2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题(解析版)
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【答案】B 【解析】1122644230C C C C +表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数． 【详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：16010424204160--⨯=故选：B 【点睛】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题． 3．下列命题中正确的是（ ）A ．1y x x=+的最小值是2 B ．2y =的最小值是2C ．()4230y x x x =-->的最大值是2-D ．()4230y x x x=-->的最小值是2-【答案】C 【解析】 因为A.1y x x=+的最小值是2，只有x>0成立。
B.2y =的最小值是2 ，取不到最小值。
C.()4230y x x x =-->的最大值是2-D.()4230y x x x=-->的最小值是2-，不成立。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏淮安市淮阴中学高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1} 2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程＝bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1，2）D．（2.5，4）3．已知α∈{﹣3，﹣2，，2}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．24．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．不等式＞1的解集为（）A．{x＜﹣1或x＞3}B．{x＜﹣1或1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}6．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.87．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．64B．88C．72D．608．若存在实数x使得不等式|x+1|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）9．设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件10．（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7二、多选题（共2小题）.11．下列说法正确的是（）A．函数y＝与函数y＝log33x是同一函数B．函数y＝的值域是（﹣∞，4]C．若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），则f（x）为周期函数D．函数y＝|x|sin x为R上奇函数12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（）A．2B．6C．5D．4三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝的定义域是．14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax为奇函数，则曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为．15．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012p2c2c c 则实数c的值为；随机变量ξ的方差为．16．已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为．四、解答题17．设（1+2x）n＝a0+a1x+…+a n x n，其中n∈N*，a0，a1，……，a n∈R．（1）若n＝6，写出二项展开式第四项；（2）若n＝8，求出a0+a2+a4+a6+a8的值．18．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）19．设函数f（x）＝a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a＝2，b＝且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a＝4，b＝2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．20．设U＝R，A＝{x||x+1|＞1），B＝{x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B＝∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．21．江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量X＝2的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．22．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝x3﹣ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）﹣b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）＝﹣g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1}【分析】利用交集和数轴即可求出A∩B．解：A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}＝{x|﹣1≤x≤2，且x＜8}＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：D．2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程＝bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1，2）D．（2.5，4）【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．解：由题意，＝（0+1+2+6）＝1.5，＝（1+4+5+7）＝4∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）故选：B．3．已知α∈{﹣3，﹣2，，2}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．2【分析】利用幂函数的性质求解．解：∵幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴α为奇数且α＜0，故选：A．4．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】直接利用对数的关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果．解：y＝lg＝lg（x﹣3）﹣1．所以要得到函数y＝lg的图象，只需将函数lgx的图象向右平移3个单位，在将函数的图象向下平移1个单位即可．故选：D．5．不等式＞1的解集为（）A．{x＜﹣1或x＞3}B．{x＜﹣1或1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．解：∵＞1，∴＞0，解得：﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．6．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.8【分析】根据P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X＜2）计算．解：∵随机变量X～N（2，σ2），∴P（X＜2）＝0.5，∴P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X＜2）＝0.3．故选：B．7．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．64B．88C．72D．60【分析】根据题意，分四位偶数的个位是否为0两种情况讨论，求出每种情况下四位偶数的数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①当个位是数字0时，剩下的4个数字中任选3个，安排在千、百、十位，可以组成A43＝24个四位偶数，②当个位不是5时，个位可以是2，4，有两种选法，千位有3种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C26C31A32＝36种四位偶数，故选：D．8．若存在实数x使得不等式|x+1|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】先求出f（x）＝|x+1|+|x﹣1|的最小值为﹣2，转化为a2﹣3a≥﹣2，即可求出a 的范围．解：令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，则﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤|x+6|﹣|x﹣1|≤2，则a2﹣3a≥﹣2，故选：D．9．设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知结合对数不等式的性质可得1＜a＜b＜3，得到3a＜3b；反之，由3a＜3b，不一定有log a3＞log b3＞1成立，再由充分必要条件的判定得答案．解：a，b都是不等于1的正数，由log a3＞log b3＞1，得1＜a＜b＜3，∴4a＜3b；∴“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的充分不必要条件．故选：B．10．（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7【分析】分别求出两个二项式的展开式，相乘，令指数为0，即可求得结论．解：（x2+2）8展开式的通项为T r+1＝2r x6﹣2r（0≤r≤5）（﹣1）5展开式的通项为T k+1＝（﹣1）k x2k﹣14（0≤k≤5）令2k﹣2r﹣8＝0，则k﹣r＝8，所以（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项为故选：B．二、多选题（每题5分，共10分）11．下列说法正确的是（）A．函数y＝与函数y＝log33x是同一函数B．函数y＝的值域是（﹣∞，4]C．若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），则f（x）为周期函数D．函数y＝|x|sin x为R上奇函数【分析】A从函数定义域考虑，B从函数值域考虑，C经过计算得出函数周期为4，D用函数奇偶性判断出是奇函数．解：A选项错在两函数的定义域不同，B选项由指数函数值域恒大于0以及偶次根式一定大于等于0得出该函数值域为[0，4）．C选项由f（x）＝f（2﹣x）得f（﹣x）＝f（7+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x），所以f（4+x）＝f（x），求出周期为4．D选项|x|为偶函数，sin x为奇函数，所以整个函数为奇函数．故选：CD．12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（）A．2B．6C．5D．4【分析】画出函数f（x）的图象，对a分类可得关于f（x）的一元二次方程根的情况，数形结合可得方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数的可能取值．解：画出f（x）＝的图象如图，△＝4﹣4（a2﹣1）＝8﹣4a2．若a＝，则f2（x）﹣2f（x）+a7﹣1＝0化为f2（x）﹣2f（x）+1＝0，即f（x）＝3，若＜a＜﹣1或1＜a＜，则f（x）＝5﹣∈（0，1），或f（x）＝1+∈（1，2），若a＝±1，则f（x）＝0或f（x）＝2，方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝3的根的个数为4个；方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为4个．故选：ACD．三、填空题（每题5分，共20分）13．函数f（x）＝的定义域是（0，2]．【分析】要是解析式有意义，只要1﹣log2x≥0，log2x≤1，结合对数函数的图象或单调性求解即可．解：1﹣log2x≥0，log2x≤1＝log22，故0＜x≤2．故答案为：（0，2]14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax为奇函数，则曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为4x﹣y﹣2＝0．【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，因为f（x）为奇函数，所以a＝1，可得函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝8（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故答案为：4x﹣y﹣2＝0．15．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012p2c2c c 则实数c的值为；随机变量ξ的方差为．【分析】利用分布列的性质求出c，然后求解期望以及方差即可．解：由题意可得：2c2+＝1，解得c＝．所以Eξ＝0×+1×+2×＝，故答案为：；．16．已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为20．【分析】可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，联立y＝t与抛物线的方程，以及y＝t+1与抛物线的方程，运用韦达定理和求根公式，求得|AB|，|CD|，|AD|，再由梯形的面积公式和勾股定理、换元法和基本不等式可得所求最小值．解：可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x5，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x2＜x3，由y＝t与y＝x2+ax+b联立，可得x2+ax+b﹣t＝0，x1+x6＝﹣a，x1x2＝b﹣t，则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝，则△2＝a2﹣4（b﹣t﹣1），由于b≤0，t≥7，可得△2＞0恒成立，可得S＝（|AB|+|CD|）×1＝（+），设u＝，v＝，则v2﹣u2＝4，即v﹣u＝，当且仅当（u+v）7＝即u+v＝4时，上式取得等号．故答案为：20．四、解答题17．设（1+2x）n＝a0+a1x+…+a n x n，其中n∈N*，a0，a1，……，a n∈R．（1）若n＝6，写出二项展开式第四项；（2）若n＝8，求出a0+a2+a4+a6+a8的值．【分析】（1）由二项式展开式公式即可求得第四项；（1）分别令x＝1，x＝﹣1，计算即可得结论．解：（1）n＝6时，二项式展开式第四项为T4＝（2x）3＝160x3．（2）（1+2x）8＝a0+a1x+…+a3x8，令x＝﹣1，1＝a0﹣a1+a2﹣…+a6，所以a0+a2+a4+a6+a7＝，18．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）【分析】（1）根据题意，用捆绑法分析：将三种颜色的球都分别看成整体，再将三个整体之间进行排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式直接计算可得答案；（3）根据题意，由组合数公式计算从7只球中任取4个的情况数目，由加法原理分析三种颜色都有的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：（1）根据题意，将2只不同的红球看成一个整体，有A22＝2种顺序，2只不同的白球，有A26＝2种顺序，三个整体之间进行排列，有A33＝4种情况（2）根据题意，将这7只球分成1，3，8的三堆，有＝70种排法；其中三种颜色都有的情况有C22C71C31+C21C22C31+C21C41C32＝24种，则各种颜色的球都必须取到的概率P＝，19．设函数f（x）＝a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a＝2，b＝且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a＝4，b＝2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）运用偶函数的定义可得f（﹣1）＝f（1），解方程可得m，检验即可；（2）可令t＝2x，t＞0，可设g（t）＝t2+mt，结合二次函数的最值求法可得m的范围；（3）由题意可得（）x＞﹣m，讨论m≥0，m＜0，结合指数函数的值域和单调性，可得解集．解：（1）当a＝2，b＝时，f（x）＝2x+m•（）x，所以f（﹣1）＝+2m，f（1）＝4+m，可得f（﹣1）＝f（1），即+2m＝2+m，此时f（x）＝2x+（）x，f（﹣x）＝（）x+2x，所以m＝3；可令t＝2x，t＞0，则g（t）在（0，+∞）有最小值，可得﹣＞0，（3）f（x）＝a x+m•b x＞6，所以a x＞﹣m•b x，因为a∈（0，1），b＞1，所以，当﹣m≤4即m≥0时，原不等式的解集为R；当﹣m＞0，即m＜0时，原不等式的解集为（﹣log（﹣m））．20．设U＝R，A＝{x||x+1|＞1），B＝{x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B＝∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．【分析】（1）解绝对值不等式即可得出A＝{x|x＜﹣2或x＞0}；（2）B＝∅时，可得出不等式x2+（m+1）x+3m＜0无解，从而得出△≤0，然后即可得出m的取值范围；（3）根据题意，首先根据△＞0得出或，然后根据A∪B＝R即可得出，然后解出m的范围即可．解：（1）A＝{x|x＜﹣2或x＞0}；（2）若B＝∅，则不等式x2+（m+1）x+3m＜0无解，∴m的取值范围为；设x1，x6为x2+（m+1）x+3m＝0的两个根，则B＝（x1，x2），∴，解得m＜﹣2，综上得，m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．21．江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量X＝2的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）①根据二项分布概率计算公式计算即可；②先利用二项分布概率计算公式分别计算出X＝0，1，2，3时的概率，再画出概率分布表，结合数学期望计算公式即可求解数学期望．解：（1）该校最终选地理的学生为事件A，．②，，X6123P．22．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝x3﹣ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）﹣b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）＝﹣g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令m（x）＝f（x）﹣b＝xlnx﹣b，x＞1，求出函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（3）求出a＝，得到lnx1+1＝+，令l（x2）＝+，根据导函数求出x2＝，求出lnx1+1≥3，结合函数的单调性判断即可．解：（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，故1﹣a≥a2，故a∈[，]，故g（x）在[1，+∞）递增，故a∈[，]；故m（x）在（1，+∞）递增，又b＞0，故m（1）•m（e b）＜4，且m（x）的图象不间断，m（x）在（1，+∞）递增，（3）h（x）＝﹣x3+ax2，h′（x）＝﹣3x3+2ax，f′（x）＝lnx+1，l2：y+﹣a＝（﹣3+2ax2）（x﹣x2），即y＝（﹣3+2ax2）x+2﹣a，故lnx8+1＝﹣3+7•x2＝lnx1+1＝+，令l（x2）＝+，l（x）在（8，）递减，在（，+∞）递增，故8≥3﹣lnx7﹣1，令t＝，t＞8，故t（x）在（1，+∞）递增，而n（x）＝3﹣lnx1﹣1＞n（1）＝8，故不存在．。
