与圆有关的最值问题ppt课件
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与圆有关的定点定值最值与范围问题
Δ_＜__0
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
最新九年级中考数学专题复习： 最值问题-隐圆模型之瓜豆问题 课件
B
C
△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆
心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等
M
腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,
根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A
O
半径的比值,得到MO,相加即得AO.
E
MN
AD
B
当堂训练---轨迹之线段篇
3.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,
D
，D是定点,E点满足EO=2,故E点
轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.
当DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO
且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心
,2为半径的圆.
连接OM,与圆M交点即为F点,此 E
时OF最小.可构造三垂直全等求
线段长,再利用勾股定理求得OM,
减去MF即可得到OF的最小值. B
O
C
M F
接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解 C
FB
决问题.
当堂训练---轨迹之圆篇
3.如图,正方形ABCD中,AB=2 5,O是BC边的中点,点E是正方形内一
动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90º得DF,连接AE、
CF.求线段OF长的最小值.5 2 - 2
【分析】E是主动点,F是从动点 A
连接DF.DF的最小值是_1___.
A
一个定点----垂线段最短
E
G
D
B
C
F
当堂训练---轨迹之线段篇
2.如图,已知等边三角形ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始
新高考数学人教版必修2课件第2章 习题课 与圆有关的最值问题
内容索引
一、与距离有关的最值问题 二、与面积相关的最值问题 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题
随堂演练
课时对点练
一、与距离有关的最值问题
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ d－r ，最大 值＝ d＋r .
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ d-r ，最大值＝ d＋r .
解析 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形的面积S＝2S△PBC， 又四边形PACB的最小面积是2， 则 S△PBC 的最小值为 S＝1＝12r|PB|min＝12|PB|min， 则|PB|min＝2，因为|PB|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1，
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝ 2－32＋2－12＝ 2. ∴半弦长＝ r2－|CA|2＝ 4－2＝ 2. ∴最短弦长为 2 2.
二、与面积相关的最值问题
例2 已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则
√C. (－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞) D. [－ 3， 3]
解析 将yx看作圆上动点(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率， 如图，可得 k≥ 3或 k≤－ 3.
1234
4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上， 则△PC1C2面积的最大值为_4___5_. 解析 因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4， 所以|C1C2|＝ －2－22＋22＝2 5， 当 PC2⊥C1C2 时，△PC1C2 的面积最大，其最大值为12×2 5×4＝4 5.
与圆有关的最值问题课件高二上学期数学人教A版选择性
赋代数式子几何意 义
利用数形结合 思想解决问题
4
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．
双动点问题
化归
单动点问题
把双动点改为双动直线，就能得到以下的新问题．
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．
问题(4)若P在直线m: 3x-4y+12=0上，过P作圆C的两条切线，切点 分别为A、B ，则四边形PACB面积的最小值为______ ．
问题(3) 若P在直线m: 3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是____ ．
方法一：P固定，Q运动；d为圆心C到直线m的距离．
｜PQ｜≥|PC|-r=|PC|-2
≥d-2 =
21 2 11.55 Nhomakorabea答案：11 ． 5
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．
由 ｜3+b｜ 2， 11
得 b=-3+2 2 或 b=-3-2 2 ．
答案： 3 2 2, 3 2 2 ．
小结 一般地： （1）形如 k y b 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
xa （2）形如 m ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如 r2 (x a)2 ( y b)2 的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a， b)的距离平方的最值问题．
除距离、面积、角度这些有明显几何意义的问题外，有时也会碰到以 下问题：
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．
问题(6) 设Q（x,y）,则 y 2 的最大值和最小值分别是___，___ ．
x2
【高考】二轮复习与圆相关的范围与最值问题ppt课件
分析：由题意圆M的圆心M (2 5cos ,5sin )的轨迹方程为
(x 2)2 y2 25, P是圆M上的动点，PE • PF的最小值 可转化为与PC范围相关的问题
变式：
