最新高中-初等函数图像性质总结

最新高中-初等函数图像性质总结

一、指数函数)10(≠>=a a a y x

且

1、指数函数的图象和性质

0 < a < 1

a > 1

图 象

性 质

定义域 R

值域

(0 , +∞)

定点

过定点（0，1），即x = 0时，y = 1

（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。

（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。

单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性

x y a =和x y a -=关于y 轴对称

2、第一象限：底数越大，图像越高

二、x

y a log =

1、对数函数的图象和性质 0 < a < 1 a > 1

图

象

定义域 (0 , +∞)

值域

R 性 质

（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0 （2）在R 上是减函数 （2）在R 上是增函数

（3）同正异负，

即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时，log a x > 0； 0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。

2、当a>1时，a 越大，图像越靠近x 轴； 当0

1、所有的幂函数图象都过点（1，1）。除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．；

注：当α>0时过定点（0,0）和（1,1）；

当α＜0时过定点（1,1）

2、α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数

3、α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

4、任何两个幂函数最多有三个公共点

5、图像性

质：

在第一象限幂函数图像表现为：

α＞0时，α越大，图像越陡；

α＜0时，α越大，图像越靠近y 轴远离x 轴。

四、一元二次函数：

1、图像和性质

单调性

在x ∈(－∞，－b

2a

]上

单调递减

在x ∈[－b 2a ，＋∞)上

单调递增

在x ∈(－∞，－b

2a ]上

单调递增

在x ∈[－b

2a ，＋∞)上

单调递减

奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数

顶点 (－b 2a ，4ac －b 2

4a

) 对称性

图象关于直线 x ＝－b

2a

成轴对称图形

2顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k ，定点坐标（h,k ）

分解式：f(x)＝a(x －x1)(x －x2), 一元二次方程的两根为x1，x2 一般式：f(x)＝ax2＋bx ＋c ，(a ≠0)．

1.一次函数(包括正比例函数)

最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R 值域：R 奇偶性：无 周期性：无

解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋

c (a >0)

f (x )＝ax 2＋bx ＋

c (a <0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域

[4ac －b 2

4a

，＋∞)

(－∞，4ac －b

2

4a

]

平面直角坐标系解析式(下简称解析式):

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：

题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函数

在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）

值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）