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，事件B =“第二次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ）A ．12B ．25C ．310D ．152．设,a b ∈R ，则“1a ≥，且1b ≥”是“2a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据表中数据可得回归直线方程0.76y x a =+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为( ) A ．15.2B ．15.4C ．15.6D ．15.84．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）A ．455314105322C C C A AB．455214105233C C C A AC ．4551410522C C C AD ．45514105C C C5．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对6．设函数y =A ，函数3x y=的值域为B ，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(0,)+∞7．已知函数()cos sin 4f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 满足（ ） A ．最小正周期为2T π=B ．图像关于点,8π⎛ ⎝⎭对称C ．在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数D ．图像关于直线8x π=对称8．以下四个命题中，真命题有（ ）．A ．:sin p y x =是周期函数，q ：空集是集合A 的子集，则p q ∨为假命题B ．“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，20010x x ++<”C ．“a b >”是“33log log a b >”的必要不充分条件D ．已知命题p ：“如果0xy =，那么0x =或0y =”，在命题p 的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中，真命题的个数有2个．9．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于4637787810101515+C C C CC C 的是（ ）A ．(2)P X =B ．(67)≤≤P XC ．(4)P X =D ．(34)≤≤P X10．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．4B ．5C ．8D ．911．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，26S =，666S =，则数列{}2na 的前n 项和为__________．14．若直角坐标平面内,A B 两点满足点,A B 都在函数()f x 的图像上，且点,A B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()f x 一个“姊妹点对”（(,)A B 与(,)B A 可看作同一“姊妹点对”）.已知22,0,()2,0,x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“姊妹点对”有_______个.15．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 为11A B 的中点，则异面直线AM 与1B C 所成角的余弦值为______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设命题:p 函数()f x =R ；命题:39x xq a-<对一切实数x 恒成立，若命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.18．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球． （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l 的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.20．（6分）已知二次函数2()f x ax bx c =++（,,a b c 均为实数），满足0a b c -+=，对于任意实数x 都有()0f x x -≥，并且当(0,2)x ∈时，有21()()2x f x +≤. （1）求(1)f 的值；并证明：116ac ≥； （2）当[2,2]x ∈-且a c +取得最小值时，函数()()F x f x mx =-（m 为实数）单调递增，求证：12m ≤-. 21．（6分）已知抛物线Ω：24y x =的焦点为F ，过F 作互相垂直的直线AB ,CD 分别与Ω交于点A 、B 和C 、D .（1）当AB 的倾斜角为45时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.22．（8分）已知函数()f x xlnx =. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式()12f x kx >-恒成立,求实数k 的取值范围. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】分析：利用条件概率公式求(|)P B A .详解：由条件概率得(|)P B A =2311341.2A C C =故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查条件概率的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A = =()()n AB n A . 2．A 【解析】分析：由题意逐一考查充分性和必要性即可.详解：若“1a ≥，且1b ≥”，有不等式的性质可知“2a b +≥”，则充分性成立； 若“2a b +≥”，可能5,2a b ==-，不满足“1a ≥，且1b ≥”，即必要性不成立； 综上可得：“1a ≥，且1b ≥”是“2a b +≥”的充分不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查充分不必要条件的判定及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．C 【解析】 【分析】由于回归直线方程过中心点(,)x y ，所以先求出,x y 的值，代入回归方程中，求出a ，可得回归直线方程，然后令20x 可得结果【详解】 解：因为1(8.28.610.011.311.9)105x =⨯++++=， 1(6.27.58.08.59.8)85y =⨯++++=所以80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+ 所以当20x 时，0.76200.415.6y =⨯+=故选： C 【点睛】此题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属于基础题 4．A 【解析】 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以33A 得出总的方法数. 【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有455314105322C C C A A ⨯种，故选A. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题. 5．C 【解析】试题分析：在正方体''''ABCD A B C D -中，与上平面''''A B C D 中一条对角线''A C 成60的直线有''BC B C ，，','A D AD ，','A B AB ，','D C DC 共八对直线，与上平面''''A B C D 中另一条对角线60的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有166⨯对直线，去掉重复，则有166=482⨯对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角. 6．B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出A ，再结合指数函数的性质求出B ，取交集即可． 【详解】 210x -，11x ∴-，解得：[1A =-，1] 而3xy =单调递增， 故值域：()0,B ∈+∞，(]0,1A B =∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题 7．D 【解析】∵函数f （x ）=cos （x +4π）sinx =22sinx ）•sinx 22•122cos x-=24（sin2x +cos2x ）﹣24=12sin （2x +4π）+24，故它的最小正周期为2π2π=，故A 不正确； 令x =8π，求得f （x ）=12+4=24+，为函数f （x ）的最大值，故函数f （x ）的图象关于直线x=8π对称，且f （x ）的图象不关于点（8π，4）对称，故B 不正确、D 正确； 在区间（0，8π）上，2x +4π∈（4π，2π），f （x ）=12sin （2x +4π）+4为增函数，故C 不正确，故选D ． 8．C 【解析】选项A 中，由题意得p 为真，q 为真，则p q ∨为真，故A 不正确．选项B 中，命题的否定应是“0x ∃∈R ，20010x x ++≤”，故B 不正确．选项C 中，由“a b >”不能得到“33log log a b >”成立；由“33log log a b >”一定能得到“a b >”成立。
江苏省淮安地区五校2019-2020学年高二下学期6月联考数学试题 Word版含解析
淮安地区五校联考一、单选题1.已复数22()z m m i m R =-+∈为纯虚数，则m =（ ）．A. 0B. 2C. 0或2D. 4【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数类型得到220m m -=，解得★答案★.【详解】22()z m m i m R =-+∈为纯虚数，则220m m -=，解得2m =或0m =. 故选：C.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，属于简单题. 2.在曲线2y x 上切线的斜率为1的点是（ ）．A. (0,0)B. (2,4)C. 11,416⎛⎫⎪⎝⎭D. 1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【★答案★】D 【解析】 【分析】 求导取'21yx ，解得★答案★. 【详解】2y x ，则'21yx ，解得12x =，当12x =时，14y =，故切点为1124⎛⎫⎪⎝⎭，.故选：D.【点睛】本题考查了根据斜率求切点，属于简单题.3.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则q =（ ）．ξ1- 0 1P1421q -qA.112B.712C.12D.13【★答案★】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质，得到12114q q +-+=，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得12114q q +-+=，解得712q =.故选：B.【点睛】本题主要考查了分布列的性质，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力.4.已知282828x x C C -=，则x 的值为（ ）A. 6B. 8C. 12D. 8或12【★答案★】D 【解析】 【分析】由282828x x C C -=，可得28x x -=或2828x x -+=，即可求得★答案★.【详解】282828x x C C -=∴28x x -=或2828x x -+=，解得：8x =或12x = 故选：D【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题. 5.某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为ˆy＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( ) A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C. 当销售价格为10元时，销售量为100件D. 当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【★答案★】D【分析】对选项逐个分析，A 是负相关，B 中1r ≤，C 和D 中销售量为100件左右．【详解】由回归方程ˆy＝－5x ＋150可知y 与x 具有负的线性相关关系，故A 错误；y 与x 之间的线性相关系数1r ≤，故B 错误；当销售价格为10元时，销售量为510150100-⨯+=件左右，故C 错误，D 正确．【点睛】本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题． 6.已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= ( )A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.16【★答案★】B 【解析】 【分析】先计算出()()414P X P X >=-≤，由正态密度曲线的对称性得出()2P X <=()4P X >，于是得出()()()24124P X P X P X <<=-<->可得出★答案★．【详解】由题可知，()()41410.840.16P X P X >=-≤=-=， 由于()2~3,X N σ，所以，()()240.16P X P X <=>=，因此，()()()2412410.160.160.68P X P X P X <<=-<->=--=，故选B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.安排6名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）． A. 360种 B. 300种C. 540种D. 180种【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意，去每个社区的学生人数可分为3类：1人、1人、4人；1人、2人、3人；2人、2人、2人.结合排列组合的知识，可得不同的安排方式的种数.【详解】由题意，去每个社区的学生人数可分为3类：1人、1人、4人；1人、2人、3人；2人、当去3个社区的学生人数分别为1人、1人、4人时，有436390C A =种不同的安排方式；当去3个社区的学生人数分别为1人、2人、3人时，有12336533360C C C A =种不同的安排方式；当去3个社区的学生人数分别为2人、2人、2人时，有22264290C C C =种不同的安排方式.所以不同的安排方式共有9036090540++=种. 故选：C .【点睛】本题考查排列组合，属于中档题.8.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则实数k 的取值范围是（ ）．A. 312⎛⎤ ⎥⎝⎦， B. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【★答案★】C 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调性，结合题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数2()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且1()4f x x x'=-，令()0f x '=，解得12x =，当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，要使得函数()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则满足111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得312k ≤<， 即实数k 的取值范围是3[1,)2. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的关系，其中解答中熟记利用导数求解函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与计算能力. 二、多选题9.若1()nx x+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项【★答案★】CD 【解析】 【分析】该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，表示出第3项与第8项的系数，可求得n ，再表示该展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为27,n n C C ， 又因为其相等，则9n =所以该展开式中二项式系数最大的项为91152-+=与91162++=项 即为第5项；第6项. 