数值分析(秘籍考试必过个人整理)

例1：构造求解下列方程组收敛的Gauss-Seidel 迭代格式（不计算），并说明收敛的理由。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----456401-1-51-1-1-6645116401151321321x x x x x x 同解变换为GS 迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=++=+++++141151511616111133********k k kk k kk k x x x x x x x x ，k=0，1，2，…其中)0(3)0(2)0(1,,x x x 为初值。

因为变换后的系数矩阵为严格对角占优阵，所以GS 迭代格式收敛。

公式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=∑∑-≠=+=++111111i i j j ni j i k j ij k j ij ii k i b x a x a a x 收敛性：1.若A 主对角元占优，则收敛。

2.若A 对称正定，则收敛。

3.若1〈G ，则收敛 4.收敛1)(<⇔G ρ例2：用Doolittle （LU ）分解法求解如下线性方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---203214511121321x x x 解：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=203,214511121b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==332322131211323121111u u u u u u l l l LU A 公式n k i u u l a l n k k j u l a u kk sk k s is ik ik sj k s ks kj kj ,...,1,/)(,,...,1,,1111+=-=+=-=∑∑-=-= 由矩阵相等得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1263121,1374111U L由Ly=b ，解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333321y y y ，由Ux=y, 解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4/12/34/1321x x x注：Crout 分解：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111231312333231222111u u u l l l l l l LU ),...,1,(11n k k i u l a l tk k t it ik ik +=-=∑-=，),,...,2,1(,/)(11n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-=例3：用Euler 法求初值问题：⎩⎨⎧==≤≤-=1.0,0)0(5.00,,h y x y x y 解：1)Euler 公式：⎩⎨⎧=-=+=+001)(1,...,1,0),,(y x y n i y x hf y y i i i i公式：))(,()(,i i i x y x f x y =，对于[]))(,()(,,,x y x f x y b a x =∈∀ 这里ih x y x y x f h b a y n i =-======,),(,1.0,5.0,0,0,50 注：因为x 最大能取到0.5，步长h=0.1，所以n=5i y y i y y i i i i 01.09.0)1.0(1.01+=-+=+2)算得：=====54321,,,,y y y y y例4：(Householder)设Ta )4,3,1,0,7(-=求H 使5,)0,,1,0,7(±=-=σσTHa解：设T b )0,,1,0,7(σ-=（取σ=5，（σ符号的选取应使2b a -的值尽可能大，σ与1+m a 同号））T b a )4,8,0,0,0(-=-∴, 54)4(8222=-+=-baT b a b a V )1,2,0,0,0(512-=--=, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=5/35/45/45/3235I VV I H T公式：设Ha=b ，计算T VV I H b a ba Vb a b a 2,,,22-=--=--（ , ||m a x ||||111∑=≤≤=ni ij nj a A （列范数） 的最大特征值矩阵A A A T =2||||）例5：利用householder 把下列矩阵化为拟上三角矩阵。

A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--133364343 公式：?/2,0)sgn(),...,,0(111121121212111211=-===-==HAH u u u u I H S C a S a C a a S TT Tn 若.../2)3,9,0()0,5,0()3,4,0(5)4sgn()3,4,0(111121112111=-=-=--=-==--=-=u u u u I H e C S u S C S TT TTTT则HAH=?注：?1==+r r r AH H A例6：已知函数y=f(x)的观测数据为 1) 试求拉格朗日插值多项式。

2) 分别用线性插值和二次插值求f(2.4)解：1）a)求插值基函数∏≠=--=nk i i ik ik x x x x x l 0)(，k=0,1,…,n 公式：拉格朗日公式：k nk kn y x lx L )()(0∑==求?)()(33==∑=x l y x L i i i -2）线性插值：（取3,210==x x ）4.5)4.2(,)(1101001011-=--+--=L y x x x x y x x x x x L二次插值：（取3,2,1210===x x x ）88.5)4.2(,))(())(())(())(())(())(()(21202102210120120102102-=----+----+----=L x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L例7：（Jacobi ）设线性代数方程组Ax=b 的系数矩阵为A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a 232131，试求能使Jacobi 方法收敛的a 的取值范围。

