正交试验设计-参考模板

正交试验设计

在生产和科研工作中，经常要做许多试验。特别在纺织生产过程中，实际问题是错综复杂的。影响试验结果的因素很多，有些因素单独起作用，有些因素的水平好坏与另一个因素水平的选取有紧密地依赖关系。在安排试验时总想多试验几个因素，但是逐个试验，次数必然很多，不仅会耗费大量的人力物力，而且有时还会因为时间的拖长，试验条件改变，使试验失败。那么，如何安排这种多因素的试验，使试验既能次数少，耗费小，又能得到正确结论，取得较好的效果呢？这就是值得研究的一个问题。

正交试验设计是一种安排多因素试验的数学方法，它是从大量生产实践和科学实验中总结出来的，它在提高产品的产量、质量，研究采用新工艺、新品种，了解新设别的工艺性能以及改进技术管理等方面，都取得了较好的效果。

正交试验设计所要解决的问题是：

1.合理安排多因素的试验，使试验次数尽量减少。

2.从试验数据中能分析各因素对试验结果造成的影响，即要能分析出哪些是主要因

素，哪些是次要因素，哪些是独立作用，哪些是交互作用。

第一节正交表的一般知识

一、正交表的定义

设有a1,a2…a r和b1,b2…b s两组水平，把“水平对”

（a1，b1），（a1，b2）…（a1，b s）

（a2，b1），（a2，b2）…（a2，b s）

………………………………………

（a r，b1），（a r，b1）…（a r，b s）

称为上述两组水平所构成的“完全对”。一般写成（a i，b j），用数码表示，如

（1，1）（1，2）（1，3）

（2，1）（2，2）（2，3）

（3，1）（3，2）（3，3）

“完全对”的个数=因素1的水平数 因素2的水平数

如果一个矩阵的某两列中，同一行的水平所构成的“水平对”是一个“完全对”，而且每次出现的次数相同时，就说这两列搭配均衡。如

1 1 1 1 1

2 2 2 1 2 2 2

1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2

在每两列中，（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）都各出现一次，因此“搭配均衡”。又如

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 1 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 1

1 2 2 1 1 1 2 2 2

2 1 1 2 2 1 1 1 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1

2 2 1 1 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 1 2 2 1

在每两列中，（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）都各出现两次，因此也是“搭配均衡”的。

由此，可以得到正交表的定义为：设A是一个n m矩阵，如果A的任意两列都搭配均衡，则称A是一个正交表。

也就是说，只要任意两列的水平所构成的“水平对”是一个带有相同重复的“完全对”，或者说只要任意两列间各个水平相碰次数相同，搭配均匀，这样的表格就叫正交表。其实正交表就是利用“均衡分散性”和“整齐可比性”这两条正交性原理，从大量试验方案中挑选适当的具有代表性、典型性的试验点，并按照有规律的顺序排列成的表格。

可见，正交表必须满足两个条件：

（一）每列中，各种水平出现的次数相等。

（二）任意两列中，“完全对”出现的次数也相等。

再看

（1） 1 1 2 （2） 1 1 2 （3） 1 1 2 （4） 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1

2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2

它们都是正交表，把（1）的第一列何第二列互换得（2）表，把（1）的第4行换到第2行

得（3）表，把（1）表的第1列的水平编号1和2互换得（4）表。由此可知正交表有如下一些性质：

1． 列的位置可以互换，互换后仍然是任两列搭配均衡。 2． 行的位置可以互换，互换后“水平对”没有变。 3． 同列的水平可以互换，互换后不影响“水平对”。 二、正交表的代号

正交表分为几种类型，由于水平数和列数不同，就出现了各式各样的正交表。现在仅对常用正交表的代号作如下介绍。

一般正交表的代号为

)(q N t L

其中：L ----- 正交表；

N ----- 试验方案数（正交表的行数）

； t ----- 因素的水平数（或叫位级数、处理数）；

q ----- 正交表的列数。

如)2(3

4L ，表示试验4个方案，全是2水平，共有3列的正交表。

又如)2(7

8L ，表示试验8个方案，全是2水平，共有7列的正交表。

又如)3(4

9L ，表示试验9个方案，全是3水平，共有4列的正交表。 又如)5(6

25L ，表示试验25个方案，全是5水平，共有6列的正交表。 当试验因素的水平不相同时，有混合型正交表，其代号为

)(2

121q q N t t L ⨯

如)36(6

18⨯L ，表示试验18个方案，有1列6水平和6列3水平的正交表。 如)24(6

316⨯L ，表示试验16个方案，有3列4水平和6列2水平的正交表。 四、正交表的交互作用表

按正规方法排出的正交表，大多数都附有交互作用表，以便在考察交互作用时使用。现以)2(7

8L 的交互作用表（表5-9）为例说明交互作用表的用法。

表5-9 交互作用表

把两个列号像坐标找交点一样，找到表中的交点即为交互列的列号。如第1、2列的交互列在第3列；第3、6列的交互列在第5列。

有些正交表后面没有附上交互作用表，可能有以下原因：（1）在正交表下面注明一句话就能表达了，不必列成表，如)2(3

4L ，在下面注明，任意两列间的交互作用为另一列。意思表示：第1、2列的交互列在第3列；第1、3列的交互列在第2列；第2、3列的交互列在第1列。（2）这些表无法考察交互作用。（3）这张表不是按正规方法排出的。

关于交互列的知识，只简要介绍两点：

（一）任两列间都有1-t 个交互列（t 为因素的水平数）。如2=t 时，任两列间都有

112=-个交互列。3=t 时，任两列间都有213=-个交互列。

（二）正交表中交互列的总数为2

)1(q C t ⋅-个。式中，C 为排列符号，q 为安排因素的列数，如)2(7

3L 取5=q 时共有

102

4

5)!25(!2!51)12(25=⨯=-⨯

=⋅-C

个交互列。如)3

2(4L 取3=q 时共有

32

2

3)!25(!2!31)12(25=⨯=-⨯

=⋅-C

个交互列。

总的规律是：水平数越多，交互列数越多；考察的因素越多，交互列也越多。