十二.概率及其计算
概率与统计如何计算事件的概率
概率与统计如何计算事件的概率概率与统计是数学中重要的分支，用于研究随机事件的发生概率及其分布规律。
在实际应用中，我们经常需要计算事件的概率，以便做出合理决策和预测。
本文将介绍概率与统计如何计算事件的概率，并探讨一些常见的计算方法。
一、概率与统计基础概率是描述事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的小数表示。
0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
统计则是通过收集、整理和分析数据，研究事件的规律性及其可能的结果。
二、事件的概率计算方法1. 古典概率古典概率是根据事件的基本样本空间和等可能性假设来计算概率。
基本样本空间是指所有可能结果的集合，等可能性假设是指每个结果发生的概率相等。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面和反面出现的概率相等，都是1/2。
抛一颗六面骰子，每个面出现的概率也是1/6。
2. 几何概率几何概率是根据事件在样本空间中的几何位置来计算的。
例如，当一个实验的样本空间为一个正方形，事件发生的可能范围是一个矩形，那么事件发生的概率就是这个矩形的面积与正方形面积之比。
3. 统计概率统计概率是根据频率来计算的。
通过实验或观察，统计事件发生的次数，将其除以总试验次数，得到事件发生的频率，即事件的概率。
例如，投硬币100次，正面朝上的次数为55次，那么正面朝上的概率就是55/100=0.55。
4. 条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
它可以通过概率公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)来计算，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 互斥事件与相互独立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，其概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
相互独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响，其概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
三、应用举例1. 抽样调查中事件发生概率的计算在抽样调查中，我们经常需要计算某个事件发生的概率。
概率的定义及其确定方法
概率的定义及其确定⽅法1.2 概率的定义及其确定⽅法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法。
主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利⽤频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法计算事件的概率。
概率是对随机事件发⽣可能性⼤⼩的数值度量。
1.随机事件的发⽣是带有偶然性的，但随机事件的发⽣的可能性是有⼤⼩之分的；2. 随机事件的发⽣的可能性是可以度量的，犹如长度和⾯积⼀样；3.在⽇常⽣活中往往⽤百分⽐来表⽰。
这⾥也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫⾸次提出了概率的公⾥化定义。
⼀、概率的公理化定义1.定义设Ω为⼀样本空间， F 为Ω上的某些⼦集组成的⼀个事件域，如果对任意事件A ∈F ，定义在F 上的⼀个实值函数P （A ）满⾜：（1）⾮负性公理：()0;P A ≥（2）正则性公理：()1;P A =（3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P ΩF 为概率空间。
1.并没有告诉我们应如何确定概率。
但概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在⼀定的场合下确定概率的⽅法。
由于计算概率要⽤到排列与组合的公式。
2.概率是关于事件的函数。
⼆、排列与组合公式1.两⼤计数原理（1）乘法原理：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第⼀步有1m 种⽅法，做完第⼆步有2m 种⽅法，…，做完第k 步有k m 种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m 种⽅法。
如某班共有45位同学，他们⽣⽇完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。
（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之⼀去完成，在第⼀类办法中有1m 种完成⽅法，在第⼆类办法中有2m 种⽅法，…，在第k 类办法中有k m种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m +++ 种⽅法。
高中数学高考73第十二章 概率、随机变量及其分布 12 1 事件与概率、古典概型
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000元和4 000元， 所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆 中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000 元的概率. 解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为12040＝0.24， 由频率估计概率得P(C)＝0.24.
6.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相 1
等，那么每一个基本事件的概率都是_n_；如果某个事件A包括的结果有m个， m
那么事件A的概率P(A)＝_n_.
