NH ∆中，∵MHcos NH MHN MH ∠=． 故二面角M AC B --（8分） （3）作NE MH ⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为MN NH NE MH ⋅==．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC．（12分） 方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)22AM z z =--=． ∵2cos 60|cos ,|||||||3AM CP AM CP AM CP⋅︒=<>==⋅且0z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)2AM =-．设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,210,2y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n ．平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =．21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ．显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M ACB --（8分） （3）点B 到平面MAC 的距离||||CB d ⋅==n n （12分） 21．解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--．∵221121,x y a +=222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=，即121212212()x x y y y y x x a +-++- 0=，即211(2)0a+⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=．（4分） （2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）．由,4PM MQ OP OQ OM λλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m ≠，∴3λ=．解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=．（8分）（3）将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．∵3λ=， ∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m k m -=-．由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->- 22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<．（13分） 22．解：（1）方法1：∵*13()n n S n n S n++=∈N ，且111S a ==，∴当2n ≥时， 3211214562(1)(2)112316n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11S =也适合． 当2n ≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2n n n a n +=∈N ． 方法2：∵1(3)0n n nS n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得 11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n n na n a +=+，即12(2)n n a n n a n++=≥． 又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式．综上，得*12()n n a n n a n++=∈N ． 当2n ≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11a =也适合， ∴*(1)()2n n n a n +=∈N ．（4分） （2）2(1)n b n =+．设2(1)(1)(1)n n n n c b n =-=-+．当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n nn n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴当n 为奇数（n ≥3）时，221(1)(2)34(1)22n n n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式．综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++- ⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数（9分） （3）令()ln(1)f x x x =-+．当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<．令1(1,2,,)ix i n a ==，得11211ln(1)2()(1)1i i a a i i i i +<==-++， ∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311ni i a n n n =+<-+-++-=-<++∑， 即12111ln[(1)(1)(1)]2n a a a +++<，即21212111e 9nna a a a a a +++<<．（14分）。
2013年湖北省高考理科数学试卷及参考答案
绝密 ★ 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理科）4．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π 5．已知04πθ<< ，则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AB 和CD方向上的投影为A ．32B ．315C ．32D ．3157．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()73(,/)1v t t t s v m s t=-++的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．1+25ln 5B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 1243.AV V V V <<< 1324.B V V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.D V V V V<<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)= A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．7511．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。
湖北省八市2013届高三3月调考数学(理)试题 Word版含答案
湖北省八市2013年高三年级三月调考数学（理科）试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数521i -的共轭复数是A ．21i +B ．12i --C ．21i -D ．12i -2．已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为A ．,20x x R ∃∈≤B ．,20x x R ∀∈<C ．,20xx R ∃∈< D ．,20xx R ∀∈≤3.执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是A ．120B ．720C ．1440D ．50404.不等式组(3)()0,04x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形5.设a R ∈，函数()x xf x e a e -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x 'A ．1B ．12-C ．12D ．1-6．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x =的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为A ．116B ．18C ．14D ．12 7．下列结论正确的是①“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的充分非必要条件②随机变量ξ服从正态分布2(2,2)N ，则()2D ξ= ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有c b a >>c A ．③④ B ．①② C ． ①③④ D ．①④ 8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为A ．56B ．103C ．53D ．1169．已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是A ．4B ．3C ． 2D ．110．抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且2π3AFB ∠=，弦AB 中点M 在准第6题图线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为ABCD二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) （一）必做题（11—14题）11．在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此 展开式中含2x 项的系数 ▲ .12．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm )，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___2cm ．13. 函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是 ▲ ．（写出所有正确结论的编号．．） ① 图象C 关于直线11π12x =对称； ② 图象C 关于点2π(0)3，对称；③ 函数()f x 在区间π5π()1212-，内是增函数；④ 由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．14．如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为*(,)ij a i j N ∈，则（Ⅰ）99a = ▲ ；（Ⅱ）表中数82共出现 ▲ 次． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=▲ ．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）设直线1l 的参数方程为13x ty a t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l间的距离为，则实数a 的值为▲ .三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角且向量3(1,cos )cos ,)2222C C C m n ==+ 与共线。