现代控制理论基础第四章(2)

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定义4-2-9：对于一个连续函数α：R＋→R＋，如果 ① α(0)＝0 ② α(p) >0，p>0 ③ α是非减的 则称这个函数是K类的（或属于K类的）。 下面的引理指明了正定函数和渐小函数与K类函数之间的联系。 引理4-2-1：当且仅当存在一个K类函数α，使得V(0, t)＝0，并且 对于t≥0， xBR0（或整个状态空间），有 V(x, t)≥α(||x||) (4-2-9) 则称函数V(x, t)是局部（或全局）正定的。 当且仅当存在一个K类函数β，使得V(0, t)＝0，并且对于t≥0， xBR0（或整个状态空间），有 V(x, t)≤β(||x||) (4-2-10) 则称函数V(x, t)是局部（或全局）渐小的。
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关于 t0 一致收敛是指，对于所有满足 0<R2<R1 ≤ R0 ， T(R1, R2)>0 的R1和R2，使得对于t0≥0有 ||x(t0)||< R1 ||x(t)||< R2 t≥ t0＋T(R1, R2) 即状态轨迹从一个球BR1内开始，在经过一个与 t0 无关的时间周 期T后，将收敛于一个更小的球BR2内。 根据定义，一致渐进稳定总是意味着渐进稳定性。但反过来一 般是不成立的。下面的例子说明了这一点。 x 此系统有一般解 x ( t ) 1 t 0 x ( t ) 例4-2-3 考虑系统 x 0 1 t 1 t 这个解渐进地收敛于0，但其收敛性不是一致的。直观地说，这 时因为为了接近原点， t0越大需要的时间越长。 利用定义4-2-3不难证明，指数稳定总是意味着一致渐进稳定性。 全局一致稳定性的概念可以通过把吸引球域BR0换成整个状态空 间来定义。
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证明：首先证明正定函数部分。根据定义，充分性是显然的， 因为α(||x||) 本身是一个标量定常正定函数。下面考虑必要性， 即假定存在一个满足V(x, t)≥V0(x)的定常正定函数V0(x) ，说明存 在一个满足(4-2-9)式的K类函数α。定义
( p ) inf V 0 ( x )



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一致稳定性和一致渐进稳定性： β||x|| 根据条件(1)和条件(3)，可得 V(x, t) α(||x(t)||)≤V[x(t), t)] ≤β(||x(t)||) α(R) 对于任意的R>0，存在 β(r) α(||x||) r(R)>0，使得β(r)<α(R) （见图4-2-1）。 ||x|| 0 r 选择初始条件x(t0)满足||x(t0)||<r， R 图4-2-1 则α(R)>β(r)≥V[x(t0), t0)]≥V[x(t), t)]≥α(||x(t)||) 这就意味着 t≥t0 ，||x(t)||≤R 由于r与t0无关，因而一致性得证。 证实一致稳定性的基本思想是，如果x不收敛于原点，那么可以 [ x (t ), t ] a 0 这就意味着 证明，存在一个正数a，使得 V t V [ x ( t ), t ] V [ x ( t 0 ), t 0 ] Vdt ( t t 0 ) a
2 V ( x, t ) (1 sin 2 t )( x12 x2 )
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2 2 因为它大于函数V 0 ( x ) x 1 x 2 。这个函数也是渐小函数， 2 因为它小于函数 V1 ( x ) 2 ( x12 x 2 ) 。 给定一个标量函数V(x, t)，它沿一条系统轨迹的导数是
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定义4-2-1与定义4-1-3的不同在于，初始球域的半径r可能与初始 时刻t0有关。 定义4-2-2 对于平衡点0，如果 ①它是稳定的； ② r(t0)>0 使 ||x(t0)||<r(t0) 当t→∞时 ||x(t)||→0 则它在t0是渐进稳定的。 定义4-2-3 如存在两个正数α和λ，使得对于充分小的x(t0)，有 ( t t 0 )
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前面，我们学习了自治系统的李亚普诺夫分析。然而，在许多 实际问题中，我们遇到的是非自治系统，即动态方程中的参数 是随时间变化的。另外，如前面所讨论，确定自治系统正常运 动的稳定性，需要对平衡点附近的一个等价的非自治系统进行 稳定性分析。因此，必须研究非自治系统的稳定性分析方法。
|| x(t ) || || x0 || e
t t0