解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++0230203321321321ax x x x ax x x x ax ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=⇒213312321232131xa x a x x a x a x x a x a x当0≠a 时，迭代矩阵： 迭代公式： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=023201310aaa a a a G J ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=+++)(2)(113)(3)(112)(3)(211232131k k k k k k k k k x a x a x x a x a x x ax a x 由0=-J G I λ ⎪⎩⎪⎨⎧±==⇒a 203,21λλa G J 2)(=⇒ρ 公式：i ni J G λρ≤≤=1max )( ，λ为J G 的特征值。

由21)(>⇒<a G J ρ时，Jacobi 迭代法收敛。

例8：设23)()(a x x f -=，（1）写出解0)(=x f 的Newton 迭代格式（2）证明此迭代格式是收敛的。

Newton 迭代格式： 迭代函数：,...2,1,0,)()(,1=-=+k x f x f x x k k k k )()()(,x f x f x x -=ϕ（求导几次，就几次收敛速度） 0x 为初值，0)(,≠k x f解：（1）由)()()(,x f x f x x -=ϕ，2665)(x a x x +=ϕ ，则21665k k k x a x x +=+ （2）3,365)(x a x -=ϕ， 0121)()(3,,≠<==a S ϕϕ （一阶收敛） 注：例9：已知三次样条函数S(x)在[-1,0]上的表达式x x 23-且S(1)=0,S(2)=1,求S(x)在[0,1]及[1,2]上的表达式。

解：三次样条函数在每个内接点上具有二阶连续导数， 设S(x)在[0,1]上的表达式为D Cx Bx Ax x S +++=231)( S(x)在[1,2]上的表达式为H Gx Fx Ex x S +++=232)(.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1)2()1()1()1()1()1()1(2''1''2'1'212S S S S S S S 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+-=++=+++12486261230H G F E F E G F E H G F E ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==⇒720185H G F E ]2,1[,72085)(232∈-++=∴x x x x x S⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1)0()0()0()0()0()0()0(''1'''1'1S S S S S S S ⇒A=?,B=?,C=?,D=? ?)(1=∴x S 例10：已知函数)(x f y =的观测数据为 试求最小二乘一次多项式拟合曲线b ax y +=。

解：{}x span ,1=ϑ，则A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2101-2-11111，A =T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2101211111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴10005A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6.25.2y A Ty A a b A A T T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡6.25.210005a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴26.05.0a b 得：5.026.0+=x y例11：确定A 、B 、C 使下面求积公式的代数精度尽可能高并求其代数精度。

)()0()()(22h Cf Bf h Af dx x f hh++-≈⎰-解：令f(x)=1，则A+B+C=4h令f(x)=x ，则-Ah+Ch=0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒h C h B h A 383438令3222316,)(h Ch Ah x x f =+=则 令0.380)(380,)(333223=++-===-h h h h dx x f x x f h h令54454224316)(380)(38564,)(h h h h h h dx x f x x f hh=-++-≠==-所以该求积公式有3次代数精度。

例12：用逐次分半的复化梯形公式计算dx x ⎰+10212，使其截断误差不超过0.005.解：设212)(x x f +=，a=0,b=1。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=11)(2)()(2n i i n x f b f a f h T ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+==n ab h ih a x n m i2逐次分半：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====+=5695.15656.15500.15000.1)12(218421T T T T 因为005.048<-T T , 所以5695.1128102≈≈+⎰T dx x注：复化梯形公式：n n i i baT x f b f a f h dx x f I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≈=∑⎰-=11)(2)()(2)(截断误差：)(max 12)(''23)(1x f n a b Rbx a n ≤≤-≤ 注：逐次分半辛普森公式：])(4)(2)()([6102111∑∑-=+-=+++=n i i n i i n x f x f b f a f hS)2,...,1,0(,2m k kh a x m a b h k =+=-=复化截断误差：],[),(180)4(4b a f h a b R S ∈--=ηη例13: .定义内积dx x g x f g f )()(),(20⎰=π，试在{}x Span H ,11=中寻找对于x x f sin )(=最佳平方逼近元素)(x p ，并求出最佳平方逼近误差δ。