湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三上学期月考(三)数学试题
（2）已知 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．如图，在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ， ， ，且 为 边上的中线， 为 的角平分线．
（1）求 及线段 的长；
（2）求 的面积．
19．如图①，在菱形 中， 且 ， 为 的中点，将 沿 折起使 ，得到如图②所示的四棱锥 .
过点P，M，Q的平面截正四棱锥 得等腰 ，截球O1，球O2，…得对应球的截面大圆，如图：
显然 ， ， ，令N为圆 与PM相切的切点，
则 ，设球 的半径为 ，即 ，因为 ，则
显然， ，解得 ， ，
设球 与球 相切于点T，则 ，设球 的半径为 ，同理可得 ，即 ，
设球 的半径为 ，同理可得 ，即球 ，球 ， ，球 的半径依次排成一列构成以 为首项， 为公比的等比数列 ，
【详解】
由图可知， ，故 ，故 ，故排除A B；
又函数 关于 对称，由图象可知， ，故C错，D正确；
故选：D.
4．A
由 可得 ,进而将条件代入求解即可.
【详解】
, ,
故选:A
【点睛】
本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.
5．B
由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.
【详解】
设 ， ，则 为实数，A选项正确．
设 ， ，则 ，正确．
，其共轭复数是 ，C选项错误．
设 是方程的实根，
则 ， ， ．D选项正确．
故选：ABD．
11．ABC
选项A，取 的中点 ，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明 平面 ；选项B，利用 平面 ，可得 ；选项C，先作出并证明所求的二面角为 ，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设 平面 ，再证明 平面 ，得到 ，与 与 的夹角为 矛盾来说明.
湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案
湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案第一部分：选择题（共计120分）请将答案填写在答题卡上。
1. 已知函数$f(x) = 2^x + 4^{-x}$，则$f(1)+f(-1)$的值为（）。
A. 3B. 3/2C. 1D. 1/22. 已知集合$A=\{x | x\in\mathbb{R}, x^2-4x<0\}$，则$A$的解集为（）。
A. $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$B. $(0, 4)$C. $[0, 4]$D. $(0, +\infty)$3. 设等差数列$\{a_n\}$的公差为2，$a_1=3$，若$a_m+a_n=16$，其中$m,n$为正整数，且满足$m\neq n$，则$m+n$的值为（）。
A. 8B. 9C. 10D. 114. 若$f(x) = \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x+1)-f(x)$的值为（）。
A. -1B. 1C. $\frac{1}{(x+1)^2}$D. $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$5. 已知正方形$ABCD$的边长为1，点$E$为边$AB$上一点，$F$为边$BC$上一点，且满足$\angle EFD=90^\circ$，则$\triangle EFD$的面积为（）。
A. $\frac{1}{8}$B. $\frac{1}{6}$C. $\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{3}$第二部分：填空题（共计60分）请将答案填写在答题卡上。
1. 若$a, b$为实数，且满足$a^2+b^2=5$，则$a^3+b^3$的值为__________。
2. 已知集合$A = \{x | x\in\mathbb{R}, x^2-4x\leq 0\}$，则集合$A$的元素个数为__________。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考(三)数学试题+答案解析
炎德·英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷(三)数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B = ，则实数a 的可能取值组成的集合是（）A.{}1,2,3 B.{}2,3,4C.{}1,3,4 D.{}1,2,4【答案】A 【解析】【分析】根据条件4a ≠，分别令12,3，a =代入进行检验，可得出答案.【详解】显然4a ≠，当1a =时，{}1,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当2a =时，{}2,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当3a =时，{}3,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 所以a 的值可以为1,2,3.故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查根据两集合的并集求参数，考查集合的并集运算，解决该题的关键是注意集合中元素的互异性，属于基础题目.2.已知()312++=+a i i bi (,a b R ∈，i 为虚数单位)，则实数a b +的值为（）A.3B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+则32,38a b a b -==∴+=故选：D3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos 2=α（）A.1625B.1625-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义，求得3cos 5α=-，再结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，因为35x =-，由三角函数的定义，可得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=-.故选：D.4.在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数=a （）A.12B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】写出5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项，然后可建立方程求解.【详解】5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项为()()525104155211rr r r r rr r T C ax C a x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1042r -=-，则3r =，所以()33535140C a --=-，解得2a =或2a =-（舍）故选：B5.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A 【解析】【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.【详解】当1000SN=时，2log (11000)C W =+当2000SN=时，2log (12000)C W =+则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.6.若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+- 的最小值是（）A. B.32C.2D.1【答案】A 【解析】【分析】设向量,a b 夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+- 的夹角为γ，利用1cos 2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦ ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-=，进而得到()1+-λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b 夹角为θ，则1cos 2ab a b θ==，()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，设()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角为γ，∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+-= ，0,2πγ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，(1)a b λλ+-≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos 2ab a bθ==，得到()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角γ，得出()1+-λλa b 的最小值，难度属于中档题7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin 700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A.10米B.9.66米C.9.40米D.8.66米【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由条件可得10AB BC ==，再在Rt ADB 中，由sin BD AB BAD =∠可得解.【详解】如图所示，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，由10BAC DAC BAD ∠=∠-∠= ，9010ACD CAD ∠=-∠= ，所以10AB BC ==，在Rt ADB 中，sin 10sin 709.40BD AB BAD =∠=≈ .故选：C.8.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+，联立抛物线可得124y y =-，再由中点坐标可得122P y y y +=，从而可得P x ，利用焦半径公式表示AB 和FP 即可得解.