整数上全同态加密方案分析

整数上全同态加密方案分析一篇论文看完了，如果都看懂了的话，很多人觉得案例都是小菜一碟，但是在我写这个案例的时候我发觉论文看懂了，更需要案例或者说实现来进一步深入或者夯实，因为只有通过具体的实现步骤，才能发现有些在论文中的一些细节问题，反过来更可以促进对论文的理解。

整数上全同态加密方案有两篇非常经典的论文，一篇是《Fully Homomorphic Encryption over the Integers》以下简称DGHV方案，还有一篇是Gentry写的《Computing Arbitrary Functions of Encrypted Data》简称 CAFED论文。

入门者适合先阅读CAFED论文，这并不是说这篇论文简单，只是因为这篇文章的写法很通俗（严格意义上这篇文章并不是一篇真正的论文，是给杂志写的文章，有点科普性质），有一个很好的比喻的例子“Glovebox”贯穿于整个论文中，Gentry的文笔很好写的也很生动，对有些地方进行了背景解释，而这些解释恰好是DGHV论文中没有说的，当然一开始要想把CAFED论文彻底读懂也不是那么容易的。

这个时候可以开始阅读DGHV这篇论文。

这篇论文对于我来说是百读不厌，因为有些地方就算读了一百篇也不见得可以理解，而且这篇文章很适合深挖，有些很有趣的地方，例如噪声参数的设置等等。

还有一篇论文就是全同态的经典论文《Fully homomorphic encryption using ideal lattices》，如果对格不熟悉的话，可以读这篇文章的前面三分之一，因为有详细的全同态的定义、层级全同态、允许电路、增强解密电路、bootstrable、重加密原理，以及如何通过递归实现全同态的，尤其是递归实现全同态的过程，在论文中还是值得反复理解的。

剩下的当然还有Gentry 的博士论文，也可以分阶段阅读。

这篇文章就算是一个阅读笔记吧，分为两个部分，一个是实现过程，另一个是方案的参数分析。

一、方案实现过程1、全同态加密方案至于什么是全同态等等形式化定义我就不说了，请参阅论文。

全同态加密用一句话来说就是：可以对加密数据做任意功能的运算，运算的结果解密后是相应于对明文做同样运算的结果。

有点穿越的意思，从密文空间穿越到明文空间，但是穿越的时候是要被蒙上眼睛的。

另外上面的那句话是不能说反的，例如：运算的结果加密后是相应于对明文做同样运算结果的加密，这样说是不对的，因为加密不是确定性的，每次加密由于引入了随机数，每次加密的结果都是不一样的，同一条明文对应的是好几条密文。

而解密是确定的。

全同态具有这么好的性质，什么样的加密方案可以符合要求呢？往下看：Enc(m): m+2r+pqDec(c): (c mod p) mod 2=（c – p*「c/p」）mod 2 = Lsb(c) XOR Lsb(「c/p」)上面这个加密方案显然是正确的，模p运算把pq消去，模2运算把2r消去，最后剩下明文m 。

这个公式看上去很简单，但是却很耐看，需要多看看。

公式中的p是一个正的奇数，q是一个大的正整数（没有要求是奇数，它比p要大的多），p 和q在密钥生成阶段确定，p看成是密钥。

而r是加密时随机选择的一个小的整数（可以为负数）。

明文m ∈ {0,1}，是对“位”进行加密的，所得密文是整数。

上面方案的明文空间是{0,1}，密文空间是整数集。

全同态加密方案中除了加密、解密还有一个非常重要的算法就是：Evaluate，它的作用就是对于给定的功能函数f以及密文c1,c2,…,ct等做运算f (c1,c2,…,ct)。

在这里就是对密文做相应的整数加、减、乘运算。

以上方案可以看成是对称加密方案。

下面来考虑公钥加密方案。

其实把pq看成公钥就OK。

由于q是公开的，所以如果把pq看成公钥，私钥p立刻就被知道了（p=pq/q）。

怎么办呢？看上面加密算法中，当对明文0进行加密时，密文为2r+pq, 所以我们可以做一个集合{xi；xi=2ri+pqi}，公钥pk就是这个集合{xi}，加密时随机的从{xi}中选取一个子集S，按如下公式进行加密：Enc(m): m+2r+sum(S); 其中sum(S)表示对S中的xi进行求和。

由于sum(S)是一些0的加密密文之和，所以对解密并不影响，整个解密过程不变。

这个方案是安全的，就是我们所说的DGHV方案。

其安全性依赖于一个困难问题“近似GCD问题”。

就是给你一些xi，你求不出p来（由于整数上全同态研究热了，近似GCD也成了研究的一个点）。

为了说明方便，我们还是采取pq为公钥的方案（尽管不安全，但是不影响说明过程）。

所以加密和解密还是按照一开始的公式，现在pq为公钥，p还是私钥，q是公开参数。

再重复一遍我们的加密解密算法：Enc(m): m+2r+pqDec(c): (c mod p) mod 2=（c – p*「c/p」）mod 2 = Lsb(c) XOR Lsb(「c/p」)另外在这里约定：一个实数模p为：a mod p = a -「a/p」*p, 「a」表示最近整数, 即有唯一整数在（a-1/2, a+1/2]中。

