五年级奥数分解质因数讲座及练习答案

五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数

把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？

分析：18的约数有1、2、3、6、9、18。除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

例2：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。

分析：先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。

15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7

=5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3）

=5×6×7×8×9

【巩固练习】：有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？

解：3024=2×2×2×2×2×3×3×3×7

=8×6×9×7

答：这四个孩子中年龄最大的是9岁。

例3：将2、5、×14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×11

56=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7，一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）

【巩固练习】：把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等。

解：要将40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等，则必须先使每组数中的质因数相同，且它们的个数相同，将这八个数分解质因数得：

40=2×2×2×5 44=2×2×11 45=3×3×5

63==3×3×7 65=5×13 78==2×3×13

99=3×3×11 105=3×5×7

从上面的分解质因数来看，可知式子右边有6个2,则3个2为一组分成两组.即40在1组,44和78在2组.

有两个13,因78在2组,所以65在1组.

有两个7,65在1组,所以105在2组.

有4个5,40和65已在1组,所以45在2组.

至此分组完成:1组(40,63,65,99),2组(44,45,78,105)

即：第一组：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7

第二组：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7

即第一组为40、99、65、63

第二组为44、78、45、105

例4：下面的算式里，□里数字各不相同，求这个四个数字的和。

□□×□□=1995

分析：要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和195有相同的质因数。所以，先分解1995。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995。这四个数字的和就是2+1+9+5=17。

【巩固练习】：下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。□□×□□=1288

解：将1288分解质因数可得：1288=2×2×2×7×23，再将其组合成两位数乘以两位数可得14×92, 56×23, 28×46三组，其中符合四个数字是连续的偶数这个条件的只有28×46=1288

例5：有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

分析：长方体的正面面积=长×高，上面面积=长×宽，这两个面积之和是

长×高+长×宽=长×（宽+高）=143。因为长、宽、高都是质数，而143=11×13，所以：

长=13，宽+高=11，或者：长=11，宽+高=13。

13=2+11，而11=2+9（不合题意）

所以，长方体的体积应该为：11×11×2=242

注意：长、宽、高都为质数，宽+高（只能是一个偶质数） +一个奇质数，想一想，为什么？

我也能行

1、95个同学排成长方形做操，行数与列数都大于1，共有几种排法？

解：将95分解质因数得：95=5×19或95=19×5，所以共有2种排法。

2、写出若干个连续自然数，使它们的和是1680。

解：将1680分解质因数得：1680 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7

因为偶数个自然数的和的个位不会是0，所以这些若干个连续自然数的个数不可能是偶数个，那么这若干个自然数的个数是奇数个，那么就是3、5、7个。

所以：1680÷3=560，那么这三个连续的自然数就是559，560，561.

1680÷5=336，那么这五个连续的自然数就是334，335，336，337，338

1680÷7=240，那么这七个连续的自然数就是237，238，239，240，241，242，243.

3、60个同学分组排队去游览，每组人数要一样多，每组不少于6人，不多于15人，有几种

分法？怎样分？

解：将60 分解质因数是：60=2×2×3×5

那么积是60的两个因数有，2×30，3×20，4×15，5×12，×10，610×6，12×5，15×4，中符合条件的是6×10，或10×6，即每组10人，分成10个组，或每组6人，分成10组。

4、有一个长方形，它的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是3360立方厘米，求它的表

面积？

解：3360=2×2×2×2×2×3×5×7=14×15×16

所以，这个长方体的长宽高分别为14，15，16，则它的面积为：

（14×15+14×16+15×16）×2

=674×2

=1348(平方厘米)

答：这个长方体的表面积是1348平方厘米。

5、把30、33、42、52、65、6

6、7

7、7

8、105九个数平均分成三组，每组的数相乘积相等，

写出这三组数。

解：将这几个数分解质因数得：

30 = 2 × 3 × 5

33 = 3 × 11

42 = 2 × 3 × 7

52 = 2 × 2 × 13

65 = 5 × 13

66 = 2 × 3 × 11

77 = 7 × 11

78 = 2 × 3 × 13

105= 3 3个质因数11， 5 × 7

从上可知：共总有6个质因数2，6个质因数3，，3个质因数5，3个质因数7，3个质因数11，3个质因数13，这些质因数平均分成3组，每组就有2个2，2个3，1个5，1个7，1个11，1个13.

即：30、77、78，33、52、105，42、65 、66。

6、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙数分别是多少？

解：792=2×2×2×3×3×11=24×33

所以：甲数是33，乙数是24

7、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？

解：19305=3×3×3×5×11×13=9×15×11×13

答：这四个奇数各是9、15、11、13。

8、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是5040，问这四个孩子中最大的几岁？