奔驰定理、三角形四心及其向量关系
三角形“四心”的向量表示及运用2
三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心 已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上 的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（ ）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（ ）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（ ） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（ ）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。
平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版
平面向量奔驰定理与三角形四心的应用定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；OD =DC BC OB +BCBDOC =C B BS S S +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ； ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上. ]⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆例1 P 是ABC ∆内一点，2155AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（ ）例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．98B ．43C ．1D ．65奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
高考数学知识点复习：奔驰定理与向量四心
专题5奔驰定理与向量四心秒杀秘籍：第一讲奔驰定理与三角形四心重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则△ABC 的重心坐标为),(y x G .注意：（1）在△ABC 中，若O 为重心，则0OA OB OC++=．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．定理：重心的向量表示：1133AG AB AC=+．定理：0B A C S OA S OB S OC（奔驰定理），则AOB 、AOC 、△BOC 的面积之比等于123:: 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点．点O 是ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA．角平分线定理：若OA a ，OB b ，则AOB 平分线上的向量OM 为(||||ab a b ， 由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ，212AO AC AC ；212BO BC BC ；（2）221144AO AF AB AC ，221144BO BE AB BC ，221144CO CD BC AC ；（3）221122AO BC AC AB ，221122BO AC BC BA ，2211.22CO AB BC AC 重心定理证明：2211133233AG AD AB AC AB AC奔驰定理证明：如图，令112131,,OA OA OB OB OC OC ，即满足1110OA OB OC11121AOB A OB S S ，11131AOC A OC S S ，11231BOC B OC S S ，故321::::AOB AOC BOC S S S l l l =.垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ，即OB CA^，以此类推．角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b 是以||a a 和||bb 为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||ab a b 在AOB 平分线上，但AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定.当1 时，四边形OAMB 构成以 120AOB 的菱形．外心定理证明：如图，ABC △中，D 、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为ABC △外心，则AB OD ，AC OE ，BC OF ，AO AD DO AE EO ，221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ，同理可证：212AO AC AC ×= ，212BO BC BC ；22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC骣琪×=×+=×+×=+琪桫；同理221144BO BE AB BC ×=+；同理221144CO CD AC BC ×=+.【例1】在四边形ABCD 中，AB DC = =(1,0)，BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是（）A ．32B ．3C ．34D ．32【解析】,||||1||||||BA BC BDBD ABC BD BA BA BC BD为的角平分线且，又因为 1,0AB DC ，故ABCD 是一个菱形，且120ABC Ð=°，故面积为131322S =创=，选A.【例2】已知点O 为ABC 内一点，且230OA OB OC，则AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A ．9∶4∶1B ．