则平衡点0是指数稳定的。 定义4-2-4 如果对于x(t0)，有 当 t→∞时， x(t)→0 则平衡点0是全局渐进稳定的。
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(t ) a (t ) x 例4-2-2 一个一阶线性时变系统 x t 它的解是 x ( t ) x ( t 0 ) exp a ( r ) dr t0 这样，当a(t)≥0，t≥t 时，这个系统是稳定的。当 a(r )dr
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4.2.1 非自治系统的稳定性概念 非自治系统的稳定性概念与自治系统十分相似。然而，由于非 自治系统的特性与初始时刻t0有关，这些稳定性概念的定义明显 地包含t0。另外，为了表征那些对不同的初始时刻t0具有一致性 特点的非自治系统，需要引入一致性这一新的概念。 一、平衡点和不变集合 f ( x, t ) 对于非自治系统 x ( 4 2 1) 平衡点x*由 f(x*, t)≡0 t≥ t0 (4-2-2) 来定义。注意，这个方程必须在t≥ t0下成立。这意味着，系统 在所有的时间里应该能够停留在点x* 。例如，不难看出，线性 时变系统
p || x || R
( 4 2 11 )


则α(0)＝0，α是连续的和非减的。由于V0(x)是一个连续函数， 在0外是非零的，而且当p>0时α(p)>0，所以α是一个K类函数。 由式(4-2-11)可得(4-2-9)成立。 类似地，通过把函数β定义为
( p ) sup V1 ( x )
dV V V V V x f ( x, t ) dt t x t x

( 4 2 8)

2. 非自治系统稳定性的李亚普诺夫定理 定理4-2-1（非自治系统稳定性的李亚普诺夫定理）： 稳定性 如果平衡点附近的一个球域BR0中，存在一个具有连续 偏导数的标量函数V(x, t) ，使得 ①V是正定的； 是负半定的 ②V 则平衡点0在李亚普诺夫意义下是稳定的。 一致稳定性和一致渐进稳定性 如果还有（接下页）


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4.2.2 非自治系统的李亚普诺夫分析 一、非自治系统的李亚普诺夫直接法 1. 时变正定函数和渐小函数 定义4-2-7：如果V(0, t)＝0，而且存在一个定常正定函数V0(x)， 使得 t≥t0， V(x, t)≥ V0(x) (4-2-7) 则称标量时变函数V(x, t)是局部正定的。 定义4-2-8：如果V(0, t)＝0 ，而且存在一个定常正定函数V1(x) ， 使得 t≥t0， V(x, t)≤ V1(x) 则称标量函数V(x, t)为渐小的。 换句话说，如果一个标量函数V(x, t)总小于一个定常正定函数， 则它是渐小的。 例4-2-4 时变正定函数的一个简单的例子是
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③V是渐小的 是负定的， 则原点是一致稳定的。如果把条件②加强，变成V 则这个平衡点是一致渐进稳定的。 全局一致渐进稳定性 如果把球域BR0变成整个状态空间，并 且条件①、被加强的条件②、条件③和下面的条件 ④ V(x, t)是径向无界的 均被满足，则平衡点0是全局一致渐进稳定的。 与自治系统的情况相类似，如果在平衡点附近的某个区域内，V 是负半定的，则称V为 是正定的，而且它沿系统轨迹的导数 V 非自治系统的一个李亚普诺夫函数。 为了证明上述定理，我们首先将正定函数和渐小函数的定义用 所谓K类函数来描述。
0 || x || p
( 4 2 12 )

