专题05 中考数学必考34个考点因式分解(解析版)
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
专题05因式分解解析版年中考数学一轮复习高频考点精讲精练全国通用
专题05 因式分解一、因式分解意义【高频考点精讲】1．分解因式的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
2．因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。
因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。
【热点题型精练】1．（2022•衡水模拟）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．答案：C．2．（2022•成都模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（ ）A．2B．﹣2C．4D．﹣4解：设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a）＝x2+（a﹣6）x﹣6a，可得m＝a﹣6，6a＝12，解得：a＝2，m＝﹣4，答案：D．3．（2022•济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；答案：C．4．（2022•永州中考）下列因式分解正确的是（ ）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；答案：B．5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（ ）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）解：a2+2a＝a（a+2）．答案：A．二、提公因式法【高频考点精讲】1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
中考数学必考考点 专题5 因式分解(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题05 因式分解1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法.（2）运用公式法.①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± （3）十字相乘法。
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ ②首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.（4）分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.专题知识回顾3.分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数X 围内不能再分解为止.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】（2019•某某某某）分解因式4x 2－y 2的结果是（ ）A ．（4x +y ）（4x ﹣y ）B ．4（x +y ）（x ﹣y ）C ．（2x +y ）（2x ﹣y ）D ．2（x +y ）（x ﹣y ）【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x 2－y 2＝（2x ）2－y 2 =（2x +y ）（2x ﹣y ）．【例题2】（2019某某省某某市） 分解因式：x 4﹣16＝．【答案】（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．【解析】运用公式法． x 4﹣16＝（x 2+4）（x 2﹣4）＝（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．【例题3】（2019某某某某）分解因式：ab 2－a=____________．【答案】a （b+1）（b －1）【解析】提公因式法与公式法的综合运用原式=a （b 2－1）=a （b+1）（b －1）．【例题4】（2019某某某某）分解因式：22396ab b a a +-=．【答案】a （a ﹣3b ）2． 专题典型题考法及解析【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
中考数学常考的知识点：因式分解
中考数学常考的知识点：因式分解（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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因式分解-中考数学.doc
归纳1:因式分解的有关概念基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 注意问题归纳：1.符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式.2.因式分解与整式乘法是互逆运算.A.a2+4a-21 = a(a + 4)-21B. a2+4a-21 = (a-3)(a + 7)C. (a-3)(a + 7)= a2+4a-21D. a2+4a-21 = (a + 2)2-25归纳2:提取公因式法分解因式基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幕.提取公因式法：ma+mb—mc-m (a+b-c)注意问题归纳：1.提公因式要注意系数；2.要注意查找相同字母，要提净.【例2】(2016贵州省黔南州)若ab=2,—,则代数式a2b-ab2的值等于____________________ .【例3】(2016 PH川省自贡市)多项式a2-4a分解因式，结果正确的是( )A. d(d —4)B. (Q +2)(Q-2)C. d(d + 2)(a-2)D. (a-2) — 4归纳3:运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2—b2= (o+b) (a~b);运用完全平方公式：cT±2ab+b1- (a士b) 2.注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解.【例4】(2016 r西百色市)分解因式：16-X2=( )A. (4-x) (4+x)B. (x-4) (x+4)C. (8+x) (8-x)D. (4-x)2【例5】(2016内蒙古赤峰市)分解因式：4兀2-4xy+y2二___________________ .归纳4:综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：.因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解.解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项.注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底.