故选：CD【点睛】本题考查表示二项展开式的项的系数，还考查了求其中系数最大的项，属于基础题. 10.已知复数3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）． A. 38z =B. z 的虚部为3C. z 的共轭复数为13i +D. 24z =【★答案★】AB 【解析】 【分析】利用复数2z =的模长运算及3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】解：3z a i =+，且2z =22(3)4a +∴=，=1a ±复数3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=- 选项A: 33223(13)(1)+3(1)3+3(1)(3)(3)8i i i i -+=---+= 选项B: 13z i =-+的虚部是3选项C: 13z i =-+的共轭复数为13z i =--选项D: 222(13)(1)+2(1)3+(3)223i i i i -+=--=-- 故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．11.下列命题中，正确的命题的是（ ）A. 已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =； B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；C. 设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P P ξ-<≤=-； D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8x =时概率最大． 【★答案★】BCD 【解析】 【分析】对于选项A ：利用二项分布的期望和方程公式列出关于,n p 的方程，解方程即可判断； 对于选项B ：根据方差的计算公式可知，方差恒不变； 对于选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；对于选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出,110,x k k k N =≤≤∈时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断.【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，()E a b aE b ξξ+=+，()()2,D a b a D a b ξξ+=为常数，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k 时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k ----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P x k k P x k k=-=≥=-得，444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，即8k 时，概率()8P x =最大，故选项D 正确． 故选：BCD【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式、正态分布的图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式；考查分析问题和解决问题的能力；熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键；属于中档题. 12.对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ）． A. ()f x 在x e =处取得极大值1eB. ()f x 有两不同零点C. (2)()(3)f f f π<<D. 若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则1k > 【★答案★】ACD 【解析】 【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可． 【详解】函数的导数21()lnxf x x -'=，(0)x >， 令()0f x '=得x e =，则当0x e <<时，()0f x '>，函数为增函数， 当x e >时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当x e =时，函数取得极大值，极大值为()1f e e=，故A 正确， 当0x →，()f x →-∞，x →+∞，()0f x →， 则()f x 的图象如图：由()0f x =得0lnx =得1x =，即函数()f x 只有一个零点，故B 错误，()()ln 42ln 2ln 224442f f ====， 由x e >时，函数()f x 减函数知()()()34f f f π>>，故()()()23f f f π<<成立，故C 正确，若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立， 则1lnx k x x>+， 设1()lnx h x x x =+，(0)x >， 则2()lnxh x x'=-，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当1x =时，函数()h x 取得极大值同时也是最大值()11h =，1k ∴>成立，故D 正确.故选：ACD ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键． 三、填空题13.高二某班有2名男生，4名女生排成一排，则2名男生相邻的不同排法有________种．（结果用数字作答）【★答案★】240 【解析】 【分析】2名男生相邻可以用“捆绑法”模型计算.【详解】男生相邻看作一个特殊元素，与4名女生全排列，有55A 种排法，男生两人的位置有22A 种，根据分步乘法计数原理可知，共有5252240A A ⋅=种排法，故★答案★为：240【点睛】本题主要考查了排列的实际应用，排列数的计算，捆绑法，属于中档题. 14.某产品的广告费支出x 与销售量y 之间有如下对应数据：x /元2 4 5 6 8 y /元3040605070x 与y 具有线性相关关系，线性回归方程为 6.5ˆˆy x a =+，则ˆa 的值________．【★答案★】17.5 【解析】 【分析】计算数据中心点，代入线性回归方程得到★答案★. 【详解】2456855x ++++==，3040605070505y ++++==，将中心点()5,50代入回归方程得到：50 6.55a =⨯+，解得17.5a =. 故★答案★：175..【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力，计算中心点是解题的关键. 15.()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为______． 【★答案★】1330 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出各个展开式中2x 的系数后，再相加，然后利用组合数的性质化简【详解】()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为：222223420C C C C ++++ 322233420C C C C =++++3224420C C C =+++ 3225520C C C =+++321C =21!3!18!=⨯212019321⨯⨯=⨯⨯1330=.故★答案★为：1330.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式、组合数的性质、组合数的计算公式，属于基础题. 16.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()f x 在[]1,e 上单调减函数，则实数a 的最大值为________，若0a >，在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()0020ef x x -≥成立，则实数a 的最小值为________． 【★答案★】 (1). 221e e + (2). 241ee - 【解析】 【分析】 求导，变换得到21a x x≤+，根据函数单调性计算最值得到★答案★，考虑01x =和(]01,x e ∈两种情况，利用参数分离，构造函数，得到函数单调性，计算最值得到★答案★. 【详解】()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()'21210f x a x x⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭在[]1,e 上恒成立， 即21a x x≤+，根据双勾函数单调性知，()21g x x x=+在 []1,e 上单调递减，故()()2min 21ea g x g e e ≤==+，即a 的最大值为221e e +；()0020e f x x -≥，即0000122ln 0ea x x x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，当01x =时不成立， 当(]01,x e ∈时，整理得到：00202ln 21x x ea x +≥-，设()22ln 21x x eF x x +=-，则()()()222221ln 2421x x x ex F x x-++-=-'-，当(]1,x e ∈上时，()221ln 0x x -+<，2242y x ex =--在(]1,x e ∈上单调递减，故2222242242220x ex e e e --≤--=--<，()2210x ->，故()'0F x <，函数单调递减，故()()2min 41ea F x F e e ≥==-，故a 的最小值为241e e -.故★答案★为：221e e +；241ee -. 【点睛】本题考查了函数恒成立问题和能成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为函数的最值是解题的关键. 四、解答题17.已知复数1z ，2z 满足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈． （1）求1z ；（2）若121||||z z z -<，求a 的取值范围． 【★答案★】（1）123z i =+（2）(1,7) 【解析】 【分析】（1）直接利用复数的除法运算得到★答案★.（2）利用共轭复数的定义和复数模的运算化简得到2870a a -+<，解得★答案★. 【详解】（1）115(15)(1)231(1)(1)i i i z i i i i -+-+-===+++-， （2）∴2212313z =+=，又∵1223(2)z z i a i -=+--+2|42|(4)4a i a =-+=-+，∴由121z z z -<，得2(4)413a -+<，化简得2870a a -+<，解得17a <<． 故a 的取值范围是(1,7)．【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数的模，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.已知412nx+x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数为等差数列． （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中的有理项． 【★答案★】（1）5358T x =．（2）41T x =、5358T x =、921256T x = 【解析】 【分析】（1）根据412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，由21021112222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得n ，然后由二项式系数的性质求解.（2）由（1）知：展开式通项为3441812rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(0,1,,8)r =…，然后由344r Z -∈求解.【详解】（1）∵412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数为0012n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭、112n C ⋅、2212n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵展开式中前三项的系数成等差数列，∴021021112222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：2980n n -+=， 解得8n =，或1n =（舍去），故二项式系数最大的项为445813528T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）展开式通项为3441812rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(0,1,,8)r =…，当344r Z -∈时，1r T +为有理项，当0r =时，41T x =，当r 4=时，3585T x =，当r 8=时，921256T x =，故展开式中有理项为41T x =、5358T x =、921256T x =.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式以及二项式系数和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据男性的频率分布直方图，求a 的值；（2）①若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，根据男性，女性频率分布直方图完成下面22⨯列联表（不用写计算过程） 微信控 非微信 总计 男性 女性 总计100②判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关？说明你的理由．（下面独立性检验的临界值表供参考）20()P k χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++，其中n a b c d =+++．【★答案★】（1）0.08a =；（2）①见解析；②有，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形的面积和等于1，可求a 的值；（2）①根据频率分布直方图，分别计算男性、女性的“微信控”和“非微信控”的人数，填写22⨯列联表；②根据参考公式，计算2χ的观测值，根据临界值表，可得结论.【详解】（1）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =． （2）① 微信控 非微信 总计 男性 38 12 50 女性 30 20 50 总计 6832100②2χ的观测值2100(38203012) 2.941 2.70650506832k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关．【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验，属于基础题.20.已知函数2()xf x e x a =-+，x ∈R 的图象在点0x =处的切线为y bx =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设2()()g x f x +x x =-，求证：()0g x ≥； （3）若()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围． 【★答案★】（1）2()1xf x e x =--（2）见解析（3）(,2)e -∞- 【解析】 【分析】（1）求导根据切线方程公式得到(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得★答案★.（2）求导得到单调区间，计算min ()(0)0g x g ==得到证明.（3）求导并利用（2）中结论，得到函数单调区间，min ()(1)k h x h <=，得到★答案★.【详解】（1）2(),()2xxf x e x a f x e x '=-+=-，由已知得(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故2()1x f x e x =--.（2）2()()1xg x f x x x e x =+-=--，()10xg x e -'==得0x =． 当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴min ()(0)0g x g ==，从而2()f x x x ≥-+,即()0g x ≥（3）令2)()1(x f x h x x e xx -=-=，0x >， ∴()()()222221(1)1()()()x x x x e x e x x e x xf x f x h x x x x-------'-'===， 由（2）可知当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 令()0h x '>，得1x >；()0h x '<得01x <<．∴()h x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，min ()(1)2h x h e ==-， ∴min ()(1)2k h x h e <==-，∴实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为求函数最值是解题的关键. 21.天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为16，至少有一个地方降雨的概率为23，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响． （1）分别求甲、乙两地降雨的概率；（2）在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X ，求X 的分布列和数学期望与方差． 【★答案★】（1）甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13．（2）见解析，3(X)2E =．方差34．【解析】 【分析】（1）设()P A x =，()P B y =，根据题意得到方程组，解得★答案★. （2）计算仅有一地下雨的概率为12p =，X 的可能取值为0，1，2，计算概率得到分布列，计算数学期望和方差得到★答案★.