【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+（斜率显然不为0）.214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，0∆>显然成立，124y y =-，点M 是线段AB 的中点，所以122M y y y +=，所以122P y y y +=，所以22222212121212()284161616P P y y y y y y y y y x ++++-====，2222121288111616P y y y y FP x +-++=+=+=，2222121212128||||1122444y y y y AB AF BF x x x x ++=+=+++=++=++=，所以22122212844816y y ABy y FPλ++===++.故选：B.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.635A.25B.45C.60D.40【答案】BC 【解析】【分析】先设男生人数为5n ，()*n N ∈，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n ，()*n N ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢锻炼4n 3n 7n不喜欢锻炼n2n3n合计5n5n10n222()10(423)10()()()()557321n ad bc n n n n n nK a b c d a c b d n n n n -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯．由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以103.8416.63521n<；解得：8.066113.9335n <，因为N*n ∈，故n 的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．故选：BC.10.已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（）A.cb a a < B.c c a b b a+>+ C.log log b c a a< D.b cb ac a>++【答案】CD 【解析】【分析】利用指数函数性质，对数函数性质，不等式的性质判断各选项．【详解】由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 错误；1a >，01c b <<<，c c a b b a +-+可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++，c c ab b a+<+，故B 错误；由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，而log log 0a a c b <<，则110log log a a b c <<，可得log log b c a a <，故C 正确；由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确．故选：CD ．11.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的最大值为2C.14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D.3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【解析】【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【详解】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-，2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ==2A =，()2sin(23f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin(1423f πππ=+=，所以C 正确；,D (2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k f =++，再求待定系数,,,A w k f ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ¢，再把点((,),(,))P f x y g x y ¢的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.12.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】BCD 【解析】【分析】设O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，在三角形ODO '中，有222OO DO OD ''+=，可求得2R =，可得最大的截面圆；过E 且垂直OE 的截面圆最小，利用222r R OE =-可得解.【详解】如图所示，其中O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，可得3O B O D BC ''===，3AO '==，设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由222OO DO OD ''+=，即()2223R R -+=，解得2R =，故最大的截面面积为24=R ππ，在三角形BEO '中，1162BE BD ==，6EBO π'∠=，由余弦定理得72O E '==，在三角形OO E '中，112OE ==，设过E 且垂直OE 的截面圆的半径为r ，222115444r R OE =-=-=，故最小的截面面积为254r ππ=.所以过点E 作球O 的截面，所以截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.【答案】()2,∞+【解析】【分析】若要直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则直线y =的斜率要小于渐近线by x a=的斜率，建立不等式，即可得解.【详解】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，若直线y =与双曲线有两个交点，则ba>即223b a >，即2223c a a ->，所以224c a >，24e >，即2e >，故答案为：()2,∞+.14.已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】()*n a n n =∈N 【解析】【分析】根据所给关系，当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，即得递推关系11nn a a nn -=-，即可得解.【详解】()12+=nn n a S 当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，整理可得1(1)0n n n a na ---=，即11n n a a n n -=-，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，故111n a a n ==，所以n a n =，故答案为：()*n a n n =∈N.15.如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.【答案】37【解析】【分析】利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可【详解】设AB a =，6OB a =，OA ==，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大；此时直线OA 与平面α3737=故答案为：3716.设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB 的面积的取值范围是________.【答案】()0,1【解析】【分析】因为()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，且明显地，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x =1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x -()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈ 且1y x x=+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难四、解答题(本题共6小题，共70分)17.在①1c =，ABC 的面积为4，②b =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】)cos cos 2sin a C c A b B +=，求出B ，然后针对给定的条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可.【详解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B+=22sin B B =，又sin 0B ≠所以3sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为1133sin 2224ABC S ac B a ==⋅= 所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且为等边三角形，所以3C π=，所以3sin 2C =.,选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin 3sin 4c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：5123226sin sinsin sin cos sin .1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据211n n n a S S ++=+写出()212n n n a S S n -+≥，通过作差以及化简说明{}n a 为等差数列，并求解出通项公式；（2）将{}n b 的通项公式变形为()()11114213213n n n b n n -⎡⎤=-⎢⎥-⋅+⋅⎣⎦，采用裂项相消法求解出n T 的结果.