【例6】（2016黑龙江省哈尔•滨市）把多项式做?+2夕兀+ /分解因式的结果是_________________ •【例7】分解因式：2cuc-lOay + 5by-bx.【例8]分解因式：（1）兀2 —）' + cix + ay；（2）— 2cib + — c2.【例9】分解因式：（1）x2 +5x4-6；（2）2x2 -7A）, + 6y2: （3）x2y2 -3xy+ 2 .歹2年中灌[2016年题组】一、选择题1.（2016吉林省长春市）把多项式X-6x + 9分解因式，结果正确的是（）A. （x-3）2B・（％一9）2 C・（兀+3）（兀・3） D.（无+9）（兀・9）2.（2016 111东省滨州市）把多项式F+s + b分解因式，得&+1）（x-3）则a, b的值分别是（）A. Q二2, b=3B. a= - 2, b= ■ 3C・a- - 2, b=3D・ a二2, b= ■ 33.（2016山东省潍坊市）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A. — 1B. 6T + aC. —2D. （a + 2）~ —2（a + 2） + l4.（2016山东省聊城市）把8/-8/ + 2d进行因式分解，结果正确的是（）A. 2^z（4tz2—4ci +1）B. 8（6Z — 1）C. 2d（2a —1）~D. 2Q（2Q +1）~1 .5.（2oi6r西贺州市）"是整数，式子-[i-（-ir]O22-i）计算的结果（）8A.是0 B•总是奇数C•总是偶数 D.可能是奇数也可能是偶数6.（2016湖北省宜吕市）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一-条信息：a-b, x-y, 兀+y, aAb, x2-y\ a2-b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美现将（x2 - y2）a2-（x2 - y2）b2A・我爱美 B.宜晶游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌（2016福建省厦门市）设681 X 2019 - 681 X 2018=^7 , 2015 X 2016 - 2013 X 2018二b ,A. b<c<aB.a<c<bC.b<a<c D・c<b<a丁67* + 1358 + 690 + 678 二c,则°, 4 c 的大小关系是(二、填空题8.（2016云南省）因式分解：x2-l= _________________________9.（2016内蒙古巴彦淖尔市）分解因式：-2xy2 -^-Sxy-Sx= _______________10.（2016北京市）下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：________Q b11.（2016四川省宜宾市）分解因式：ab4 - + Aab2 = _____________________________ ..12.（2016四川省巴屮市）把多项式\6m3-mn2分解因式的结一果是_____________________ .13.（2016 ill东省威海市）分解因式：（2a + b）2—（a + 2b）2二____________________ .14.（2016 Lil东省烟台市）已知|x_y + 2| +Jx+y_2 =0,则x2-/的值为___________________ ・15.（.2016 r东省深圳市）分解因式：°铅+ 2°戾+戻二___________________ .16.（2016 /'■西贺州市）将m\x-2） + 2-x）分解因式的结果是 ________________________________ .17.（2016江苏省常州市）分解因式：X3-2X2-^X= _________________ .18.（2016江苏省南京市）分解因式：2a（Z?+c）・3 （b+c） = _______________________ .19.（2016浙江•省杭州市）若整式X2 + ky2以为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，贝打的值可以是 _______ （写出一个即可）.20.（2016湖南省株洲市）分解因式：&・8）（x+2） +6兀二 ____________________ .21.（2016贵州省黔东南州）分解因式：X3-X2-20X= ________________________22.（2016湖北省荆•门市）分解因式：（加+1）（/n-9） +8加二 ________________23. （2016贵州省毕节市）分解因式：3m 4-48 = ______________________________________三、解答题24. （2016黑龙江省大庆市）己知a+b 二3, ab 二2,求代数式erbla 2b 2 + ab 3的值.12015年题组】1. (2015北海)下列因式分解正确的是( )A. x 2 - 4 = (x + 4)(%-4)B. x 2 +2x+l = x(x + 2) + l C ・ 3mx - 6my = 3m(x - 6y)D ・ 2兀 + 4 = 2(兀 + 2)2. (2015贺州)把多项式4x 2y-4xy 2-x 3分解因式的结果是( )A. 4可'(％一『)一兀‘B. 一x(x-2y)2C. x(4xy-4y 2-x 2)3. （2015宜宾）把代数式3X 3-12X 2+12X 分解因式，结果正确的是（ ）5. (2015临沂)多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x4-1的公因式是( ) A. x-1 B. x+l C. x 2 -1 D.(兀-I)'6. （2015枣庄）如图，边长为d, b 的矩形的周长为14,面积为10,则a 2h + ah 2的值为（）D. -x(-4xy^-4y 2+x 2)A. 3x(x 2-4%+ 4)B. 3x(x-4)24. (2015毕节)下列因式分解正确的是( A. a Ab-6crb + 9a 2b = a 2b(a 2-6a + 9)C. F — 2x +4 = (x — 2)~C. 3兀(兀+ 2)(兀一2)B.D. 3x(x-2)2D. 4x 2- y 2= (4x + y)(4x- y) X 7+才A. 140 B・ 70 C. 35 D・ 249. （2015南京）分解因式（a-b ）（a-4h ） + ab 的结果是 _______________ . 10. （2015 巴中）分解因式：2/—4a + 2= ___________________ .11. （2015绵阳）在实数范围内因式分解：x 2y-3y= ___________________________ . 12. （2015 内江）已知实数 g b 满足：612+1 = -, /?2+1=-,贝I J2015M '= ___________ ・a b 13. （2015 北京市）分解因式：5X 3-10X 2+5%= _________________ . 14. （2015 甘南州）知 0 — 1 = 0,则 o'—夕―d + 2015 二 _________________ . 15. （2015 株洲）因式分解：X 2（X -2）-16（X -2）= ________________ . 