其中V1(x)是定义4-2-8中的定常正定函数，就可以证明引理的第2 部分。
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给出了上面的引理后，我们现在可以把定理4-2-1重新描述如下。 （定理4-2-1）：假设在平衡点0附近的一个域内，存在一个具有 连续一阶导数的标量函数 V(x, t) 和一个 K 类函数 α ，使得对于 x≠0，有 (1) V(x, t)≥α(||x||)>0 (2a) V ( x , t ) 0 则原点0是李亚普诺夫稳定的。如果还存在一个标量K类函数β ， 使得 (3) V(x, t)≤β(||x||) 则原点 0 是一致稳定的。如果条件 (1) 和条件 (3) 满足，而且用下 述的条件(2b)代替条件(2a) (|| x ||) 0 (2b) V 其中γ是另一个K类函数，则原点0是一致渐进稳定的。（接下页）




当b(t)≠0时没有平衡点，它可以被看成一个外部输入或扰动b(t) 作用下的系统。 非自治系统的不变集合定义与自治系统相同。但应注意，非自 治系统不像自治系统那样，系统轨迹通常不是一个不变集合。 二、前述稳定性概念的扩展 定义4-2-1 如果对于任何的R>0，存在一个正的标量r(R, t0) ，使 得 ||x(t0)||<r ||x(t)||<R， t≥ t0 (4-2-6) 则平衡点0在t0是稳定的，否则平衡点0是不稳定的。
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它的解可表达为 因为
t
t 1 x (t ) x (t 0 ) exp dr t 0 1 sin x 2 ( r )

t t0 1 dr t0 1 sin x 2 ( r ) 2



所以这个系统呈指数地收敛，其收敛速率为1/2。 三、稳定性概念中的一致性 定义 4-2-5 ：如果定义 4-2-1 中标量 r 的选择可以与 t0 无关，即 r ＝ r(R)，则平衡点0是局部一致稳定的。 定义4-2-6：对于在原点的平衡点，如果 ①它是一致稳定的； ②存在一个半径与t0无关的吸引球域BR0，使得初始条件在BR0中 的任何系统轨迹关于t0一致地收敛于0。 则它是一致渐进稳定的。
A( t ) x x
( 4 2 3)

在A(t)不总是奇异的情况下，在原点0具有一个唯一的平衡点。
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x
例4-2-1 系统

a (t ) x (4 2 4) 2 1 x 在x＝0有一个平衡点。然而，系统 a (t ) x x b (t ) (4 2 5) 2 1 x
0
0

时，这个系统是渐进稳定的。如果存在一个严格的正数T，使得 t T 对于t≥0有 γ是一个正的常数，则系统 a ( r ) dr ，其中 是指数稳定的。 t 例如： x /(1 t ) 2 是稳定的（但不是渐进稳定的）； ①系统 x x /(1 t ) 是渐进稳定的； ②系统 x tx 是指数稳定的。 ③系统 x 另一个有趣的例子是，系统（接下页） x (t ) x 1 sin x 2
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lim (|| x ||)
x
如果条件(1) 和条件(2b) 以及条件(3) 在整个状态空间都满足，并 且 则0是全局一致渐进稳定的。 证明：我们依次导出定理的三个部分 李亚普诺夫稳定性：为了证实李亚普诺夫稳定性，我们必须说 明，对于给定的 R>0 ，存在 γ >0 ，使式 (4-2-6) 满足。由条件(1) 和条件(2a)可得 α(||x||)≤V[x(t), t)]≤V[x(t0), t0)]， t≥t0 (4-2-13) 因为V是关于x连续的，并且V[0, t0)]＝0，所以我们可以找到γ， 使得 ||x(t0)||<γV[x(t0), t0)]<α(R) 这就意味着，如果||x(t0)||<γ，则α(||x||)<α(R) ，而且相应地有 ||x||<R， t≥t0 。