所以 a mod p 的范围也就变成了（-p/2，p/2 ]（这个牢记）。

这个和我们平时说的模p范围是不一样的，平时模p范围是[0, p-1]，那是因为模公式中取得是向下取整：a mod p = a –floor（a/p）*p。

Lsb是最低有效位，因为是模2运算，所以结果就是这个二进制数的最低位。

2、可怕的噪音由于公钥pq是公开的，所以知道密文c后可以减去公钥得到：c-pq= m+2r由于存在r的干扰，所以无法识别明文m。

我们就把m+2r称为噪音。

另外在解密时只有当 c mod p=m+2r <p/2时, 再对它进行模2运算才能正确解密：（m+2r）mod 2= m。

如果噪音大于p/2时，c mod p就不再等于m+2r，解密就可能无法正确恢复出明文。

所以噪音是影响解密的关键。

而噪音会在密文计算中增长，下面来看看增长的势头：假设c1= m1+2r1+pq1; c2= m2+2r2+pq2; 其中c1是对密文m1的加密，c2是对密文m2的加密。

密文加和乘运算：c1+c2=(m1+m2)+2(r1+r2)+p(q1+q2)c1*c2=( m1+2r1)(m2+2r2)+p(pq1q2+m1q2+m2q1+2r1q2+2r2q1)(c1+c2) mod p= (m1+m2)+2(r1+r2)c1*c2 mod p=( m1+2r1)(m2+2r2)由上可见：密文之和的噪音是各自密文的噪音之和；而密文乘积的噪音是噪音之积。

因此噪音的主要来源还是乘法运算，在乘法运算中噪音被放大的很快。

例如：设p=11, q=5, m1=0, m2=1，然后分别随机选取r1=1和r2= - 4, 有：c1=Enc(m1)=m1+2r1+pq=0+2*(-1)+11*5=53; c1 mod p= -2, Dec(c1)=0.c2=Enc(m2)=m2+2r2+pq=1+2*1+11*5=58; c2 mod p= 3, Dec(1)=1. 因为c1 mod p 和c2 mod p 都是在（-p/2，p/2）范围内，所以解密正确。

c1和c2称之为新鲜密文,就是直接由明文生成的密文，在新鲜密文中噪音是在一定合理的范围内的。

我们再来看看c1*c2:c*=c1*c2=53*58=3074; c* mod p=5, Dec(c*)=1≠m1*m2=0, 解密错误，错误的原因是噪音c* mod p= -6 不在（-p/2，p/2）范围内。

看来对密文运算会造成噪音的增大，当噪音超出范围，解密就失败，这意味着对密文运算不可能是无限次的（也就是Evaluate运算功能函数的电路深度是有限的，这在后面我们说到电路时会看到）。

到这里我们只得到了一个运算时噪音范围不能超过p/2的同态方案（Somewhat 同态方案），看来似乎用这个方案实现全同态是行不通的。

我们需要的是全同态方案即Evaluate可以运行任意功能函数，而不是某一类功能函数（这叫同态方案）。

估计多少英雄好汉到了这里就觉得没戏了，于是另寻他路，于是一个突破就擦肩而过。

那么下面让我们分析一下症结所在。

二、方案参数分析1、Bootstappable：一个生硬的思路噪音阻碍了我们的目标，那么如何消除噪音这个敌人呢？一个直观的方法就是对密文解密，密文解密后噪音就没有了，但是要解密必须要知道私钥，要想通过获得私钥来消除噪音是不现实的。

那么如果对密钥加密来做可以么？让我们先看看Evaluate算法。

在Evaluate算法中能够对密文执行函数功能f的运算，其中f是属于permitted founctions 集合的任一founction（这里稍微解释一下，permitted founctions 集合也称permitted circuit，例如有两个函数功能f1和f2，运行Evaluate(pk, f1, c1,c2,…，cn)和Evaluate(pk, f1, c1,c2,…，cn)，就是分别对密文执行f1运算和f2运算，如果f1运算的结果解密后恰好是f1对相应明文运算的结果（同态成立），那么f1就属于permitted founctions。

而f2运算的结果解密后如果不等于f2对相应明文运算的结果，那么f2就不属于permitted founctions。

）。

试想如果Dec解密算法也在permitted founctions 集合中，那么Evaluate算法就可以执行Dec解密功能了。

如果我们输入的是s*（是用pk2对私钥s加密得到的密文），以及对运算密文c*（是用pk2对c 再加密的密文，原密文c是用pk1进行加密的)，那么执行Evaluate(pk2, Dec, s*,c*)；所得结果为一个新的密文，该密文是明文在pk2下加密的密文，是不是有点像魔术，就像原来一个人穿的是西装，现在你没有看到这个人换衣服的情况下，魔术师只是施了一下魔法，这个人立刻就换了一身运动服，人还是原来那个人，只是包装变了。

这也是Gentry思想中一个最重要的特性：同态解密。

那么同态解密对于降低噪音又有什么关系呢？当密文运算后，噪音会被迅速放大，如果我们对运算后的密文做一次同态解密，是不是相当于得到了一个新鲜密文呢，而新鲜密文的噪音是最小的，所以达到了降噪的目的。

（事实上同态解密后得到的密文的噪音要比新鲜密文噪音稍微大一些。

）这一手法称之为：重加密技术，它为我们提供了降低噪音的一个方法。

接下来你肯定会想到：每次密文运算前只要对密文进行重加密来降低噪音，然后再进行密文运算，那么噪音永远都在可控的范围内，运算结果的解密也就不会失败了。