7.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
Байду номын сангаас
解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格 数据知，
1234567
高等数学第12章 概率论与数理统计
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有
1-2 概率及其计算
为事件A发生的统计概率， 该频率的稳定值p为事件A发生的统计概率，即P(A)=p。 实际应用中
mA P ( A) ≈ n
例4 某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的 某市卫生管理部门对该市60 60岁以上老人患高血压的
其中至少两人的生日是在同一月的概率。 其中至少两人的生日是在同一月的概率。 表示至少两人生日同月， 用A 表示至少两人生日同月，k i 表示有 i 个人生日同月
4 至少两人生日同月有： 分析 基本事件总数 n = 12 = 20736 至少两人生日同月有：
2 3 ⑴ 两人生日同月： k 2 = C4 × A12 = 7920 两人生日同月：
简单概率的计算
50张考签 编号为1 张考签， 例 2 有50张考签，编号为1～50 。 ⑴ 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签"的概率 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签 号考签" ⑵ 任抽两张考试，求"抽到两张都是前10号考签"的概率 任抽两张考试， 抽到两张都是前10号考签 号考签" ⑶ 无放回地抽取2次，每次1张，求"抽到两张都是前10号 无放回地抽取2 每次1 抽到两张都是前10号 考签" 考签"的概率 ⑷ 无放回地抽取5次，每次1张，求事件"最后一次抽到的 无放回地抽取5 每次1 求事件" 是双号考签" 是双号考签"的概率 解 A 表示所发生的事件，则 表示所发生的事件， ⑴ n＝50，k＝10 ； 故 P(A)＝k / n＝1 / 5＝0. 2 50， P(A)＝ n＝ 5＝ ⑵ n = C 50 = 1225 ; k = C 10 = 45 ； P(A)＝k / n＝ 0. 037 P(A)＝ n＝
第十二章12.3模拟方法——概率的应用
－1<m<4.
即 A＝{m|－1<m<4}．
由 lg m 有意义知 m>0， 即使 lg m 有意义的范围是(0,4)，
4－0 4 故所求概率为 P＝ ＝ . 4－－1 5
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
与长度有关的几何概型
思维启迪 解析
在集合 A＝{m|关于 x 的方 3 3 2 2 程 x ＋mx＋ m＋1＝0 无实根} 由 Δ＝m －44m＋1<0 得 4
(1) 为古典概型，利用列举法求 概率． (2)建立 a－b 平面直角坐标系， 将问题转化为与面积有关的几 何概型．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高
程 x2＋2ax＋b2＝0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数， 求上述方程有实根 的概率； (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数， b 是从区间[0,2]任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高
程 x2＋2ax＋b2＝0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数， 求上述方程有实根 的概率； (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数， b 是从区间[0,2]任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．
动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一 般用角度比计算．事实上，当半 径一定时，由于弧长之比等于其 所对应的圆心角的度数之比，所 以角度之比实际上是所对的弧长 (曲线长)之比．
事件概率的计算公式
事件概率的计算公式事件概率是概率论中的一个重要概念，用于衡量某个事件发生的可能性大小。
在概率论中，事件概率的计算公式是通过对事件的样本空间、样本点和事件的数量进行分析和计算得出的。
下面将介绍事件概率的计算公式及其应用。
一、事件概率的定义事件概率是指某个事件在所有可能事件中出现的可能性大小。
通常用P(A)表示事件A的概率，即事件A发生的可能性大小。
事件概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
二、事件概率的计算公式1. 频率法频率法是通过统计实验中事件发生的次数与实验次数的比值来估计事件概率。
频率法的计算公式为：P(A) = N(A)/N其中，N(A)表示事件A发生的次数，N表示实验的总次数。
频率法适用于大量实验的情况下，通过实验数据来近似估计事件概率。
2. 古典概型法古典概型法适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。
在古典概型法中，事件概率的计算公式为：P(A) = N(A)/N其中，N(A)表示事件A包含的样本点的数量，N表示样本空间中的样本点的总数。
古典概型法适用于样本空间中各个样本点的发生概率相等的情况，如掷骰子、抽牌等。
3. 组合法组合法适用于事件的样本空间中的样本点的发生概率不相等的情况。
在组合法中，事件概率的计算公式为：P(A) = ΣP(Ai)其中，P(Ai)表示事件A中的样本点Ai的发生概率，Σ表示对所有样本点的发生概率求和。
组合法适用于样本空间中各个样本点的发生概率不相等的情况，如抽奖、抽样等。
三、事件概率的应用事件概率的计算公式可以用于各种实际问题的分析与解决。
例如，在赌博游戏中，可以使用事件概率的计算公式来估计某个赌博事件的胜率。
在金融领域，可以使用事件概率的计算公式来评估某个投资项目的风险和收益。
在医学领域，可以使用事件概率的计算公式来评估某个疾病的发生率和治愈率。
事件概率的计算公式还可以用于决策分析和风险管理。
