2013年湖北高考理科数学试卷答案解析

新课标第一网系列资料 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）【34】（A ，湖北，理1）在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】（A ，湖北，理1）D 解析：i 1i)i(1i1i2+=-=+=z ，则i 1-=z【1】（A ，湖北，理2）已知全集为R ，集合1{()2A x =B =A ．{0}x x ≤B ．{C ．{024}x x x ≤<>或D ．{考点名称 集合【1】（A ，湖北，理2）C解析：∵x 0≥⇔x ，∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或.【2】（A p 是“甲降落在指定范围”，q A ．(⌝．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q考点名称 【2】（A 解析：因为”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙 ”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ . 【6】（B ，湖北，理4文6）将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】（B ，湖北，理4文6）B新课标第一网系列资料 解析：因为sin ()y x x x +∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称.【17】（B ，湖北，文2理5）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等 C考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】（B ，湖北，文2理5）D解析：对于双曲线C1，有1sin cos 222=+=θθc ，e θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，=a c e . 【7】（B ，湖北，理6文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、影为AD ．【7】223255152=⨯+⨯. 【3125()731v t t t=-++（t m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】（C ，湖北，理7）C 解析：令25()731v t t t =-++=0，解得t ＝4或t ＝38-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期新课标第一网系列资料 间汽车继续行驶的距离为⎰⎰++-=4040d )12537(d )(t t t t t v 42)1l n (25237⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=t t t ＝5ln 254+. 【21】（B ，湖北，理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<<考点名称【21】（B 解析π37)1212=⨯++，ππ22122=⋅⋅=V ， 233==V 2134V V V V <<<. 【26】（B 125个同样大小的小正方体. 经过搅X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．75考点名称 统计【26】（B ，湖北，理9）B 125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为51750150=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =56651=⨯. 第8题图新课标第一网系列资料【29】（C ，湖北，理10）已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-考点名称 导数及其应用 【29】（C ，湖北，理10）D解析： ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y xy ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =0100=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则0ln 0=x 1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.1-之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21. .21x <，所以)(1f x f <)(1a x f -<【26】（A 电量调查， （Ⅰ （Ⅱ内的户数为_________. 考点名称【26】（A ，湖北，理11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70解析：（Ⅰ）)]0012.00024.020036.00060.0(501[501+⨯++-=x ＝0.0044；（Ⅱ）用电量落在区间[100,250)内的户数为第11题图新课标第一网系列资料 7010050)0044.00060.00036.0(=⨯⨯++.【24】（A ，湖北，理12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________. 考点名称 算法初步与框图 【24】（A ，湖北，理12）5解析：已知初始值1,10==i a ，∵410≠=a ，则执行程序，得2,5==i a ；因为45≠=a ，则执行程序，得3,16==i a ；416≠=a ，则第三次执行程序，得4,8==i a ；∵48≠=a ，则第四次执行程序，得5,4==i a ；∵4=a ，执行输出i ，5=i .【13】（C ，湖北，理13）设,,x y z ∈R ，且满足：22x y ++_________. 考点名称【13】（C ，湖北，理13解析：【39】（湖北理14，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k n 个数的表达式：_________. 考点名称 【13】（C 解析：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n = =n n )2121()2121(2212-++个，第12题图新课标第一网系列资料 五边形数 231(,5)22N n n n =-=n n )212121()212121(2213--+++个，六边形数 2(,6)2N n n n =- =n n )21212121()21212121(2122214----++++个个=， ………………………………………推测k 边形=),(k n Nn k )2121...2121(221)2(-+++++个.所以24(2110)224(21)24,10(2⨯-⨯-⨯=N 【37】（B ，湖北，理15）如图，圆O 上一点C 在直径3AB AD =，则CEEO的值为_________． 考点名称 选修4-1：几何证明选讲 【37】（B ，湖北，理15）8解析： Rt △ODE =在Rt △ODE 28OE ，在Rt △CDE 28DE 264OE =，即6422=EOCE ，∴8=EO CE . 【36】（A cos ,sin ϕϕ（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________. 考点名称 选修4-4：坐标系与参数方程B第15题图新课标第一网系列资料 【36】（A ，湖北，理16椭圆C 的方程可以化为12222=+by a x ，圆O 的方程可化为222b y x =+，直线l 的方程可化为m y x =+，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则m c =，m b 22=，m m m a 26222=+=，所以椭圆的离心率3626===mm a c e . 【10】（B ，湖北，理17）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 考点名称 解三角形【10】（B ，湖北，理17）（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由S =20=. 又5b =，知4c =. 2021,=故a =20352147=⨯=.【19】（B 23|10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ（Ⅱ1≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 考点名称 【19】（B ，湖北，理18）（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.新课标第一网系列资料（Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立. 【23】（B ，湖北，理19）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.考点名称 空间向量与立体几何【23】（B ，湖北，理19）（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC . （Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.第19题图第19题解答图1新课标第一网系列资料 故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin θ=（Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP 连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点,,x y z 轴，建立如图所2c ，则有 (0,,,)C a b c ,1(2E 于是(0,,)b c =-，所以sinα又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n . 第19题解答图2新课标第一网系列资料 于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m nsin β=.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.【40】（B ，湖北，理20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.682P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?考点名称【40】（B 2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=P0p（Ⅱ）设A 运成本为0x y+ 由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥.于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，第20题解答图新课标第一网系列资料 且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值. 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.【16】（C ，湖北，理21）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >重合的直线l 与1C ，2C mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线并说明理由．考点名称 直线与圆锥曲线【16】（C ，湖北，理21）依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为C 0n >>， 1.m n λ=>l 的方程为0x =，则S 1|||2a AB =，所以12||||S BD S AB =. B y n =，D y m =-， 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.新课标第一网系列资料 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，所以12d d =.，即||||BD AB λ=. (1)||AB λ-， ① 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+=-. ③第21题解答图1新课标第一网系列资料 令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d =，2d ==，所以12d d =.又111||S BD d =，221||S AB d =，所以1|||S BD λ==.11A B x x λλ+=-.22A x a 22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>+ 当11λ<≤l ，使得12S S λ=； 当1λ>l 使得12S S λ=. 【40】（湖北理22）设n 是正整数，r 为正有理数.新课标第一网系列资料 （Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S = S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124≈ 考点名称 【40】（湖北理22）（Ⅰ）因为()(1)(1)(r f x r x r '=++-+0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =(1+111)1r r n n+++>+. ，即rn <当n 0≠），类似可得rn >且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得新课标第一网系列资料44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44--（，44443333338382(8483)44-<-（）， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（，34（由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥. 新|课|标|第|一|网。