圆C的方程为(x 2)2 y2 4,圆M的方程为
(x 2 5 cos )2 ( y 5sin )2 1( R).过圆M上
则x 2 y 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) （5 其中 cos 5 ,sin 2 5 ）
5
5
所以当 cos( ) 1时，(x 2 y)max 5 5 0,故x 2 y的最大值为 0
总结：
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：
几何 与圆相关的范围与最值问题 思想和代数思想。
解：(1)过圆心C作CM EF,CN GH, M , N为垂足
ab 2
设 CM d1, CN d2
a2 b2 2
则EF GH 2(
4 d12
4
d
2 2
),又d12
d22
CA2
1
由： 4 d12
4
d
2 2
8 - (d12 d22 )
81
14
2
2
22
(当且仅当 d1 d2
即
利
用圆
的
参数方
程
（
三角换元）, 将所要
求
的
与圆相关的范围与最值问题
范围(最值)问 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
题转化
到
三
角函数
求范围(最值)的问题,
与圆相关的范围与最值问题
同时，由于 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
(x 2)2 y2 25, P是圆M上的动点，PE • PF的最小值 可转化为与PC范围相关的问题
变式：
圆C的方程为(x 2)2 y2 4,圆M的方程为
(x 2 5 cos )2 ( y 5sin )2 1( R).过圆M上
则x 2 y 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) （5 其中 cos 5 ,sin 2 5 ）
5
5
所以当 cos( ) 1时，(x 2 y)max 5 5 0,故x 2 y的最大值为 0
总结：
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：
几何 与圆相关的范围与最值问题 思想和代数思想。
解：(1)过圆心C作CM EF,CN GH, M , N为垂足
ab 2
设 CM d1, CN d2
a2 b2 2
则EF GH 2(
4 d12
4
d
2 2
),又d12
d22
CA2
1
由： 4 d12
4
d
2 2
8 - (d12 d22 )
81
14
2
2
22
(当且仅当 d1 d2
即
利
用圆
的
参数方
程
（
三角换元）, 将所要
求
的
与圆相关的范围与最值问题
范围(最值)问 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
题转化
到
三
角函数
求范围(最值)的问题,
与圆相关的范围与最值问题
同时，由于 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
与圆有关的最值问题
“＝”当且仅当a b时成立，此时d min
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
与圆有关的最值问题
( (0, )) 令 2 2 PA PB PA PB cos 2 PA COS 2 APB 2
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
27.2.2点与圆的关系(二) ----点圆最值问题
∴ ������������ < ������������ + ������������, 即：������������������ + ������������������ < ������������ + ������������, 又∵ ������������������ = ������������ ∴ 总有 ������������������ < ������������,
点������������和远交点������������，点P到圆上所有点距离中的最小值即 为线段P������������的长，最大值为线段P������������的长.
解：如图，连结OA,可得△OAP 。
∵ 在△OAP中, ������������ > ������������ − ������������
（二）点在圆内 ⇔ 点M到圆心的距离 OM < 半径 R （三）点在圆外 ⇔ 点P到圆心的距离 OP > 半径 R
方法总结：判断点和圆的位置关系,就是判断点到 圆心O的距离与半径的大小关系.
经过已知点的圆
（1）经过已知一点作圆，能作无数个圆。
（2）经过两个点也能作出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 （3）经过在同一直线上的三点A,B,C无法画圆。
又∵ ������������������ = ������������ 即：������������ + ������������������ > ������������,
∴ ������������������ > ������������, 即：P������������总大于线段PA
A
������������ O
点������������和远交点������������，点P到圆上所有点距离中的最小值即 为线段P������������的长，最大值为线段P������������的长.
解：如图，连结OA,可得△OAP 。
∵ 在△OAP中, ������������ > ������������ − ������������
（二）点在圆内 ⇔ 点M到圆心的距离 OM < 半径 R （三）点在圆外 ⇔ 点P到圆心的距离 OP > 半径 R
方法总结：判断点和圆的位置关系,就是判断点到 圆心O的距离与半径的大小关系.
经过已知点的圆
（1）经过已知一点作圆，能作无数个圆。
（2）经过两个点也能作出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 （3）经过在同一直线上的三点A,B,C无法画圆。
又∵ ������������������ = ������������ 即：������������ + ������������������ > ������������,
∴ ������������������ > ������������, 即：P������������总大于线段PA
A
������������ O
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2
k 2 6
k 2 12
切线方程为y 2 6 x
16
当a b 0时，切线方程可设为 x y 1 ab
即x y a 0 由点到直线的距离公式得：
1 2 a 2
12 12 a 1或a 3
切线方程为x y 1 0或x y 3 0
总之，所求切线方程为y 2 6 x,
解：设P x, y PA 2 PB 2 x 12 y2 x 12 y2
2 x2 y2 1
上式中x2 y2相当于在 x 32 y 42 4
上的点P到原点O的距离的平方。 7
作图不难知道，当O0,0, P x, y,3, 4共线时,
x2 y2有最值。
易求得P
9 5
Y Y=X
解：设 x 12 y 32 r2
则圆心C 1,3,半径为r.