【详解】（1）设甲、乙两地降雨的事件分别为A ，B ，且()P A x =，()P B y =．由题意得1621(1)(1)3xy x y x y ⎧=⎪⎪⎪---=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13． （2）在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为()()()()()()P P AB P AB P A P B P A P B =+=+1211123232=⨯+⨯=．X 的可能取值为0，1，2，3311(0)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1213113(1)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113(2)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3311(3)128P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：X0 1 2 3P18 383818所以13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 方差2222133333133()0123828282824V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知2()ln 2a f x x x x =-． （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（3）当0a >时，若()()(1)g x f x a x =+-在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【★答案★】（1）极小值为1e- ，无极大值，（2）见解析（3）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求导得到函数单调区间，计算极值得到★答案★.（2）求导得到()1ln f x x x '=+-，计算导函数的最大值为0，得到函数单调性. （3）求导得到()ln h x x ax a =-+，再求导取导数为0得到1x a=，讨论01a <<和1a =，1a >三种情况，计算得到★答案★.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a =时，()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，由()0f x '=得1x e =，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故当1x e =时取得极小值为11()f e e=-，无极大值.（2）当1a =时，21()ln 2f x x x x =-，()1ln f x x x '=+-， 设()()x f x ϕ'=，则11()1x x x xϕ-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,1)上调递增，在(1,)+∞上单调递减，()max (1)0x ϕϕ==，所以当0x >时，()0x ϕ≤，即()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）由已知得2()ln (1)2a g x x x x a x =-+-，则()ln g x x ax a '=-+， 记()ln h x x ax a =-+，则(1)0h =，11()ax h x a x x-'=-=，令()0h x '=，得1x a =．①若01a <<，则11a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，故函数()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h <=，即()0g x '<；当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0h x h >=，即()0g x '>， 又(1)0g '=，所以()g x 在1x =处取得极小值，不满足题意．②若1a =，则当(0,1)x ∈时，()0h x '>，故()h x '在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x '在(1,)+∞上单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≤=，即()0g x '≤，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，不满足题意．③若1a >，则101a <<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，故()h x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 且当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()(1)0h x h >=，即()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即()0g x '<， 又(1)0g '=，所以()g x 在1x =处取得极大值，满足题意． 综上，实数a 的取值范围是(1,)+∞．【点睛】本题考查了求函数的极值，函数单调性，根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
淮安市2019-2020学年高二下期末考试数学试卷(文)含解析
淮安市2019-2020学年度高二期末调研测试数学（文）试题填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合，集合，则__________.【答案】【解析】由交集的定义可得.2. 已知是虚数单位，若是实数，则实数_______.【答案】4【解析】由复数的运算法则：,该数为实数，则：.3. 若函数的最小正周期为，则正数的值为___________【答案】3【解析】由正弦型函数的最小正周期公式可得：.4. 函数的定义域为________.【答案】【解析】函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5. 若角的终边经过点，则的值为_____________.【答案】【解析】试题分析：根据三角函数定义：，其中，所以考点：三角函数定义6. 已知幂函数的图象经过点，则的值为___________.【答案】2【解析】设幂函数的解析式为：，则：，即：.7. 已知函数，则_________.【答案】【解析】由函数的解析式有：，...则：.8. 已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为___________.【答案】【解析】设扇形的弧长为，则：，则此扇形的周长为.9. 函数的单调递增区间为_____________.【答案】（0，1）【解析】函数有意义，则：，且：，由结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为（0，1）.10. 已知，且，则___________.【答案】【解析】由题意可得：,结合角的范围和同角三角函数可知：，即.11. 已知函数在区间上存在零点，则___________.【答案】5【解析】函数的零点满足：,即：，绘制函数的图象观察可得.12. 已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由题意可得，函数是定义在区间上的减函数，不等式即：，据此有：，求解关于实数t的不等式可得实数的取值范围为.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．13. 函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.【答案】3...【解析】当时，不等式即：，令，则，函数在区间内单调递减，，此时，同理当时可得，则实数的取值为3.14. 已知函数对任意的，都有，求实数的取值范围__________.【答案】【解析】问题等价于在区间上，，分类讨论：当时，函数在区间上单调递增，则：，即，此时；当时，函数在区间上单调递减，则：，即，此时，当时，不等式明显成立，综上可得实数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15. 已知复数，（为虚数单位，）（1）若复数在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数的值；（2）当实数时，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数,m的方程，解方程可得；(2)首先求得复数z的值为，然后利用复数模的运算法则可得的值为.试题解析：（1）因为复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，所以，解得.（2）当实数时，.，所以的值为.16. 已知函数（1）化简；...（2）若，求，的值.【答案】(1) (2) ，【解析】试题分析：(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得(2)利用同角三角函数基本关系结合题意可得，. 试题解析：(1)(2)由，平方可得，即. ，，又，，，,.17. 已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)首先求得函数的解析式为.据此可得函数的单调递减区间为；(2)由函数的定义域结合(1)中的解析式可得的取值范围是.试题解析：（1）由图象得A=2. 最小正周期T=.,由得，，又得，所以，所求函数的解析式为.由得.所以，函数的单调减区间为.（2），即的取值范围是.点睛：三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．...18. 生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需要另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完 . （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大.【答案】(1) (2) 当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.【解析】试题分析：(1)由题意将利润函数写成分段函数的形式：(2)利用导函数讨论函数的单调性，结合函数的定义域可得当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大. 试题解析：(1)因为每件．．商品售价为万元,则千件．．商品销售额为万元,依题意得，当时,=当时,.(2)当时, .，.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950（万元）当时, ，当且仅当,即x=100时,L(x)取得最大值1000（万元）. 因为，所以当年产量为100千件时,生产该商品获利润最大.答：当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.19. 已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性并说明理由；（3）当时，函数的值域为，求实数的值.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】试题分析：(1)由奇函数的定义可得；(2)利用题意结合函数单调性的定义可得当时在上是减函数，当时在上是增函数；(3)利用题意分类讨论可得.试题解析：（1）由已知条件得对定义域中的均成立，所以,即即对定义域中的均成立，得，当时显然不成立，所以. ...（2）由（1）知，其定义域为设，当时，，所以；当时，，即，所以当时在上是减函数，同理：当时在上是增函数；（3），其定义域为，(i) ,所以在上为增函数，要使值域为，则（无解）.(ii) ，则，所以在上为减函数，要使值域为，则所以.20. 已知函数（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值；（3）若存在，当时，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得函数的解析式，然后利用导函数与切线的关系可得切线方程为.(2)由函数的解析式对参数分类讨论即可求得函数的极值；(3)分离系数后构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围是.试题解析：（1）当时，=.令，又为偶函数，所以，当时，，由点斜式方程得切线方程为.（2）由已知.所以，当所以上单调递增，无极值.若，则当，...当，所以，当时，,无极小值.（3）由已知，令,当时恒成立.,,即，不合题意.解得，.当从而当即，综上述，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若复数z满足（1﹣2i）z＝1（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．5D．2．设随机变量X～B（n，0.2），且E（X）＝1.6，则n为（）A．4B．6C．8D．103．函数的最小值为（）A．5B．3C．8D．64．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．365．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个） 2.534 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当x＝8时，繁殖个数y的预测值为（）A．5.95B．6.15C．5.25D．4.96．某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100）．且P（88≤x≤108）≈0.683，P（78≤x≤118）≈0.954，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）A．2800B．2180C．1500D．62308．若函数y＝lnx﹣ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，1）C．（0，）D．（0，1）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若m＝0则共轭复数＝1﹣B．若复数z＝2，则m＝C．若复数z为纯虚数，则m＝±1D．若m＝0，则4+2z+z2＝010．若∈R，则（）A．a0＝1B．a r＝C210﹣r（﹣1）r，r＝0，1，2，…，10C．a1+a2+…+a10＝1D．（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝31011．下列结论正确的是（）A．3×4×5×6＝AB．C+C＝CC．C＝CD．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为7212．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则三、填空题（共4小题）.13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为．14．已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01则P（X≥3）＝．15．多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a1＝．16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p＝，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．18．已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5．（1）求n的值；（2）求展开式中含x项的系数．19．已知函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．20．病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新病毒是以前从未在人体中发现的病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新病毒患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新病毒患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新病毒患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下60岁以上5x 合计附1：X2＝，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某地区的新病毒治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程，统计数据如下：3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t已知＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，请利用所给数据求t和回归直线方程；附2：＝，＝﹣．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生认为《少年的你》值得看的概率为，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．22．设函数f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x）．（1）设φ（x）＝xf（x）﹣g（x），讨论φ（x）的单调性；（2）若不等式f（x）+g（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若复数z满足（1﹣2i）z＝1（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．5D．【分析】根据复数的运算法则先求出z，结合复数模长公式进行计算即可．解：由（1﹣2i）z＝1得z＝＝＝＝+i，则|z|＝＝＝，故选：B．2．设随机变量X～B（n，0.2），且E（X）＝1.6，则n为（）A．4B．6C．8D．10【分析】利用二项分布的期望的公式，列出方程，即可得出n的值．解：∵随机变量X～B（n，0.2），∴E（X）＝1.6＝np＝n×0.2＝1.6，∴n＝8．故选：C．3．函数的最小值为（）A．5B．3C．8D．6【分析】先变形，f（x）＝x﹣2++2，再利用基本不等式的性质即可得解，注意取等号的条件．解：f（x）＝x+＝x﹣2++2≥2+2＝8，当且仅当x﹣2＝，即x＝5时，取等号．所以函数f（x）的最小值为8．故选：C．