【详解】(1)由211n n na S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1所以()11n a a n d n=+-=(2)()()1121213n nn b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()111n n 1n n 1=-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）1=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----.19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是 AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77.【解析】【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆 AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE .又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠= ，在601Rt ABC ABC BC ∆∠== 中，，，所以tan 60AC BC =⋅= ，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆== 中，因为ACBC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角.在FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，，在90Rt ACH ACH ∆∠= 中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --的余弦值为77.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，43.【解析】【分析】（1）根据离心率12e =和31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，列式即可得解；（2）依题意知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+联立22143x y +=，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+，结合条件表达11AF BF +，化简即可得解.【详解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F 依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+不妨设10y >，20y <，11AF y y ===，同理22BF y y ==所以121111AF BFy y ⎛⎫+=-⎪⎭211212y y y y -==249334m ==+即1143AF BF +=.【点睛】本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定值问题，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题.解决本类问题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路；（2）化简求值，解析几何计算的特点明显，需要较高的计算技巧.21.设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.【答案】（1）(],2e -∞；（2）3.【解析】【分析】（1）由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x -≥，利用参变分离法得到2ln x a x≤，然后构造函数，利用导数分析实数a 的取值范围（2）求导得到()()()21x a x f x x-+'=，对a 进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数a 的值【详解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x ax -≥又)x ∈+∞所以1ln 02x ≥>所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞(2)因为()()22ln f x x a x a x=---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==>若0a ≤，则()0f x ¢>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增得()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点则244ln 02a a a a -+-<又0a >所以4ln402aa +->令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=->所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln 30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3【点睛】关键点睛：解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到2ln x a x≤，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对()f x 求导，然后对a 分类为：0a ≤和0a >，尤其在0a >时，得到4ln402aa +->，进而构造函数()4ln 42a h a a =+-，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难22.新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .【答案】（1）111945105n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）8.6.【解析】【分析】（1）根据题意可得若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k 取1,21n - 时，相加即可得解；（2）根据题意X 的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：2311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用等比数列求和公式即可得：10211114101419119141945941055101051055510559n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅(2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈=X 对应的数学期望为：()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．34i-+B ．34i--C ．5D3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = 且()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ．3a- D ．a-r 4．已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为4，则B 点的纵坐标为（）A ．2-B ．C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．4+二、多选题9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1//B P 面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．A =4C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是.14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==，求sin B .16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，160A AC ∠=︒，AC BC ⊥，1A C AB ⊥，1AC =，12AA =.(1)求证：1A C ⊥平面ABC ；(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17．人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；(2)当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18．已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点，过,A B 做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值.(3)求证：IK IA JKJB=19．对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥，且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =，求A 的元素个数及max A ；(2)当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B .（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足12a =，1()n n n f a a a +=，集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑，*N n ∈.求证：*N n ∀∈，4max 3n C =.。
长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题(含答案)
【答案】D
【解析】
【分析】先作出 关于 的对称点 ，再作 关于 的对称点 ，因为光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，入射光线和反射光线都经过 关于直线 的对称点 点，又因为再经 反射，反射光线经过 关于直线 的对称点，所以只需连接 ､ 交 与点 ，连接 ､ 分别交 为点 ､ ，则 ， 之间即为点 的变动范围.再求出直线 ， 的斜率即可.