16. （2015 东营）分解因式：4 + 12（兀一 y ） + 9（x-）y 二 ___________________ ・ 17. （2015 荷泽）若x 2 + x4-m =（X-3）（x + /?）对兀恒成立，贝ij 川二 .18. （2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最髙位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最 高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数〕例如自然数12321,从最高位 到个位依次排出的一串数字是：1, 2, 3, 2, 1,从个位到最高位依次排11!的一串数字仍是：1, 2, 3, 2,1,因此12321是一个“和谐数”，再加22, 545, 3883, 345543, 都是“和谐数”•（1） 请你直接写出3个四位“和谐数◎请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由； （2） 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字兀（1*4, x 为自然数），十位上的数字为 y,求y 与兀的函数关系式.宀4// =(a + 2b)(a_2b)X 2-4X + 3 = (X -2)2+1D. x -j-(%2 + x)= — 1xD. (-2a')2=4d（2015杭州）下列各式的变形屮, 止确的是（净=1年栈拟一、选择题1.（2016届安徽省“合肥十校”联考）下列因式分解错误的是（）A. 2a — 2b = 2（a — b）B. x2—9 =（无 + 3）（兀一3）C. c广 + 4G— 4 = （d + 2）2D. —x~— x + 2 = —（.x —1）（% + 2）二、填空题2.（2016北京市延庆县中考一模）分解因式：am2 -2amn + an2 = ____________________ .3.（2016 M川省遂宁市蓬溪县屮考一模）分解因式：2a2-4a + 2= _____________________.4.（2016广东省梅州市中考冲刺）分解因式：+_（3.14-龙）°=__________________________ .5.（2016 r东省深圳市北师大附中中考二模）分解因式：c/+2处・3“____________________________ .6.（2016江苏省苏州市中考预测）若对严5, xy=6,则+ 的值为_______________________ •7.（2016河北省石家庄市赵县屮考一模）分解因式：a3h-4a2h + 4ah= _______________________ ・8.（2016甘肃省中考押题）因式分解：6xy - 12x/+3x>- ___________________ .9.（2016辽宁省沈阳市和平区中考一模）分解因式：3ajc2-\2ay2= _____________________・10.（2016福建省龙岩市中考模拟）已知沪20152015X999,庆20142014X 1000,则a与"的大小关系：ab.。
2022-2023学年七年级数学考点大串讲(苏科版)：因式分解(考点串讲+七大类型)(解析版)
项式. 5.因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 6.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止
【详解】解： a2b 25b b a2 25 b a 5a 5 ，
故答案为： ba 5a 5 ．
【点睛】本题考查了因式分解——提公因式法和平方差公式法，解题关键是牢记因式分解的 方法．
【融会贯通】
1．（2022 秋·福建福州·八年级校考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 （）
专题 05 因式分解
一、因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式.
注意：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，
因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
2.提公因式法
定义：把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因
式 m ，另一个因式是
，即
，而
正好是
注意：
除以 m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变 为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公 因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误. 3.公式法——平方差公式
中考数学知识考点-因式分解_考点解析
中考数学知识考点:因式分解_考点解析
中考数学知识考点:因式分解
因式分解
用待定系数法分解因式
余式定理及其应用
余式定理
f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)
因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式，除这个多项式本身和非零常数外，再也没有其他的因式，那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式
因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法。
数学中考 考点05 因式分解(知识精讲)-2019年中考数学必备之考点精讲与真题演练(解析版)
考点05 因式分解【知识梳理】一、基本概念1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2、因式分解的方法主要有：提公因式法， 公式法， 分组分解法， 十字相乘法， 添、拆项法等.3、分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.4、注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.5、在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、因式分解的方法1、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂.2、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方公式： 2222()a ab b a b ++=+，2222()a ab b a b -+=-3、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a 、b 、c 使得： 12a a a =， 12c c c =，1221a c a c b += ， 2()()()x a b x ab x a x b +++=++注意：若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.4、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【例题精讲】1、（2018•安徽）下列分解因式正确的是（ ）A ．