4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．36【分析】根据题意，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，在2、4两个偶数中任选1个，②将选出的3个数字全排列，组成三位数，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，有C32＝3种选法，在2、4两个偶数中任选1个，有C21＝2种选法，②将选出的3个数字全排列，组成三位数，有A33＝6种情况，则可以组成3×2×6＝36个没有重复数字的三位数；故选：D．5．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个） 2.534 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当x＝8时，繁殖个数y的预测值为（）A．5.95B．6.15C．5.25D．4.9【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，可得线性回归方程，取x＝8求得y值即可．解：∵，，∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.5＝0.7×，即．∴y关于x的线性回归方程为．取x＝8，得＝5.95．∴当x＝8时，繁殖个数y的预测值为5.95．故选：A．6．某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“男歌手甲被选中”，事件B表示“女歌手乙也被选中”，则P （A）＝＝，P（AB）＝＝，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为P（B|A）＝，由此能求结果．解：某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，设事件A表示“男歌手甲被选中”，事件B表示“女歌手乙也被选中”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率：P（B|A）＝＝＝．故选：D．7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100）．且P（88≤x≤108）≈0.683，P（78≤x≤118）≈0.954，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）A．2800B．2180C．1500D．6230【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知求得P（ξ≥108），乘以9460得答案．解：由学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100），∴μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝[1﹣P（88≤x≤108）]≈0.1585，即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.85%．∴9460×15.85%≈1500．即她的数学成绩在该区的排名大约是1500名．故选：C．8．若函数y＝lnx﹣ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，1）C．（0，）D．（0，1）【分析】函数y＝lnx﹣ax在其定义域内有两个零点⇔函数y＝a与函数g（x）＝的图象有两个交点．利用导数研究函数g（x）的图象与单调性，即可得出结论．解：函数y＝lnx﹣ax在其定义域内有两个零点⇔函数y＝a与函数g（x）＝的图象有两个交点．g′（x）＝，可得x＝e时，函数f（x）取得极大值，即最大值，f（e）＝，又x＞1时，lnx＞0，x→+∞时，g（x）→0，x∈（0，1）时，g（x）＜0，x→0+时，g（x）→﹣∞，∴0＜a＜．即实数a的取值范围是（0，）．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若m＝0则共轭复数＝1﹣B．若复数z＝2，则m＝C．若复数z为纯虚数，则m＝±1D．若m＝0，则4+2z+z2＝0【分析】把m＝0代入，化简后可得A错误；代入4+2z+z2整理，可得D正确；再由实部为2，虚部为0求解m判断B；由实部为0且虚部不为0列式求解m判断C．解：∵，若m＝0，则z＝﹣1+，∴，故A错误；此时4+2z+z2＝4+2（﹣1+）+＝2+﹣2﹣2，故D正确；若复数z＝2，则，即m＝，故B正确；若复数z为纯虚数，则，即m＝﹣1，故C错误．故选：BD．10．若∈R，则（）A．a0＝1B．a r＝C210﹣r（﹣1）r，r＝0，1，2，…，10C．a1+a2+…+a10＝1D．（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝310【分析】分别利用赋值法进行判断即可．解：A．令x＝﹣1得a0＝（﹣2+1）10＝1，故A正确，B．令x+1＝t，则x＝t﹣1，则多项式等价为a0+a1t+a2t2+…+a10t10，＝（2t﹣1）10，则T r+1＝C210﹣r t10﹣r（﹣1）r，则当r＝9时t的系数是a1，不是a9，故B错误，C．令x＝0得，a0+a1+a2+…+a10＝1，即a1+a2+…+a10＝0，故C错误，D．令x＝0得a0+a1+a2+…+a10＝1，令x＝﹣2，得a0﹣a1+a2+…+a10＝310，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝（a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9）（a0+a2+…+a10﹣a1﹣a3﹣…﹣a9）＝1×310＝310，故D正确故正确的是AD，故选：AD．11．下列结论正确的是（）A．3×4×5×6＝AB．C+C＝CC．C＝CD．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72【分析】利用排列、组合的定义和性质直接求解．解：对于A，3×4×5×6＝6×5×4×3＝A，故A正确；对于B，由组合数公式得C+C＝C，故B正确；对于C，由组合数公式得C＝C，故C正确；对于D，将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为：＝72，故D正确．故选：ABCD．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则【分析】①由函数f（x）的定义域{x|x＞0}，可推出C错误，对f（x）求导，分析f（x）的单调性进而可得f（x）极小值＝f（1），可推出A正确．②y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，求导数，分析单调性可得y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，进而可推出B正确．③对g（x）＝xf（x）＝1+xlnx求导数，分析单调性，可推出g（x）最小值＝g（），进而可推出D正确．解：①函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，故C错误，f′（x）＝﹣+＝，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（1）＝1，故A正确．②y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，y′＝﹣+﹣1＝＝＜0，所以函数y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，所以y＝f（x）﹣x有且只有一个零点，故B正确．③g（x）＝xf（x）＝1+xlnx，g′（x）＝x•+lnx＝1+lnx，所以在（e﹣1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（0，e﹣1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）最小值＝g（e﹣1）＝g（），所以g（）＜g（），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．16题第一空2分，第二空3分．13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．【分析】先对函数y＝sin x进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y＝sin x在点x＝π处的切线斜率，进而可得到切线方程．解：∵y′＝cos x，∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝1，∴切线方程为y﹣0＝x﹣0，即x﹣y＝0．故答案为：x﹣y＝0．14．已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01则P（X≥3）＝0.38．【分析】由随机变量X的概率分布求出P（X＝3），再由P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X ＝4）+P（X＝5）+P（X＝6），能求出结果．解：由随机变量X的概率分布知：P（X＝3）＝1﹣0.16﹣0.22﹣0.24﹣0.10﹣0.06﹣0.01＝0.21，P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）＝0.21+0.10+0.06+0.01＝0.38．故答案为：0.38．15．多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a1＝44．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x4的系数就是两个多项式的展开式中x3与x 系数的乘积和x2与x2的系数乘积的和．解：多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则（2x+1）3中，x3的系数为C3023＝8，x2的系数为C3122＝12，（x+2）2中，x的系数为4，x2的系数为1，∴a1＝8×4+12×1＝44．故答案为：44．16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p＝，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为．【分析】由教师甲恰好答对3个问题的概率是，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出p的值．X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．解：对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．∵教师甲恰好答对3个问题的概率是，∴＝，解得p＝．设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（X＝2）＝++＝，P（X＝3）＝＝，∴E（X）＝＝．故答案为：，．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．【分析】（1）记“志愿者、医生、护士各选1人”为事件A，利用古典概型、排列组合能求出志愿者、医生、护士各选1人的概率．（2）记“至少选1名医生”为事件B，利用对立事件概率计算公式能求出至少选1名医生的概率．解：（1）记“志愿者、医生、护士各选1人”为事件A，则P（A）＝＝．∴志愿者、医生、护士各选1人的概率为．（2）记“至少选1名医生”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，∴至少选1名医生的概率为．18．已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5．（1）求n的值；（2）求展开式中含x项的系数．【分析】（1）由二项式系数求出展开式中第3项与第5项的二项式系数列出方程求出n 的值．（2）将求出n的值代入通项，求出通项公式，令x的指数为1求出r的值，将r的值代入通项求出含x项的系数．解：（1）因为多项式展开式中第3项与第5项的二项式系数分别为，，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5，∴，即＝，化简得n2﹣5n﹣24＝0，解得n＝8 或n＝﹣3（舍），故n的值为8．（2）∵展开式的通项为T r+1＝•＝当＝1时，解得r＝2，所以T3＝＝7x∴展开式中含x项的系数为7．19．已知函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．【分析】（1）先求导得f′（x）＝3ax2﹣3，再根据题意可得f′（）＝0，解得a ＝2，再检验是否符合题意．（2）设切点为（x，2x3﹣3x），根据导数的几何意义可得k切＝6x2﹣3，进而可得＝6x2﹣3，化简得：4x3﹣6x2+3+t＝0有3个不同的实数解⇒p（x）＝4x3﹣6x2+3+t有3个零点，再分析p（x）有3个零点时t的取值范围．解：（1）因为函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值，由f′（x）＝3ax2﹣3，知f′（）＝3a（）2﹣3＝0，解得a＝2，当a＝2时，f（x）＝2x3﹣3x，f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0，得x＝±，所以x∈（﹣∞，﹣），f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，x∈（﹣，），f′（x）＜0，f（x）在（﹣，）上单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（，+∞）上单调递增，所以a＝2时，函数f（x）在x＝处取得极小值．（2）设切点为（x，2x3﹣3x），则切线的斜率为＝6x2﹣3，整理得：4x3﹣6x2+3+t＝0，则过点P存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，等价于方程4x3﹣6x2+3+t＝0有3个不同的实数解，设p（x）＝4x3﹣6x2+3+t，p′（x）＝12x（x﹣1），令p′（x）＝0得x＝0或x＝1，当x∈（﹣∞，0）时，p′（x）＞0，p（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x∈（0，1）时，p′（x）＜0，p（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，p′（x）＞0，p（x）在（1，+∞）上单调递增，p（x）＝0有3解，则，解得﹣3＜t＜﹣1，所以实数t的取值范围为（﹣3，﹣1）．20．病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新病毒是以前从未在人体中发现的病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新病毒患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新病毒患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新病毒患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下60岁以上5x 合计附1：X2＝，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某地区的新病毒治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程，统计数据如下：3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t已知＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，请利用所给数据求t和回归直线方程；附2：＝，＝﹣．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程．解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，由被统计的60岁以上的人员人数为5x，填写2×2列联表如下；潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下x4x5x60岁以上3x2x5x 合计4x5x10x计算X2＝＝＝，因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以≥6.635，5x≥19.905，所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人．（2）由统计数据如下表，3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t且＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，由＝40，得t＝40×5﹣25﹣30﹣40﹣45＝60，所以＝＝＝8.5，＝﹣＝40﹣8.5×4＝6；所以y关于x的回归方程为＝8.5x+6．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生认为《少年的你》值得看的概率为，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．【分析】（1）设X表示2名男生认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生值得看的概率为，wwdmjP（A）＝P （X＝1，Y＝2）+P（Y＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2），由此能求出结果．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）设X表示2名男生认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，又∵男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生值得看的概率为，∴P（A）＝P（X＝1，Y＝2）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2）＝（）2•（）（）+（）2•（）（）+（）2（）2＝，∴这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝P（X＝0，Y＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝P（X＝2，Y＝0）+P（X＝1，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2）＝+（）2＝，P（ξ＝3）＝P（X＝1，Y＝2）+P（X＝2，Y＝1）＝＝，P（ξ＝4）＝P（X＝2，Y＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ01234PE（ξ）＝+4×＝．