1∶4∶9C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3【解析】如图，令1123OB OB OC OC，即满足1110OA OB OC112AOB AOB S S ，113AOC AOC S S ，11123BOC B OC S S ，故111::::3:2:1.236AOB AOC BOC S S S 例2图例3图例4图【例3】已知G 为ABC 的重心，令AB a = ，AC b = ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP ma =，AQ nb = ，则11m n+=．【解析】1133AG a b =+，AP AP ma a m，AQ AQ nb b n ；11;3333AP AQ AG a b m n =+=+令PG PQ l =，即()1AG AP AQ l l =-+，()1AG AP AQ l l =-+，故11111333m n m nl l -=Þ=Þ+=．【例4】在OAB 中，OA a = ，OB b = ，若2a b a b×=-=．（1）求22a b + 的值；（2）若()0a b a b a b 骣琪+×-=琪琪桫，3AB AM = ，2BA BN = ，求OM ON ×的值．【解析】（1）由于22222224428a b a b a ab b a b ab -=Þ-=-+=Þ+=+= ；（2）||||a b a b +表示AOB 的角平分线OD 的共线向量，a b -表示BA ，()0.||||a b a b a b骣琪+-=琪桫可知OAB 为等腰三角形，即a b ，2282a b a b a b OAB为等边三角形．1122ON a b ，1233OM b a ，22112111142432233326326ON OM a b a b a ab b．【例5】已知O 为ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO×的值（）A ．23B ．12C ．6D ．5【解析】22111152244AO AM AO AB AC AB AC骣琪×=×+=+=琪桫．【例6】设P 为锐角ABC 的外心（三角形外接圆圆心），AP k AB AC =+ （k ∈R ）．若cos ∠BAC =25，则k （）A ．514B ．214C ．57D ．37【解析】()()22221212252512122525AP AB AB k AB k AC AB k AB k AB AC k AB k AC AP AC AC k AB k AC AC k AC k AB AC k AC k AB 骣琪×==+×=+Þ-=琪桫骣琪×==+×=+Þ-=琪桫 üïïïýïïïþ；AB AC \= 故1252314k k k 骣琪-=Þ=琪桫，选A ．达标训练1．已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a ，则下面结论正确的是（）A ．b a ∥B ．b a C ．||||b a D ．ba b a 2．已知ABC △和点M 满足0MA MA MC ++= ．若存在实数m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．OD AOB ．ODAO 2 C ．OD AO 3 D ．ODAO 24．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC +=，则ABC △为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形5．点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA，则点O 是ABC △的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点6．点P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．点O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC l =++，),0[ ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．设点O 在ABC △的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC △的面积与AOC △的面积的比为（）A ．2B ．32C ．3D ．539．已知P 为ABC 内部任一点（不包括边界），且满足0)()2)(( CA CB AB PC P A PB P A PB ，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC （）A ．8B ．8C ．4D ．4第10题第15题11．已知点G 是ABC △内一点，满足0GA GB GC ++= ，若3BAC ，1AB AC ，则||AG 的最小值是（）A 3B 2C 6D 612．边长为8的等边ABC △所在平面内一点O ，满足230OA OB OC --=，若19|| OP ，则||PA 的最大值为（）A ．63B ．219C ．319D ．41913．已知O 是ABC △的外心，4|| AB ，2|| AC ，则)(AC AB AO =（）A ．10B ．9C ．8D ．614．已知ABC △中， 45A ， 60B ，点H 是ABC △的垂心，存在实数s ，t ，使得AH s AB t AC =+，则s ，t 的值分别为（）A ．32 s ，33 t B ．32 s ，3 t C ．32 s ，33t D ．32 s ，32 t 15．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB =6，MN =4，则PM PN=（）A ．13B ．7C ．5D ．316．在ABC △中，AB =AC =5，BC =6，I 是ABC △的内心，若BI mBA nBC =+)(R n m ，（m ，n ∈R ），则nm=（）A ．43B ．65C ．2D ．1217．