第四章 控制系统的传递函数(1)

2. 传递函数的性质
① 传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及 性质无关；即 G(s) X o1 X o 2 ......
X i1 X i2
② 传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组 成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数； ③ 传递函数可以有量纲，也可以无量纲； ④ 传递函数是s的有理分式； ⑤若传递函数分母s的最高阶次为m，则该系统为m阶系统
Ts
理想的微分环节是不存在的，微分环节不能 单独存在。
假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算 得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲， 只在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为 变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时， 则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。
③ 积分环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为 I调节器。 运动方程为
R2 R1 e i2 a Ko a i3 i1 +
R2 Eo ( s ) k G( s) Ei ( s ) R1
k — 运算放大器的闭环增益 注意：
eo
增益k前面的符号一律先取正号，带全部求解结束后，再确 定k的符号； 称脚端a为虚地点
② 微分环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称 为D调节器。 因此传递函数为：G(s)=TS i
dxi (t ) 运动方程为 xo (t ) T dt
例3
解
求图示微分电路的G(s)
Ui
Uo
1 U o ( s) U o ( s) U i ( s) Rcs
{
1 idt uo ui c u i o R
G( ห้องสมุดไป่ตู้)
1 uo dt uo ui Rc
Ts Rcs Rcs 1 Ts 1
• 更直观，物理意义更明确；
• 微积分变为代数运算；
• 直接导出系统的某些动态特性；
• 频域法以传递函数为基础
定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
X o ( s) 即 G( s) ，特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即 X i ( s)
Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)
延时定理
设
[ f (t )] F ( s)
则对任意正数to，有
[u(t t o ) f (t t o )] e
[u(t t o ) sin(t to )] e
t o s
t o s
F ( s)
[sin t ]
直接求解法
A( si ) sit 1 d n1 n A( s ) st f (t ) e lim n1 ( s sk ) e s s (n 1)! k ds B( s ) i 1 B' ( si )
3. 典型环节传递函数
系统总是由各种元件组成，这些元件可能是机械 的、液压的、热力学的，也可能是电气的、光学的，
或者几者兼而有之。不管这些元件的属性如何，只要
其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。
如果把系统的元件按其运动方程(微分方程)的形式来
分类，就得到各种不同的动态环节,简称环节。 这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的
求
[sin( 5t

3
)]
[sin( 5t

3
)] [sin 5(t

15

)]
e
15
s
5 2 s 25
[sin( 5t

3
3 5 s cos sin 2 3 s 25 3 s 2 25
)] [cos

sin 5t sin

3
cos 5t ]
xo (t ) T xi (t )dt 因此传递函数为： G(s)=T/S
n(t) D xo(t)
例4
右图为一齿轮齿条传动机构。n(t) 为输入转速， xo(t)为线位移。求 该传动机构的传递函数。
解：根据传动关系有
dxo Dn dt
sX o ( s) DN ( s)
G( s)
环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。
① 比例环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，
又称P调节器。 比例环节运动方程为 xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为
G( s) X o ( s) X i ( s)
k
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
解
D
s
但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则
vo (t ) Dn
Vo ( s) DN ( s)
G ( s ) D
例5
ui
下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。 Zc C 对各变量取 I 拉氏变换 uc i R R Ui(s) uo + +
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的 拉氏变换。
关于传递函数的几点说明(P38)
一般地,传递函数的表达式为
X o (s) a0 s n a1s n1 a2 s n2 an G( s ) X i (s) b0 s m b1s m1 b2 s m2 bm
求一对齿轮传动的传递函数 忽略传动间隙
ni(t)
z1
no z1 k ni z2
∴G(s)=k
no(t)
z2
例2
i 1= i 2
求右图运算放大器的传递函数
ei ea ea eo R1 R2
ei eo R1 R2
ei
eo 数伏 ~ 10多 伏 ea 4 6 10 ~ 10 Ko
m
查表法
n k1 p A( s) m ki F ( s) B( s) i 1 s si p1 s sk n1 p
系数的求法:①系数比较法
②留数法 k i F ( s )( s si ) s si
k11 F ( s )( s sk ) n
k1 p
s sk
1 d p 1 n F ( s )(s sk ) p 1 ( p 1)! ds ss
k
第四章 控制系统的传递函数
第一节 典型环节传递函数
1. 传递函数的概念
传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数 学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分 析与综合的重要数学工具。