22．设函数f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x）．（1）设φ（x）＝xf（x）﹣g（x），讨论φ（x）的单调性；（2）若不等式f（x）+g（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值．【分析】（1）根据题意可得φ（x）＝xf（x）﹣g（x）＝x2e x﹣a（e﹣e x），对φ（x）求导得φ′（x）＝e x（x2+2x+a），△＝4﹣4a，分①a≥1时，②a＜1时，讨论φ′（x）的正负，φ（x）的单调性．（2）根据题意问题可转化为当x∈（1，+∞）时，恒成立，令t（x）＝，x∈（1，+∞），只需a＜t（x）min即可．对t（x）求导，分析单调性，进而得t（x）的最小值即可得出答案．解：（1）因为f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x），φ（x）＝xf（x）﹣g（x）＝x2e x﹣a（e﹣e x），φ′（x）＝e x（x2+2x+a），△＝4﹣4a，①当a≥1时，φ′（x）≥0，φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，②当a＜1时，令φ′（x）＝0，x＝﹣1±，当x∈（﹣∞，﹣1﹣），φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣∞，﹣1﹣）上单调递增，当x∈（﹣1﹣，﹣1+），φ′（x）＜0，φ（x）在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减，当x∈（﹣1+，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上得：当a≥1时，φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜1时，φ（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递增，φ（x）在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减，（2）当x∈（1，+∞）时，xe x+a（e﹣e x）＞0恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，恒成立，令t（x）＝，x∈（1，+∞），则t′（x）＝，令m（x）＝e x﹣ex﹣e，x∈（1，+∞），m′（x）＝e x﹣e＞0，所以m（x）＝e x﹣ex﹣e在（1，+∞）上单调递增，又因为m（2）＝e2﹣3e＜0，m（3）＝e3﹣4e＞0，所以m（x）在（2，3）上有唯一零点x0，且e＝ex0+e，x0∈（2，3），所以t（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以t（x）min＝t（x0）＝＝＝x0+1∈（3，4），所以a＜x0+1∈（3，4），故整数a的最大值为3．。
江苏省2019-2020年高二下学期期末考试数学试题
第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 双曲线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.2. 下列命题错误的是A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交【答案】D【解析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．3. “”是“方程所表示的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲线是椭圆”，如故“”是“方程所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.选B.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.．4. 如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.5. 若二次函数图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二次函数的判断出的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．详解：∵函数的图象开口向上且顶点在第四象限，∴函数的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．6. 已知函数，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，由可求得.详解：函数的导数，由可得选D.点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题.7. 由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A. 6 个B. 8个C. 10个D. 12个【答案】B然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。
2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x -+≥ B ．x R ∀∈，2230x x -+< C ．x R ∃∉，2230x x -+< D ．x R ∀∈，2230x x -+≥【答案】D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果. 【详解】因为x R ∃∈的否定为x R ∀∈，2230x x -+<的否定为2230x x -+≥， 所以命题的否定为：x R ∀∈，2230x x -+≥. 故选：D. 【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.2．“2x <”是“220x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 【详解】当220x x -<时，02x <<，所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <， 所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为( ) A ．24x y =- B ．24y x =- C ．22x y =- D ．24x y =【答案】A【解析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出p 的值即可得到抛物线的标准方程. 【详解】因为准线方程为1y =，所以设抛物线方程为()220x py p =->，又因为准线方程12py ==，所以2p =， 所以抛物线标准方程为：24x y =-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中p 的值即可得到标准方程.4．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=u r ，平面α的法向量2,2(),4n -=-r，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．5C ．﹣1D ．﹣5【答案】C【解析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n u r r，所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为b r ，若//l α则有a b ⊥r r，若l α⊥则有//a b r r.5．函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】将221x x +-变形为()22121x x -++-，然后根据基本不等式求解出y 的最小值即可. 【详解】 因为22(1)1y x x x =+>-，所以()2222122611y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2211x x -=-，即2x =， 所以min 6y =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a =( )A ．B ．±C ．8D ．±8【答案】D【解析】根据等比数列下标和的性质，得到2017a 是2014a 、2020a 的等比中项，从而可计算出2017a 的值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，且2014202022017+=⨯， 所以220172014202064a a a =⋅=，所以20178a =±.故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列{}n a 中，已知()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7．如图，已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB V 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )A 3B 3C 2D 5【答案】A【解析】根据等边三角形的特点，用c 表示出12,AF AF ，再结合122AF AF a -=即可计算出双曲线的离心率. 【详解】因为122F F c =且1F AB V 是等边三角形， 所以12143cos30F F AF ==︒，21223tan 30AF F F =︒=， 由双曲线的定义可知：12232AF AF a -==， 所以3==ce a故选：A. 【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) A ．211B ．811C ．1611D ．1811【答案】C【解析】将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出5a 的值. 【详解】将等差数列记为{}n a ，其中第n 节的容积为()*19,n a n n N≤≤∈，因为478946S a a a =⎧⎨++=⎩，所以1146472a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1811211a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5116411a a d =+=，所以第5节的容积为1611. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列及其前n 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.二、多选题9．已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x ≥的充分不必要条件是( )A ．[1,3]B ．{1,3}C ．1[3)+(]-∞⋃∞，， D ．(3,4) 【答案】BD【解析】先求解出()0f x ≥的解集A ，则充分不必要条件B 应是A 的真子集，由此作出判断即可. 【详解】因为()0f x ≥即2430x x -+≥的解集为：{|3x x ≥或}1x ≤， 所以()0f x ≥的充分不必要条件应是{|3x x ≥或}1x ≤的真子集， 所以{}()1,3,3,4满足条件.故选：BD. 【点睛】本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑.10．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =【答案】AC【解析】A ．根据圆心到直线的距离进行判断；B ．联立直线与椭圆方程利用∆进行判断；C ．根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；D ．联立直线与抛物线方程利用∆进行判断. 【详解】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +-=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +-=，所以10∆=+>，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC. 【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用∆进行判断. 11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2log n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}12n n n a a a ++++【答案】ACD【解析】先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】设11n n a a q -=，A ．11111111n n n a a q a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，此时1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为11a ，公比为1q 的等比数列；B ．因为()()()12212121log log log1log 0,0n n a a qa n q a q -==+->>，此时{}2log n a 是首项为21log a ，公差为2log q 的等差数列；C ．因为()()()()112212211111n n n n n n a q a q q a a q a a q --+-=⋅==⋅⋅，所以{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列；D ．因为()()122221111n n n n n n n n a a q a q q q a a q q q a a a +-+++⎡⎤=++=++=++⋅⎣⎦， 所以{}12n n n a a a ++++是首项为()211a q q ++，公比为q 的等比数列.故选：ACD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有( )A ．AB BC CD ++u u u r u u u r u u u rB ．11111AA BC DC ++u u u r u u u u r u u u u rC ．111AB C C BC -+u u u r u u u u r u u u u rD ．111AA DC B C ++u u u r u u u r u u u u r 【答案】BCD【解析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果. 【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数2()f x x x =-的图象上，则3a =________.【答案】4【解析】将点的坐标代入到()f x 中，求解出n S 的表达式，根据()12n n n a S S n -=-≥求解出n a ，即可求解出3a 的值. 【详解】因为(),n n S 在()f x 的图象上，所以2n S n n =-，所以()()()22111222n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=-≥⎣⎦，所以32324a =⨯-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系求解{}n a 的通项公式，难度一般.根据1n n n a S S -=-求解数列通项公式时，注意*2,n n N ≥∈.14．在空间直角坐标系中，1(1)A t -,,，()20B t ,,，2(1,),C t -，若AB BC ⊥u u u r u u u r，则实数t 的值为________. 【答案】12【解析】先根据点的坐标得到,AB BC u u u r u u u r的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出t 的值即可. 【详解】因为()()1,1,,1,0,2AB t t BC =+-=--u u u r u u u r ，且AB BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以120t -+=，所以12t =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，若a b ⊥r r，则有1212120x x y y z z ++=.15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(,1)m m + ，则实数ba的值为________. 【答案】±3 【解析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出m 的值，然后将m 和1m +的值代入到对应的一元二次方程中即可得到,a b 的关系，从而可求ba的值. 【详解】因为220ax bx a -+<的解集为(),1m m +， 所以()21am m a+=，所以2m =-或1m =， 当1m =时，204220a b a a b a -+=⎧⎨-+=⎩，所以3b a =，所以3ba =，当2m =-时，422020a b a a b a ++=⎧⎨++=⎩，所以3b a =-，所以3ba =-，所以3ba=±. 故答案为：3±. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，且12PF F △的面积等于4，则实数b 的值为_______，实数a 的取值范围为_______.【答案】2 )⎡+∞⎣【解析】根据椭圆的定义以及勾股定理、12PF F △面积即可求解出b 的值；再根据120PF PF ⋅=u u u r u u u u r以及椭圆中x 的取值范围即可求解出a 的范围.【详解】因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以12PF PF ⊥， 又因为122PF PF a +=，所以122221224PF PF a PF PF c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2122PF PF b ⋅=， 又因为1212242PF FP S b PF F ⋅===V ，所以2b =； 又因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，设(),P x y 且22214x y a+=， 所以2220x c y -+=，所以2222440x x c a-+-=，所以222244a x c a -=-，所以()2222444a x a a-=--， 又因为()2222280,4a a x a a -⎡⎤=∈⎣⎦-且2a >，所以28a ≥，所以)a ⎡∈+∞⎣. 故答案为：2；)⎡+∞⎣. 