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（）A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC=-- C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=+ 18．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则16h +25k 的最小值（）A ．27B ．81C ．66D ．4119．已知ABC △为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AC AB AP ，则 2 的最大值为（）A ．12B ．331C ．52D ．23220．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若54OC OB OC =- ，则||||AB BC等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．ABC △所在平面上一点P 满足PA PB PC AB ++=，则P AB △的面积与ABC △的面积比为（）A ．3:2B ．3:1C ．4:1D ．6:122．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则k h 11 =（）A ．3B ．4C ．5D ．623．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ．若OB y OC x OC ，)(R y x ，，则y x 的最大值是（）A ．1B ．33C ．2D ．23324．在ABC △中，点G 满足0GA GB GC ++= ．若存在点O ，使得16OG BC =，且OA mOB nOC =+ ，则n m =（）A ．2B ．2C ．1D ．125．已知O 为ABC △内一点，且有230OA OB OC ++=，记ABC △，BCO △，ACO △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则321S S S ：：等于（）A ．1:2:3B ．2:1:3C ．2:1:6D ．1:2:626．已知G 是ABC △的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM xAB =，AC y AN ，)0( y x ，，则y x 3的最小值是（）A ．83B ．72C ．52D ．4233327．已知P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++= ，2|||||| AB PC PC ，则PBC △的面积等于（）A ．33B ．23C 3D ．4328．A ，B ，C ，D 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ×=×=×=-.||||||DC DB DA ，动点P ，M满足PM MC = ，|PA|1=，则||MB 的最大值是（）A ．72B ．4C ．92D ．529．在ABC △中，O 为中线AM 上的一个动点，若4 AM ，则)(OC OB OA 的最小值是（）A ．4B ．8C ．10D ．1230．在ABC △中，1 AB ， 60ABC ，1AC AB ，若O 是ABC △的重心，则BO AC的值为（）A ．1B ．52C ．83D ．531．已知点P 在圆122x y 上，点A 的坐标为)0,2( ，O 为原点，则AO AP ×的最大值为．32．过点3,1(P 作圆122 x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PB P A =．33．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．34．在ABC △中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×=．35．在四边形ABCD 中，AB DC = =（1，1），3||||||BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．36．在ABC △中，M 是BC 的中点，120A ，12AB AC ，则线段AM 长的最小值为．。
6.4.1平面几何中的向量方法(奔驰定理、三角形四心)(教学课件)--高中数学人教A版
任务一：平面几何中的向量方法
【例3】正方形ABCD的边长为6, E是AB的中点，F是BC边上靠近
点B的三等分点，AF与DE交于点M,求∠EMF的余弦值．
解：建系如图
则D 0,6 ，E 3,0 ，F 6,2 ，DE = 3, −6 ，AF = 6,2
【例8】在△ ABC中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是△ ABC的垂心，
则DH ⋅ BC = ？
任务三 ：三角形的四心的向量表示
【选做】O是△ ABC所在平面上的一点，动点P满足OP = OA + λ(
AC
|AC|cos∠C
)，则点P 形成的图形一定通过△ ABC 的垂心。
AB
|AB|cos∠B
2
1
AC
2
1
.
2
C
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-2】利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？
转化
• 用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题
运算
• 通过向量运算研究几何元素之间的关系
翻译
• 把运算结果“翻译”成几何关系
任务一：平面几何中的向量方法
【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC
6.4.1平面几何中的向量方法-奔驰
定理，三角形四心
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-1】平面几何中的位置关系如何用向量表示
几何
向量
坐标
՜ ՜ ՜
՜
՜
՜
平行 // ( ≠ 0 ) ⇔ = ； //
Ԧ
⇔ 1 2 − 2 1 = 0.
平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理
秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。
三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”_
t
anCOC＝０．
用向量法研究三角形 的 性 质,一 方 面 完 善 有 关 三
角形性质的知识,另一方 面 加 深 对 向 量 法 基 本 思 想 的
理解 ．
在此过程中,充 分 运 用 了 平 面 向 量 基 本 定 理、向
量的线性运算以及数量 积 运 算,体 现 了 等 价 转 化 与 化
归的思想方法,让学生深 刻 感 受 到 向 量 集 数 与 形 于 一
驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示 ．
关键词:三角形;向量表示;数学探究;奔驰定理
“用向量法研 究 三 角 形 的 性 质”是 人 教 A 版 新 教
材的“数学探究活动”专 题,要 求 学 生 用 向 量 方 法 研 究
三角形的性质 ．
用向量法研究三角形的性质,首先用 向
身的无限力量,发展和提 高 了 数 学 抽 象、数 学 运 算、逻
辑推理等核心素养 ．
Z
９０
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争鸣探究
２０２３ 年 ５ 月上半月
三角形 “ 四心 ” 的向量表示及 “ 奔驰定理 ”
◉ 湖北大学附属中学 杨彩云
摘要:数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的 数 学 问 题,猜 测 合 理 的 数 学 结 论,提 出 解 决 问 题 的 思 路 与 方 法 ．
本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然 后 由 特 殊 到 一 般,猜 想 并 证 明“奔
→
→
一点,则 S△BOCO→
A ＋S△AOCOB ＋S△AOBOC＝０．
４．
２ 奔驰定理
三角形内心-奔驰定理1
三角形“四心”的向呈表示及运用奔驰定理平面向量有一个非常优美的结论：已知点O为ABC内一点，则S BOC OA S AOC OB S AOB OC 0，网络称为平面向量的“奔驰定理”．本文将给出平面向量“奔驰定理”的一种证明，并给出点O在ABC外的结论．在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例．一、两个定理定理1：设点O是ABC内一点且S BOC : S AOC : S AOB k1: k2: k3，则k1OA k2OB k3OC=0 ．证明：如图，设OA=-0A ，过A 作OC的平行线交OB于B ，过A 作OB的平行线交OC于C，则OA OB OC 。
OB S B OC S A OC S AOC k2OB S BOC S BOC S BOC k1同理OC k OCk 2k 3 所以 -OAk 2OB k 3OC11即 k 1OA k 2OB k 3OC 0定理 2：设O 是 ABC 外一点 ,不妨设点 A 和点 O 位于直线 BC的两侧， 若S BOC : S AOC : S AOB k 1 : k 2 : k 3 ，则 -kOA 1 k 2 BO k 3OC 0证：过A 作OC 的平行线交 OB 于B ，过作 OB 的平行线交 OC 于C ，则 OA OB OC ．kk所以OA k k 2OB k k 3OC11OB OB所以S B OC S BOCOBk2OB 。
k 1 。
同理OCk2OC 。
k 1。
S AOC k 2 S BOCk 1 。
即-k 1OA k2OB k3OC 0特别：当点O在ABC的某一边上，不妨设O在BC 边上(不与B 、C 重合)则相当于k1 0 ，上面定理仍然成立。
二、三角形的四心”及其向量表示1．三角形的重心(1)定义：三条边上的中线的交点。
(2)设O是ABC的重心，则① 设D、 E、 F 分别是边BC、 AC、 AB 的中点，则AO: OD BO: OE CO: OF 2 : 1。
【高考数学】奔驰定理与向量四心
，则△ABC 的重心坐标为(G 为重心，则0OA OB OC ++=．1，且分的三个三角形面积相等定理：重心的向量表示：1133AG AB AC =+． 0B C OA S OB S OC ⋅⋅⋅++=（奔驰定理）AOB 、AOC ∆、△BOC 123::λλλ垂心定理：三角形三边上的高相交于一点ABC ∆的垂心，则OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅． 角平分线定理：若OA a =，OB b =，则∠平分线上的向量OM 为 ()||||a b a b λ+，λ由OM 决定 外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=；212BO BC BC ⋅=； ）221144AO AF AB AC ⋅=+，221144BO BE AB BC ⋅=+，221144CO CD BC AC ⋅=+； ）221122AO BC AC AB ⋅=-，221122BO AC BC BA ⋅=-，2211.22CO AB BC AC ⋅=-重心定理证明：()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⋅+=+ 12131,,OA OA OB OB OC OC λλ===，即满足1110OA OB OC ++=131λλ=，11231BOC B OC S S λλ=，故321:::AOB AOC BOC S S l l l =. 垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=，即OB CA ^，以此类推角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b +是以||a a 和||b b 为一组邻边的点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||a b a b +在AOB ∠平分线上，但∠分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定.OAMB 构成以∠如图，ABC △、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为△AC ，OF ⊥，AO AD DO AE EO =+=+，()221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ⋅=+⋅=+⋅=， 同理可证：212AO AC AC ?