O
X
4x+3y=12
由图观察知，当圆与直线4x 3y 12 0
相切是，半径r最小，即r 2最小。
13
由圆心到直线的距离等于半径，得：
d 4 9 12 1 r 42 32 5
r2 1
x
25
12
y
32
的最小值
解：（2）法一：由（1）知 :
（3）y 2 x 1
x2 y2 cos2 (1 sin )2 2 2sin
x2 y2的最大值为4，最小值为0
y
法二：x2 y2 ( x2 y2 )2可看作圆 x2 ( y 1)2 1上的点到坐标原点距离 的平方的最值，亦可求解
1
ox
10
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
x
2
3 5
3 2
3 10
P
3 10
,
3 5
18
例5：已知与曲线C：x2 y2 2x 2 y 1 0 相切的直线l交x轴,y轴于A, B两点，O为原点,
M为切点，O为坐标原点，且 PM PO ， 求使 PM 最小的点P的坐标。
15
解：1.圆C可化为： x 12 y 22 2
圆心C 1, 2,半径r 2
设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a、b
当a b 0时，切线方程可设为y kx
即kx y 0 由点到直线的距离公式得：
k 2
1 25
点评：在线性规划中，求形如 x a2 y b2 的
最值问题，总是转化为求圆 x a2 y b2 r2
半径平方的最值问题。
14
练习2：已知圆C：x2 y2 2x 4 y 3 0
1.若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，
求切线的方程；
2.从圆C外一点P x, y向圆引切线PM，
1
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题; 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
2
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4y 8 0上的动点，PA, PB 是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
x 1
3
11
法二：y 2 y (2) 可看作圆 x 1 x (1)
x2 ( y 1)2 1上的点与P(1, 2)两点的 连线的斜率最值，结合图形可求解
y
1
ox
P( 1,2 )
12
四、与圆半径有关的最值问题：
x0
例4：设x，y满足
yx
求x 12 y 32的最小值。
4x 3y 12
, 12 5
时,x2
y2最小为20
求得P
21 , 5
28 5
时,x2
y2最大为100
8
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
（1）3x 4 y （2）x2 y2 （3）y 2
解：（1）法一：令
x y
cos
1 sin
,
则
x 1
3x 4 y 3cos 4 4sin 5sin( ) 4
解：已知圆Leabharlann 化为： x 12 y 12 1 圆心C 1,1,半径r 1
Q SPACB 2SPAC PA • AC
PC 2 r2 • r PC 2 1
3
求SPACB的最小值就是求 PC 的最小值， 而 PC 的最小值就是圆心到直线的距离.
348
d
3
32 42
所求面积的最小值为
S 91 2 2
点评：求切线长时总是转化为
到圆心的距离和半径来求解。 4
二、到圆上一点距离的最值问题：
例2：已知P是圆x2 y2 1上一点，Q是直线 l : x 2y 5 0上一点，求 PQ 的最小值。
解：圆心C 0,0,半径r 1,
作 CH l 与H 求圆上一点P到Q的距离可以转化为 圆心C到Q的距离 CQ ，而 CQ 的最小
3x 4 y的最大值为9，最小值为1
法二：设3x 4 y t,直线与圆相切时取最值
于是 3 0 41 t 1, t 4 5,t 9或 1 5
3x 4 y的最大值为9，最小值为1
9
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
（1）3x 4 y （2）x2 y2
值就是圆心到直线的距离 CH .
5
PQ CQ 1 CH 1
005
1 5 1
12 22
PQ 的最小值为 5-1 点评：到圆上一点距离的最值问题 总是转化为到圆心距离的最值问题。
6
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：
例3：已知定点A1,0, B1,0和圆x 32 y 42 4
上的动点P，求使 PA 2 PB 2 最值时点P的坐标。
x y 1 0或x y 3 0
17
2.连结MC,则 PM 2 PC 2 MC 2
Q PM PO PC 2 MC 2 PO 2
即k x 12 y 22 2 x2 y2
x 2y 3 2
PM PO
x2 y2
2
y
3 2
2
y2
5y2 6y 9 4
当y 6 3时，PM 最小， 10 5
（1）3x 4 y （2）x2 y2
解：（3）法一：由（1）知 :
（3）y 2 x 1
k 3 sin ,得sin k cos k 3 1 cos
即 1 k 2 sin( ) k 3
sin( ) k 3 ,则 k 3 1,k 4
1 k2
1 k2
3
y 2 有最小值为 4，无最大值