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
6.设 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断出 ， ， ，即可得到答案.
【详解】 .
因为 ，所以 .
所以 ；
因为 在R上为增函数，所以 ；
因为 在 上为增函数，且 所以 ，即 ；
所以 .
故选：D
7.将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 （）
10.设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（）
A. B. C. 解不等式 得解.
【详解】由题得 ，
令 ，解得 ，取k＝0，
，即 ．
故选：BCD
11.如图， 是一块半径为1的圆形纸板，在 的左下端前去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形 ， ，记纸板 的周长为 ，面积为 ，则下列说法正确的是（）
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考 数学
长郡中学2023届高三月考试卷数 学本试卷共8页。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合||1|1,{} ==--∈A y y x x R ，{}3|log 1,=≥B x x ，则A∩=RBA ．{|1}≥-x xB ．{}|3<x xC ．}{|13-≤≤x xD ．{}|13-≤<x x2.若复数z 满足||2,3-=⋅=z z z z ，则2z 的实部为A -2B ．-1C ．1D ． 2★3.函数()()241--=-x x x e e f x x 的部分图象大致是★4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则⋅=EM ENA ． 12-B ．32-C ． -2D ．-3★5.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升。
某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程，甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 A ． A 与B 为对立事件 B ．A 与C 互斥 C ． B 与C 相互独立D ． A 与C 相互独立★6.已知三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，底面△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，且23，π=∠=BC BCA ，三棱锥P-ABC的体积为3，过点A 作⊥AM PB 于M ，过M 作MN ⊥PC 于N ，则三棱锥P-AMN 外接球的体积为A ．323π B．3C．3D ．43π 7.若sin 2sin ,sin()tan()1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=A ．2B ．32C ． 1D ．128.已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R 。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期月考（四）数学试卷
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期月考（四）数学试卷
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湖南省长沙市长郡中学2024—2025学年高三上学期月考卷 (三) 政治试题
湖南省长沙市长郡中学2024—2025学年高三上学期月考卷 (三) 政治试题第Ⅰ卷选择题(共48分)一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.近代英国杰出的人文主义者托马斯·莫尔，于1516年撰写出版了《乌托邦》，描写了在一个小岛上实行财产公有制、集体劳动、人人平等、按需分配等社会特征，标志着空想社会主义的诞生。
“乌托邦”意指子虚乌有的地方，虽然并不存在，但这一思想具有重要意义。
因为这一思想 ( )①为科学社会主义的诞生提供了坚实的理论基础②激发了人们对更加公正、平等社会的向往和追求③为后来的社会主义实践提供了有益的启示和参考④揭示了资本家剥削工人并占有工人剩余劳动的秘密A.①②B.①④C.②③D.③④2.数字技术飞速发展，资本主义旧貌换新颜———数字资本主义时代的到来，让我们见证了社会结构与交往模式的变革。
有学者指出，我们当前面对的，实则是资本主义的一种新形态，它依托于全新的硬件与软件基础而运作。
这说明 ( )A.数字技术的发展能避免资本主义经济危机和灭亡B.数字资本主义只是一种暂时现象而不会长期存在C.我们在与资本主义的一个变体共舞但其本质依旧D.数字资本主义是完全独立于传统资本主义的新样态3. “山不让尘，川不辞盈”。
在第33届巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命, 共获得40金、 27银、 24铜, 总计91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，为祖国和人民赢得了荣誉。
奋斗是实现中国梦的正确打开方式，新时代实现中华民族伟大复兴需要青年( )①练就本领，为全面建成小康社会而接续奋斗②砥砺奋斗，成为应对各种风险挑战的主心骨③坚定信念，在砥砺奋斗中勇于担当时代责任④扎实工作，积极投身到人民群众的实践中去A.①②B.①④C.②③D.③④4.2024年6月 30日, 全球首个集“桥、岛、隧、水下互通”为一体的跨海集群工程——深中通道正式通车，进一步拉近了珠江口东西两岸城市群的时空距离，给以电器机械、纺织服装等传统制造业为主的中山和以电子科技、金融贸易等新兴产业为主的深圳创造了发展空间。
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又 ， ， … ，累加可得 ，故 正确，故B正确；
故选：ABD
12.已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
有图可得出 ，由 可得 计算即可.