﹣x 2+4x ＝﹣x （x+4）B ．x 2+xy+x ＝x （x+y ） C ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）＝（x ﹣y ）2D ．x 2﹣4x+4＝（x+2）（x ﹣2） 【答案】C【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．.网2、（2018•江北区）计算（﹣2）2018+（﹣2）2019等于（ ） A ．﹣24037 B ．﹣2 C ．﹣22018 D ．22018【答案】C【解析】解：（﹣2）2018+（﹣2）2019 ＝（﹣2）2018[1+（﹣2）] ＝﹣22018．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．3、（2018•威海）分解因式：a2+2a﹣2＝_______．【答案】（a﹣2）2【解析】解：原式（a2﹣4a+4）（a﹣2）2，故答案为：（a﹣2）2【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法和提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．@网。
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专题05 因式分解1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法.（2）运用公式法.①平方差公式：()()22a b a b a b-=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b±+=±（3）十字相乘法。
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①对于二次三项式2x bx c++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩，则()()2x bx c x p x q++=++②首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c++(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即12a a a=，常数项c可以分解成两个因数之积，即12c c c=，把1212a a c c，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c+，若它正好等于二次三项式2ax bx c++的一次项系数b，即1221a c a c b+=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c+与22a x c+之积，即()()21122ax bx c a x c a x c++=++.（4）分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.3.分解因式的步骤：专题知识回顾(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x 2－y 2的结果是（ ）A ．（4x +y ）（4x ﹣y ）B ．4（x +y ）（x ﹣y ）C ．（2x +y ）（2x ﹣y ）D ．2（x +y ）（x ﹣y ）【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x 2－y 2＝（2x ）2－y 2 =（2x +y ）（2x ﹣y ）．【例题2】（2019贵州省毕节市） 分解因式：x 4﹣16＝ ．【答案】（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．【解析】运用公式法．x 4﹣16＝（x 2+4）（x 2﹣4）＝（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab 2－a=____________．【答案】a （b+1）（b －1）【解析】提公因式法与公式法的综合运用原式=a （b 2－1）=a （b+1）（b －1）．【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：22396ab b a a +-= ．【答案】a （a ﹣3b ）2．【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
a 3﹣6a 2b +9ab 2＝a （a 2﹣6ab +9b 2）＝a （a ﹣3b ）2． 专题典型题考法及解析【例题5】（经典题）把下列各式分解因式：（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-． 【答案】见解析。
【解析】（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数。
2215(3)(5)x x x x --=+-（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数． 2256(2)(3)x xy y x y x y -+=--【例题6】（2019山东东营）因式分解：x （x －3）－x+3=____________．【答案】（x －3）（x －1）【解析】分组分解法x （x －3）－x+3= x （x －3）－（x －3）=（x －3）（x －1）．【例题7】（2019湖北咸宁）若整式x 2+my 2（m 为常数，且m ≠0）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以多少（写一个即可）．【答案】﹣1【解析】令m ＝﹣1，整式为x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．只要m 取负值，其绝对值一个有理数的平方数即可。
比如：m=-4，-9，-16，-25等。
【例题8】（经典题）把ab ﹣a ﹣b+1分解因式。
【答案】（b ﹣1）（a ﹣1）．【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题可采用两两分组的方法，一、三，二、四或一、二，三、四分组均可，然后再用提取公因式法进行二次分解。