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,x y 的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点P （非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于212tan2F PF b ∠.四、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-+；（2）2112n nT n =-+-. 【解析】（1）根据34,S a 求解出等差数列的公差，再根据()n m a a n m d =+-即可求解出{}n a 的通项公式；（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可. 【详解】（1）∵n S 是数列{}n a 前n 项和,且39S =- ∴239a =-，23a =- 又∵47a =- ∴427(3)2422a a d ----===-- ∴2(2)n a a n d =+-32(2)n =---21n =-+∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-+. （2）由（1）知2(1)(2)2n n n S n n -=-+-=- 令nS '是数列12n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和∴11112211212n n nS '⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- ∵12nn n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ∴2112n n n nT S S n '=+=-+-. 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如n n n a b c =+的前n 项和（{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列），注意采用分组求和的方法.18．已知抛物线2:2C y px =(0p >)经过点(1,2)A -，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B . （1）求实数p 的值；（2）若4BM BN ⋅=u u u u r u u u r，求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）10x y --=或10x y +-=.【解析】（1）直接将点的坐标代入到抛物线方程，即可求解出p 的值；（2）设出直线l 的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将4BM BN ⋅=u u u u r u u u r改写成韦达定理形式即可求解出直线l 的方程.【详解】（1）∵抛物线C 过点()1,2- ∴2(2)21p -=⋅⋅∴2p =（2）抛物线C 为24y x =，焦点F 为()1,0，准线为1x =-∵抛物线准线与x 轴交于点B ，∴(1,0)B - ∵过焦点F 的直线l 与抛物线有两个交点.∴直线l 的斜率不为0，故设直线l 为1x my =+，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭∴214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得：2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ∵4BM BN ⋅=u u u u r u u u r ，∴2212121,1,444y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形得：()21121212222()3164y y y y y y y y +-++=即21681434m +-+=，解得1m =±故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题.19．如图，在四棱锥—S ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，2AD SA ==，1AB =，点E 是棱SD 的中点.（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值； （2）求二面角E BC D --的大小. 【答案】（1）15；（2）4π.【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角E BC D --的大小. 【详解】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)S ，(0,2,0)D ，点E 为SD 中点，则(0,1,1)E ，(1,2,0)C∴(1,1,1)CE =--u u u r∵(1,0,0)B ，∴(1,0,2)BS =-u u u r设异面直线CE 、BS 所成角为θ∴||cos ||||CE BS CE BS θ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线CE 与BS所成角的余弦值为5； （2）设平面EBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，(1,1,1)CE =--u u u r则1111200y x y z =⎧⎨--+=⎩，令11x =，得111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴1(1,0,1)n =u r取平面BCD 的一个法向量2n AS =u u r uu r ，求得2(0,0,2)n =u u r∴122121cos ,2n n n n n n ⋅<===⋅>u u r r ru u r u r u r ∴法向量11,n n u r u r的夹角为4π. 即二面角E BC D --的大小为4π. 【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？【答案】（1）()4,16 n *∈N ；（2）该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.【解析】（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出n 的取值范围；（2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值. 【详解】 （1）由题意得：(1)6919212602n n n n ----⋅> 化简得：220640n n -+< 解得：416n <<，答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为()4,16,且n *∈N （2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y则2360192643()6032646012n n y n n n-+-==-++≤-⨯+=当且仅当8n =时取“=”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为32，焦距为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线23y =N ，设OM 的斜率为k (0k ≠).求证：2211OM ON +为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据离心率以及焦距先求解出,a c 的值，然后即可求解出22,a b 的值，从而C 的方程可求；（2）设出直线OM 的方程，根据点到点的距离公式表示出2OM ，再根据斜率的关系亦可表示出2ON ，由此可判断出2211OM ON+为定值. 【详解】（1）∵∴c a =∵椭圆的焦距为∴2c =c =2a =∴2222221b a c =-=-=∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）∵OM 的斜率为k ，∴设直线OM 为y kx =.2244x y y kx ⎧+=⎨=⎩，求得：22414x k =+∴M OM ==∴()2224114k OM k +=+∵ON OM ⊥，∴1ON k k=-∴3N ON y ==，∴()22413k ON +=∴()()()222222214344141141114k k k k k OM ON ++=+==++++ ∴2211OM ON+为定值1. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据,,a b c 的值求解椭圆方程.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的N n *∈，不等式1()15n n n a a λ+-+≤恒成立，求实数λ的最大值.【答案】（1）2nn a =；（2）278. 【解析】（1）由22n n S a =-写出1n -时对应的等式，两式作差即可证明{}n a 为特殊数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）将不等式1()15n n n a a λ+-+≤采用分离参数的方法分离出λ，由此得到λ与关于n 的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于n 的式子的最值，即可求出λ的范围. 【详解】（1）∵22n n S a =-① ∴1122(2)n n S a n --=-≥② ①-②得122n n n a a a -=-，即12nn a a -= ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列 ∵11122S a a =-=，∴12a = ∵221222S a a a =-=+，∴24a = ∴212a a =，即当1n =时，符合等比数列 ∴当*N n ∈时，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴111222n n nn a a q --=⋅=⋅=；（2）要使1()15n n n a a λ+-+„恒成立，则1()2215n nn λ+-⋅+„，参变分离得1min15122n n λ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭„ 令115122n n b n +=+-，∴212215215122n n n n n b b ++++--=-= ∴当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +> 当1n =时，10n n b b +-<，即21b b <.∴1234n b b b b b ><<<<<L L ∴当2n =时，n b 有最小值为278. ∴278λ…∴实数λ的最大值为278. 【点睛】本题考查根据()12n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列{}n a 的单调性的证明方法：将1n n a a +-的结果与0比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了1n -的下标则需要标注2n ≥，要注意验证1n =是否符合条件.。
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2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题一、单选题1．若复数z 满足()121-=i z （i 为虚数单位），则z 为（ ）A ．BC ．5D ．15【答案】B【解析】利用复数的除法可算出z 的值，再利用公式计算其模. 【详解】()()11+212+12121+255i z i i i i ===--，故||z ==.故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的模，属于基础题.2．设随机变量()~,0.2X B n ，且() 1.6E X =，则n 为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由二项分布的均值公式()E X np =即可求得n 的值. 【详解】()~,0.2X B n()0.2 1.6E X np n ∴===8n ∴=故选：C 【点睛】本题考查二项分布的均值，属于简单题. 3．函数()()922f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．8D ．6【答案】C【解析】对()f x 进行配凑可得()99(2)222f x x x x x =+=-++--，再利用基本不等式求解即可.因为2x >，所以20x ->，所以()99(2)22822f x x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立. 所以()f x 的最小值为8. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和的最小值，关键是构造积为定值，属于基础题. 4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．60 B ．24 C ．12 D ．36【答案】D【解析】采用分步计数原理，分两步，第一步先选取三个数，第二步对选出的三个数进行排列. 【详解】第一步先将三个数取出，有21326C C ⋅=种， 第二步对取出的三个数进行排列，共有336A =种，所以完成两步共有6636⨯=种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一道基础题.5．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15【解析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果. 【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D【解析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361()5C P AB C ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2(|)1()5215P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N .且()881080.683P x ≤≤≈，()781180.954P x ≤≤≈，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（ ） A ．2800 B ．2180C ．1500D ．6230【答案】C【解析】首先根据题意得到正态曲线的对称轴，再计算()108≥P x ，即可得到答案. 【详解】由题知：学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N 所以98μ=，10σ=. 所以()()11081881080.15852⎡⎤≥=-≤≤≈⎣⎦P x P x ， 即数学成绩高于108分的学生占总人数的0.1585，所以王小雅同学的数学成绩在该区的排名大约是94600.15851500⨯≈. 故选：C 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点和曲线所表示的意义，属于简单题. 8．若函数ln y x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,1【答案】C【解析】函数ln y x ax =-有两个零点等价于方程ln 0x ax -=有两个根，等价于y a =与ln (0)xyx x 图象有两个交点，通过导数分析ln (0)xy x x的单调性，根据图象即可求出求出a 的范围. 【详解】函数ln y x ax =-有两个零点，∴方程ln 0x ax -=有两个根，0x ，分离参数得ln xa x=， y a ∴=与ln (0)xyx x图象有两个交点， 令ln ()(0)xg x x x=>， 21ln '()xg x x，令'()0g x =，解得x e = 当0x e <<时，'()0g x >，∴()g x 在()0,e 单调递增，当x e >时，)'(0g x <，∴()g x 在(),e +∞单调递减，且()0>g x()g x ∴在x e =处取得极大值及最大值1(e)g e=， 可以画出函数()g x 的大致图象如下：观察图象可以得出10a e<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.二、多选题9．已知复数()(()()2131z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数13z i =B ．若复数2z =，则3m =C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=【答案】BD【解析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-，()()221420412z z ++=+--++=，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 10．若()()()()102100121021111x a a x a x a x +=+++++++，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．()101021rr rr a C -=-，0,1,2,,10r =C ．12101a a a +++=D ．()()221002101393a a a a a a +++-+++=【答案】AD【解析】对于A ，令1x =-可求出0a 的值；对于B ，由于101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，从而可求出其通项公式，从而可求出r a ；对于C ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再减去0a 可得1210a a a +++的值；对于D ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再令2x =-可求出01210a a a a -+-+的值，然后两式相乘可得()()220210139a a a a a a +++-+++的值.【详解】解：对于A ，令1x =-，则100(21)a -+=，得01a =，所以A 正确；对于B ，因为101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，所以10(2)r r r a C =-，故B 错误；对于C ，令0x =，则012101a a a a ++++=，又因为01a =，所以12100a a a +++=，所以C 错误；对于D ，令2x =-，则012101010(41)3a a a a =-+-+=-+，即()()1002101393a a a a a a +++-+++=，因为()()02101391a a a a a a +++++++=，所以()()221002101393a a a a a a +++-+++=，所以D 正确，故选：AD 【点睛】此题主要考查二项式定理的应用，利用了赋值法求值，考查转化思想和计算能力，属于基础题.11．