通过对各种可能事件的概率进行计算和比较，可以帮助人们做出合理的决策，并制定相应的风险管理策略。
概率与统计的基本概念和计算方法
概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是一门研究随机现象规律的数学学科，它在科学研究、工程技术和社会经济等领域起到重要的作用。
本文将介绍概率与统计的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、概率的基本概念及其计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，一般用百分比、分数或小数表示。
在概率理论中，有三种常见的概率计算方法：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率又称为理论概率，是基于等可能性假设进行计算的概率。
当随机事件的样本空间中的所有基本事件等可能发生时，可以使用古典概率进行计算。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。
2. 几何概率几何概率是根据几何形状和空间位置关系计算的概率。
它常用于描述连续随机变量的概率。
几何概率的计算方法是通过计算事件A在样本空间中的面积或体积与样本空间总面积或总体积之比得到。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的几何形状的面积或体积/样本空间的几何形状的面积或体积。
3. 统计概率统计概率是根据实际观察到的频率计算的概率。
当无法直接使用古典概率或几何概率进行计算时，可以通过实际观测数据进行统计概率的计算。
统计概率的计算方法是事件A的发生频数除以样本空间试验次数的比值。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = 频数A/n。
二、统计的基本概念及其计算方法统计是通过收集、整理、分析数据并进行推断和预测的一门学科。
在统计学中，有两种常见的统计算法：描述统计和推断统计。
1. 描述统计描述统计是通过对已有数据进行总结和描述来了解数据分布和变化规律的统计方法。
常用的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等。
计算描述统计指标时，需要先收集数据，然后对数据进行计算和分析。
2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断和预测来做出总体特征的统计方法。
推断统计的核心思想是基于样本数据对总体进行推断。
常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间估计和回归分析等。
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十二、 概率及其计算
基础知识：
1. 概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0()1P A ≤≤.
(2)必然事件的概率()1P A =.
(3)不可能事件的概率()0P A =.
(4)概率的加法公式
如果事件A 与事件B 互斥，则()()()P A
B P A P B =+.
(5)对立事件的概率
若事件A 与事件B 互为对立事件，则()1()P A P B =-.
2. 古典概型的概率公式 ()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数
3. 几何概型中，事件A 的概率的计算公式 ()A P A =
构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
一、典型例题
1. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）. A. 110 B. 15 C. 310 D. 25
2. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）. A. 815 B. 18 C. 115 D. 130
3. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC . △ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III. 在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为123,,p p p ，则（ ）.
A. 12p p
B. 13p p
C. 23p p
D. 123p p p
二、课堂练习
1. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）.
A. 0.6
B. 0.5
C. 0.4
D. 0.3
2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.
A. 14
B. π8
C. 12
D. π4
3. 甲、乙两支足球队进行比赛，根据赛前的数据分析，甲队赢球的概率为0.55，乙队赢球的概率为0.2，则两支球队踢成平局的概率为__________.
三、课后作业
1. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）.
A. B. C. D. 2. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）. A. 13 B. 12 C. 23 D. 56 3. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）.
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.6
D. 0.7
4.
记函数()f x =D ，在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ）. A. 19 B. 13 C. 59
D. 79 5. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______.
6. 从集合(){}22,|4,,x y x y x y +≤∈∈R R 中任选一个元素(),x y ，则满足2x y +≥的概率为__________.
7105838310。