ab ﹣a ﹣b+1=（ab ﹣a ）﹣（b ﹣1）=a （b ﹣1）﹣（b ﹣1）=（b ﹣1）（a ﹣1）．一、选择题1. (2019黑龙江绥化) 下列因式分解正确的是( )A.x 2－x ＝x(x+1)B.a 2－3a －4＝(a+4)(a －1)C.a 2+2ab －b 2＝(a －b)2D.x 2－y 2＝(x+y)(x －y)【答案】D【解析】A.x 2－x ＝x(x －1),错误;B.a 2－3a －4＝(a －4)(a+1),错误;C.a 2+2ab －b 2不能因式分解,故错误;D.x 2－y 2＝(x+y)(x －y),是平方差公式;故选D2.（2019广西贺州）把多项式241a -分解因式，结果正确的是() A ．(41)(41)a a +- B ．(21)(21)a a +-C ．2(21)a -D ．2(21)a +【答案】B【解析】运用公式法241(21)(21)a a a -=+-，故选：B ．3.（2019四川泸州）把2a 2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（a 2﹣4）B ．2（a ﹣2）2C ．2（a +2）（a ﹣2）D ．2（a +2）2【答案】C【解析】提公因式法与公式法的综合运用原式＝2（a 2﹣4）＝2（a +2）（a ﹣2），故选：C ．4.（2018山东潍坊）下列因式分解正确的是（ ）A ． x 2﹣4=（x+4）（x ﹣4）B ． x 2+2x+1=x （x+2）+1C ． 3mx ﹣6my=3m （x ﹣6y ）D ． 2x+4=2（x+2）专题典型训练题【答案】D【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；原式=（x+2）（x﹣2），错误；B.原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；原式=（x+1）2，错误；C.原式提取公因式得到结果，即可做出判断；原式=2m（x﹣2y），错误；D.原式提取公因式得到结果，即可做出判断．原式=2（x+2），正确。
5.（2018四川南充）下列因式分解正确的是（）A．a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）B．x2﹣x+=（x﹣）2C．x2﹣2x+4=（x﹣2）2D．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）【答案】B【解析】原式各项分解得到结果，即可做出判断．A.原式=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2，错误；B.原式=（x﹣）2，正确；C.原式不能分解，错误；D.原式=（2x+y）（2x﹣y），错误。
6.（2018黑龙江齐齐哈尔）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）【答案】A【解析】原式利用完全平方公式分解即可．x2﹣6x+9=（x﹣3）27.（2018湖北荆州）把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2）B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）C. 4x2﹣（2x+y2+y）D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）【答案】B【解析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解因式即可．原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y，=（4x2﹣y2）﹣（2x+y），=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y），=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．二、填空题9.(2019海南)因式分解:ab－a＝________.【答案】a(b－1)【解析】用提公因式法进行因式分解,ab－a＝a(b－1).10.（2019广西北部湾）因式分解:3ax2-3ay2=【答案】3a(x+y)(x-y).【解析】3ax2-3ay2=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y)11.（2019贵州黔西南州）分解因式：9x2﹣y2＝．【答案】（3x+y）（3x﹣y）【解析】运用公式法原式＝(3x)2﹣y2 =（3x+y）（3x﹣y）12.（2019·湖南张家界）因式分解：x2y－y＝．【答案】y(x＋1)(x－1)．【解析】x2y－y＝y(x2－1)＝y(x＋1)(x－1) ．13.（2019湖北十堰）分解因式：a2+2a＝．【答案】a（a+2）【解析】观察原式，找到公因式a，提出即可．解：a2+2a＝a（a+2）．14.（2019湖北仙桃）分解因式：x4﹣4x2＝．【答案】x2（x+2）（x﹣2）【解析】x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）15.（2019湖南湘西）因式分解：ab﹣7a＝．【答案】a（b﹣7）【解析】原式＝a（b﹣7），故答案为：a（b﹣7）．16.（2019宁夏）分解因式：328a a -= ．【答案】2(2)(2)a a a +-【解析】32282(4)a a a a -=-2(2)(2)a a a =+-．17.（2019年陕西省）因式分解：339x y xy -= ．【答案】(3)(3)xy x x +-【解析】3329(9)(3)(3)x y xy xy x xy x x -=-=+-．18. (2019黑龙江大庆)分解因式:a 2b+ab 2－a －b ＝________.【答案】(a+b)(ab －1)【解析】a 2b+ab 2－a －b ＝ab(a+b)－(a+b)＝(a+b)(ab －1).19.（2019吉林长春）分解因式：ab +2b = .【答案】b (a +2)．【解析】ab +2b =b (a +2)．20.（2019吉林省）分解因式：a 2-1=【答案】(a+1)(a-1)【解析】平方差公式：两数和与这两数的差的积a 2-1=(a+1)(a-1)21.（2019·江苏常州）分解因式：ax 2－4a ＝__________．【答案】a (x ＋2)(x-2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax 2－4a ＝a (x 2－4)＝a (x ＋2)(x-2)，因此本题答案为a (x ＋2)(x-2)．22.（2019广西桂林）若224(2)x ax x ++=-，则a = ．【答案】4-【解析】224(2)x ax x ++=-Q ，4a ∴=-．故答案为：4-．23.（2019内蒙古赤峰）因式分解：x 3﹣2x 2y +xy 2＝ ．【答案】x （x ﹣y ）2【解析】提公因式法与公式法的综合运用原式＝x （x 2﹣2xy +y 2）＝x （x ﹣y ）2，故答案为：x （x ﹣y ）224.（2018河南）因式分解：x 3y ﹣xy= ．【答案】xy（x+1）（x﹣1）【解析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．x3y﹣xy，=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）25.（2018云南丽江）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=________．【答案】（x﹣3）（4x+3）【解析】x2+3x（x﹣3）﹣9=x2﹣9+3x（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3）=（x﹣3）（x+3+3x）=（x﹣3）（4x+3）．.26.（2018河南郑州）分解因式：3a2b+6ab2=．【答案】3ab（a+2b）。