下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯=B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD【解析】分别计算各选项，即可判断正误. 【详解】 对于A ，121m n A n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn mnn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.12．关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．(1)f 是()f x 的极小值；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(,1)-∞上单调递减；D ．设()()g x xf x =，则1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】ABD【解析】由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A 正确；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e，当1(0,)∈x e 时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e上单调递减； 当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 所以当1=x e时，函数()g x 取得极小值1()g e ，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.三、填空题13．曲线()sin f x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为________________． 【答案】y x =【解析】根据导数的几何意义，求得在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k =，进而可求解切线的方程，得到答案． 【详解】由题意，函数()sin f x x =，则()cos f x x '=，则(0)cos01f '==， 即在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k = 又由(0)sin 00f ==，即切点的坐标为(0,0)， 所以在点(0,0)处的切线的方程为y x =， 故答案为y x = 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．已知随机变量X 的概率分布为：则()3P X ≥=__________________. 【答案】0.38【解析】由分布列的性质求出=3X 时的概率，即可求出()3P X ≥. 【详解】()0.160.220.2430.100.060.01=1P X +++=+++ ()30.21P X ∴==()()()()()3=3=4=5=6=0.210.100.060.01=0.38P X P X P X P X P X ∴≥=++++++故答案为：0.38 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的应用以及求概率，属于基础题. 15．多项式()()3254321012345212x x a x a x a x a x a x a ++=+++++，则1a =_______________.【答案】44【解析】由于()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1a 等于3(21)x +展开式的2次项系数与4乘以3(21)x +展开式的3次项系数的和. 【详解】解：3(21)x +的通项公式为3332r r rr T C x --=，因为()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1203133242123244a C C =⋅+⨯⋅=+=,故答案为：44 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题四、双空题16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________，在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为_______________. 【答案】23 2312【解析】(1)根据恰好答对3个问题的概率是14，可以列式子311424p ⨯⨯=，即可求出p ；(2)先将答对不同题目个数的概率计算出来，再根据数学期望的计算方法即可计算出来. 【详解】 （1）教师甲恰好答对3个问题的概率是14， 311424p ， 23p ∴=； （2）教师甲答对题目的个数X 可取值为0，1，2，3，1111042324P X , 311111112114234234234P X , 11231231111242342342324P X , 134P X , ∴X 的数学期望为111112312324424412. 故答案为：（1）23（2）2312. 【点睛】本题主要考查随机事件的概率的求法以及数学期望的求法，是一道基础题.五、解答题17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J 医院参与救治工作. （1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率； （2）求至少选1名医生的概率.【答案】（1）14（2）1724. 【解析】（1）先计算出所有的选派方法310C ，再计算出志愿者、医生、护士各选1人的方法，即可求出概率；（2）先求出对立事件的概率，即不选医生的概率，即可求出至少选1名医生的概率. 【详解】（1）记“志愿者、医生、护土各选1人”为事件A ，()11123510314C C C P A C ==， 所以志愿者、医生，护士各选1人的概率为14； （2）记“至少选1名医生”为事件B ，则事件B 的对立事件为“不选医生”，记作事件B ，37310724C P BC , ()()17124P B P B ∴=-=, 所以至少选1名医生的概率为1724. 【点睛】本题主要考查排列、组合、及简单计数问题，解决此题的方法是计算对立事件的数目，含有“至多”“至少”等词语的事件一般是从对立事件入手.18．已知多项式12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数. 【答案】（1）8；（2）7.【解析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ； （2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，.即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r rr T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目. 19．已知函数()33f x ax x =-在2x =处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）()3,1--. 【解析】（1）由已知得'02f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，解得2a =，再对函数()f x 求导，验证函数()f x在x =处取得极值； （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.设()32463p x x x t =-++，即需()0p x =有3解，()()'121p x x x =-，令()'p x =得0x =或1x =.需()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得可得实数t 的取值范围.【详解】（1）因为函数()33f x ax x =-在x =处取得极值.由()'233f x ax =-，知2'33022f a ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得2a =；.当2a =时，()323f x x x =-，()263f x x ='-，令()0f x '=，2x =±；∴,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭，()'0f x >，()f x 在,2⎛-∞- ⎝⎭上单调递增；22x ⎛∈- ⎝⎭，()'0f x <，()f x 在,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭单调递减x ⎛⎫∈ ⎝∞ +⎪⎪⎭，()'0f x >，()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以2a =时，函数()f x 在x =处取得极小值. （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，整理得：324630x x t -++=，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切 等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.. 设()32463p x x x t =-++，()()'121p x x x =-，令()'0p x =得0x =或1x =.当(),0x ∈-∞时，()0p x '>，()p x 在(),0-∞上单调递增，当()0,1x ∈时，()0p x '<，()p x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在()1,+∞上单调递增，.()0p x =有3解，则()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得31t -<<-.所以实数t 的取值范围为()3,1--.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数的极值，切线的条数等相关问题，属于较难题. 20．冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.（1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？附1：()()()()()22n ad bcXa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++（2）某地区的新冠肺炎治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，统计数据如下：已知5=11405i i y y ==∑，52=190i i x =∑，5=1885i i i x y =∑，请利用所给数据求t 和回归直线方程ˆˆˆybx a =+； 附2：()1221ˆni ii ni i x y nx ybx n x ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）填表见解析；被统计的60岁以上的人员人数至少为20人；（2）60t =；ˆ8.56yx =+. 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程． 【详解】解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15， 60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，由被统计的60岁以上的人员人数为5x ， 填写22⨯列联表如下；计算()()()()()()22210?·24?355?5?4?63n ad bc x x x x x xX a b c d a c b d x x x x--===++++， 因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以5 6.6353x，519.905x ， 所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人． （2）由统计数据如下表，且511405i i y y ===∑，52190ii x==∑，51885i i i x y ==∑，由40y =，得4052530404560t =⨯----=，所以()51522215?88554408.59054ˆ5i ii i i x y x ybx x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ408.546ay bx =-=-⨯=； 所以y 关于x 的回归方程为ˆ8.56yx =+． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是中档题．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率； （2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.【答案】（1）87400；（2）分布列见解析；期望为3110. 【解析】（1）对于事件“这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”分三种情况：认为值得看的人中有：1名男生，2名女生；无男生，1名女生；无男生，2名女生.分别求得相应的概率，再相加可得答案.（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.分别求得随机变量取值的概率，构成分布列，再利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得答案.【详解】（1）设X 表示2名男生中认为值得看的人数，Y 表示2名女生中认为值得看的人数. 设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A ，. 又因为男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生值得看的概率为34所以()()()()1, 20, 10, 2P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==22221122341113318745554445400C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为87400. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.()()2202211100,054400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()22100212224111311411,00,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==2222201102222222414113137354554454400C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()221221222241343116831,22,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2222224314442,254400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：所以114731681441240310123440040040040040040010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， 所以数学期望为3110. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，概率的加法公式，离散型随机变量的分布列以及其期望公式，属于中档题.22．设函数()xf x xe =，()()xg x a e e=-，（1）设()()()x xf x g x ϕ=-，讨论()ϕx 的单调性；（2）若不等式()()0f x g x +>对()1,∈+∞x 恒成立，求整数a 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）3.【解析】（1）由题可得()()2xxx x e a e eϕ=--，利用()ϕx 的导数来讨论单调性；（2）先将不等式中的参数a 分离，然后构造函数，将不等式的恒成立转化为求函数的最值，然后利用函数的导数讨论函数的单调性，从而求出函数的最值，最终求出a 的最大值. 【详解】（1）因为()xf x xe =，()()xg x a e e=-，()()()x xf x g x ϕ=-，∴()()2x x x x e a e e ϕ=--，()()22x x e x x a ϕ'∴=++，令22y x x a =++，则44a ∆=-，①当1a ≥时，()0x ϕ'≥，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增，②当1a <时，令()0x ϕ'=，1x =-±当(,1x ∈-∞-，()0ϕ'>x ，()ϕx 在(,1-∞-上单调递增，当(11x ∈--+，()0ϕ'<x ，()ϕx 在(11--+上单调速减，当()1x ∈-++∞，()0ϕ'>x ，()ϕx 在()1-++∞上单调递增， 综上：当1a ≥时，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，()ϕx在(,1-∞--，()1-+∞上单调递增；在(11--+上单调递减； （2）当()1,∈+∞x 时，()0xxxe a e e->+恒成立，等价于当()1,∈+∞x 时，xx xe a e e >-恒成立，令()xx xe t x e e=-，()1,∈+∞x ，()()()2x x xe e ex e t x ee --'∴=-，令()xx x e e m e --=，()1,∈+∞x ，()0x m x e e '∴=->， ()x e x e x e m -∴-=在1,上单调递增，()2230m e e =-<，()3340m e e =->，()m x ∴'在()2,3上有唯一零点0x ，且00x e ex e =+，()02,3x ∈，()t x ∴在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()()()00000000min13,4x x x ex e x e t x t x x e e ex +∴====+∈-，()013,4a x ∴<+∈，∴a 的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数解决不等式的恒成立问题，合理的构造函数是解决问题的关键，是一道综合题.。