，212BO BC BC ⋅=； 22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC 骣琪??=??+琪桫； 同理221144BO BE AB BC ?+；同理221144CO CD AC BC ?+. 中，AB DC ==(1,0)，BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是（B ．3 C ．34 且230OA OB OC ++=，则A ∆．1∶4∶9 C的重心，令AB a =，AC b =，过点G 的直线分别交AP ma =，AQ nb =，则11m n+OAB 中，OA a =，OB b =，若2a ba b ?-=． ）求22a b +的值；()0a b a b a b ⎛⎫ ⎪+⋅-= ⎪⎝⎭，3AB AM =，2BA BN =，求OM ON ×的值．4=AB ，2=AC ，BAC ∠为钝角，的中点，则AM AO ×的值D ．5，()AP k AB AC =+（k ∈2）C ．5 B ．⊥b a |b D ．满足0MA MA MC ++=．若存在实数使得AB AC mAM +=成立，则B ．3 ．4 所在平面内一点，D 为20OA OB OC ++=，那么（OD AO 3=)0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC +=，则．等腰非等边三角形 B ．等边三角形．三边均不相等的三角形 D ．直角三角形所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA ⋅=⋅=⋅，则点 B ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条高的交点所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P ．内心 C ．重心 D ．垂心是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC l =++，）B ．内心D ．垂心 的内部，且有230OA OB OC ++=，则B ．32 （不包括边界），且满足(PB ．等腰直角三角形 ，则AB AC ⋅=（ ．4第10题 第15题内一点，满足0GA GB GC ++=，若π=∠BAC ，1AB AC ⋅=，则是（ ）．2 3，满足230OA OB OC --=，若 ）D ．6 ，使得AH sAB t AC =+，3 上的点，M 、N 是直径，则PM PN ⋅=（ C ．5 ABC 的内心，若BI mBA nBC =+(n m ，、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（ ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =-- ．1233OA AB BC =-- ．2133OA AB BC =+ 为ABC △的重心，过G 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ =，则）．41，若54OC OB OC =-，则||||AB BC 等于（B ．2 C ．3 满足PA PB PC AB ++=，则PAB △的面积与ABC △的面积比为（．6:1 两点，且AP hAB =，3 B ．4 C ．5 D ．6已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ⋅=．若则y x +的最大值是（ ）B ．33C ．23满足0GA GB GC ++=．若存在点使得16OG BC =，且O A m O B n O C =+，则m B ．2- C ．1 D ．1-内一点，且有230OA OB OC ++=，记ACO △的面积分别为S 3S ，则321S S S ：：B ．2:1:3 D ．:2:6，且AM xAB =，AN 2D ．4233+所在平面内一点，0AB PB PC ++=，|．23 C ．3 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ???-.满足PM MC =，|PA|1=，则||MB 的最大值是（B ．4 C ．9 8-D ．12-，1AC AB ⋅=-，则BO AC ⋅的值为52 D ．5的坐标为0,2(-为原点，则AO AP ×的最大值为 ，则PB PA ⋅上的三点，若1()2AO AB AC =+，则ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×= 中，AB DC ==（1，3||||||B A B C BD BA BC BD+=，则四边形ABCD BC 的中点，120∠︒，12AB AC ⋅=-，则线段。
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A
O
B
D
C
例3：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP
OB
OC
AB
AC
（, [0, ）)
2
AB COSB
AC
COSC
A
则P点的轨迹一定通过ABC的 A
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
O
点拨：取BC中点D，则OD OB OC.， 2
DP
AB AB COSB
动点P满足OP OA
AB AB COSB
AC
AC COSC
, 则P点的轨迹一定通过ABC的 D
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：AP
AB AB COSB
AC AC COSC
的两边同乘以BC
A
变式1.若H为△ABC所在平面内一点，
且
2
2
2
2
2
2
HA BC HB CA HC AB