【详解】由题图可知， ，由 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
14.已知等边三角形 的边长为6，点P满足 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示 可求得P点坐标求得答案.
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图，边长为2 正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
10.设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题得 ，令 ，求出 解不等式 得解.
【详解】由题得 ，
令 ，解得 ，取k＝0，
，即 ．
故选：BCD
11.如图， 是一块半径为1的圆形纸板，在 的左下端前去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形 ， ，记纸板 的周长为 ，面积为 ，则下列说法正确的是（）
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考
数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.记集合 ， ，则 （）
A. B. 或
C. D.
2.已知 ，分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
A.-3B.-1C.1D.3
3.已知向量 ，点 ，若 且 ， 为坐标原点，则 的坐标为（）
且 ，故 .
令
所以 在 上单调递减，且
即 故选项B错误
C.
又 在 单调递增
故选项C错误
D.由C可知， 又 在 单调递减
故选项D正确
故选：AD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为 ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】依题意， ，
故 ，又 的周期 满足 ，得 ，所以 ，
所以 ，又 ，得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
8.已知： ， ， ， ， ，一束光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点）.则 斜率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先作出 关于 的对称点 ，再作 关于 的对称点 ，因为光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，入射光线和反射光线都经过 关于直线 的对称点 点，又因为再经 反射，反射光线经过 关于直线 的对称点，所以只需连接 ､ 交 与点 ，连接 ､ 分别交 为点 ､ ，则 ， 之间即为点 的变动范围.再求出直线 ， 的斜率即可.
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知a，b，c为非零实数，且 ，则下列结论正确的有（）
A. B. C. D.
10.设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（）
A B. C. D.
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而可知B选项错误.
C.通过 ，得到 ，进而可得 与 的大小关系,进而可知C选项错误.
D.与C选项同样 方法即可判断.
【详解】A. 令
则 ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，
且 ，故 .
令
则 ，
所以 在 上单调递减，且
即 故选项A正确
B. 令
则 ，所以 在 单调递增，在 上单调递减，
∴ 斜率的范围为 .
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查入射光线与反射光线之间的关系，关键在于入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：D.
5.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．
A. B. C. D.
6.设 ，则（）
A. B.
C. D.
7.将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 （）
A.0B.1C.2D.
8.已知： ， ， ， ， ，一束光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点）.则 斜率的取值范围是（）
【解析】
【分析】分别判断出 ， ， ，即可得到答案.
【详解】 .
因为 ，所以 .
所以 ；
因为 在R上为增函数，所以 ；
因为 在 上为增函数，且 所以 ，即 ；
所以
故选：D
7.将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 （）
A.0B.1C.2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的图象变换得到 的解析式，再由其图象性质得出 后计算原式
①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；
②存在点H，使得GH⊥AE；
③三棱锥B−GHF的体积为定值；
④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为 ．
其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an}的前三项的和为－9，前三项的积为－15.
【详解】易知四面体 的三条侧棱 两两垂直，且 ，把四面体 补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体 的外接球，球的半径为
故选：B.
【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力．
6.设 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
（1）如果甲、乙两队比赛 场，求甲队的积分 的概率分布列和数学期望；
（2）如果甲、乙两队约定比赛 场，求两队积分相等的概率．
20.如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边 等腰直角三角形.已知平面 平面 ，平面 平面 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，设 为棱 中点，求当几何体 的体积取最大值时 与 所成角的正切值.
（2）若关于x的方程 （t为实数）有两个正实根 ，证明： ．
答 案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.记集合 ， ，则 （）
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，再由交集的定义即得.
【详解】∵ 或 ， ，
所以 .
3.已知向量 ，点 ，若 且 ， 为坐标原点，则 的坐标为（）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，可设 ，根据 ，用代入模长公式求得 .
【详解】由 知，存在实数 ，使 ，
又 ，则 ，即 或 ，
所以 或 .又点 ，
所以 或 .
故选：D.
4.已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（）
9.已知a，b，c为非零实数，且 ，则下列结论正确的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．
【详解】因为 ，所以 .根据不等式的性质可知A，B正确；
因为a，b的符号不确定，所以C不正确；
.
可得 ，所以D正确.
故选：ABD．
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
故选：A.
2.已知 ，分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
A.-3B.-1C.1D.3
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果.
【详解】由题意得： ，
又因为 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，所以 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题．