则点 O 依次为△ABC 的( )
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
例题 6．设△ABC 外心为 O，重心为 G．取点 H，使
．
求证：（1）H 是△ABC 的垂心；
（2）O，G，H 三点共线，且 OG：GH=1：2．
解析 ①由O→A＝－(O→B＋O→C)＝－2O→D(其中 D 为 BC 边的中点)可知 O 为
02
垂心及其向量关系
2
：三角形的垂心是三角形三边上的高
的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
性质： 直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
垂心的向量式
H是 ∆ ABC的垂心,则有以下结论：
1.HA HB HB HC HC HA
A
H
B
C
例2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
AC AC COSC
（,
[0,）)
BC DP
AB BC AB cos B
AC AC
BC cos C
0
B
D
C
04
内心及其向量关系
4
：三角形的内心是三角形三条角平分
线的交点(或内切圆的圆心)。
性质： 1. 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
2. r= 2S abc
， 3.在Rt△ABC中，∠C=90° r= a b c
→
BC
边上中线的三等分点(靠近线段
BC)，所以
O
为△ABC
的重心；②向量
AC →
，
|AC|
→ AB →
→→
→→
→
分别表示在AC和AB上取单位向量AC′和AB′，它们的差是向量B′C′，
|AB|
当O→A·
→ AC →
－
→ AB →
＝0,
即
OA⊥B′C′时，点
O
在∠BAC 的平分线上，同理由
|AC| |AB|
→→ 同理有|OB|＝|OC|，于是 O 为△ABC 的外心。
c
b
其中a、b、c分别是ABC三边BC、AC、AB的长)
P
2.AP
AB
AC
（, [0, ）),则P一定经过三角形内心
B
a
C
AB
AC
例题4：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP OA
AB
AC
（, [0, ）)
AB
AC
则P点的轨迹一定通过ABC的 B
1
3.PG (PA PB PC)
3
B
4.AP (AB AC), 0, ,则P一定经过三角形重心
G
M
C
E
例1 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP OA AB AC ,则P点的轨迹一定通过ABC的C
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：由OP OA AB AC ,得AP AB AC
分析：法1： OG 2 AM OA 3
法2：
当P1P
PP2时，点P的坐标为xP
x1 x2 1
,
yP
y1 y2 1
xG
x1
x2 3
x3
, yG
y1
y2 3
y3
A
G
B
M
x
c
重心的向量式
设G是 ∆ ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下常用结论：
1.GA GB GC 0
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.AG 2GM
三角形中线向量式
A
AM 1（AB AC） 2
G
B
M
c
重心 的向量表达式
ABC中，G为ABC的重心，请用AB、AC表示 AG.
AG 2 AM 2 1（AB AC） 1（AB AC）
3
32
3
y
重心的坐标运算
ABC中，G为ABC的重心，A（x1, y1）、 O B（x2 , y2）、C(x3 , y3 ),求出点G的坐标.
,则H是∆ ABC
的 垂 心.
H
B
C
03
外心及其向量关系
3 三角形外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或 三角形外接圆的圆心)
性质： 到三角形三个顶点的距离相等
外心的向量式
O是 ∆ ABC的外心，则有以下结论：
1、OA OB OC
2
2
2
OA OB OC
2、OA OB AB OB OC BC OA OC AC 0
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目录
CONTENTS
1 知识链接
2
重心
3
垂心
4
外心
5
内心
6
奔驰定理
7
总结
01
重心及其向量关系
1 三角形重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
性质： (1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 (3)重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 (4)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
例题 5、已知点 O 在△ABC 所在平面内，且分别满足下列关系式：
→→→ ①OA＋OB＋OC＝0；
→→
→→
AC AB
BC BA
②O→A·|A→C|－|A→B| ＝O→B·|B→C|－|B→A| ＝0；
→ →→ → →→ ③(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0。
O→B·
→ BC →
－
→ BA →
＝0，知点
O
在∠ABC
的平分线上，故
O
为△ABC
的内心；
|BC| |BA|
→→ →→
→
③OA＋OB是以OA，OB为边的平行四边形的一条对角线，而AB是该平行四边形
→→ →
→→
的另一条对角线，AB·(OA＋OB)＝0 表示这个平行四边形是菱形，即|OA|＝|OB|，
2
内心的预备知识
问题：1、 a 的几何意义？ a
2、 a b 的几何意义？ ab
3、（ AB AC ）( 0) 的几何意义？
AB AC
是∠BAC平分线所在直线
内心的向量式
P是 ∆ ABC的内心，则有以下结论：
A
1. AB PC BC PA CA PB 0(或aPA bPB cPC 0,