科目数学年级初三教师任力平

科目：数学 年级：初三 教师：任力平2001—2002第一学期第13周一．本周学习进度三角函数练习二．重点分析锐角三角函数学习目标1．正确运用sinA ，cosA ，tgA ，ctgA 表示直角三角形中两边之比（∠A 为锐角）．2．熟记00，300，450，600，900角的各个三角函数值，并能准确计算含特殊角的三角函数值的式子． 3．了解使用互余两个锐角三角函数关系． 4．正确使用“正弦和余弦表”、“正切和余切表”． 5．了解正弦（余弦）、正切（余切）的函数值在00—900间，随角度的增大而增大（减小）的规律． 6．求非特殊角的三角函数值，学会构造出一个含有该锐角的直角三角形，再利用定义等其它知识解之．三．典型例题.1715sin .1的其它三角函数值求已知A A ∠=分析：已知锐角一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值，有两种常用方法：（1）利用三角函数的定义求解；（2）利用同角三角函数的关系求解．.158815178cos 8)15()17(17151715sin .122======∴=-=∴====a b ctgA b a tgA c b A k k k b k c k a ca A 设解法178cos 0cos 178)1715(1cos 1715sin ,1cos sin .2222=∴>±=-±=∴==+A A A A A A A 为锐角解法.1581815cos sin ====tgA ctgA A A tgA说明：已知联比常用“设k 法”消去一个未知数2．已知在Rt ΔABC 中，∠C=900，sinA=tgB ，求cosA. 解法1．在Rt ΔABC 中 ∠C=900251251c o s 2510251250s i n 222222+-=+-==∴+-=∴>±-=±-=∴=-+∴=+=∴=∴=c cc b A cb bc c c b c bc b c b a bc a ab c a tgB A 又又 解法2．在ΔABC 中 ∠C=900251c o s 0c o s 251c o s 01c o s c o s 1c o s s i n c o s s i n s i n c o s s i n 902222+-=∴>±-==-+∴=+=∴====+A A A A A A A A AA AActgA tgB A B A 为锐角又又说明：方法2是将“切”化“弦”是常用解题方法之一．.cos ..5sin 1.3αααα求为锐角已知=+ctg αααααααααααsin 51cos 5sin 1sin cos 5sin 1sin cos =+∴=+∴=+=ctg ctg 为锐角解： 1312cos )(1cos 0)12cos 13)(1(cos 012cos cos 131cos )5cos 1(1cos sin 22222=-==-+∴=-+∴=++∴=+αααααααααα不合题意舍去又4．在ΔABC 中，D 为AB 中点，CD ⊥AC ，且∠BCD=300，求∠CDA 的正弦值解：作DE//AC 交BC 于E∵DC ⊥AC ∴∠ACD=900 ∵AC//DE ，AD=BD ∴∠CDE=900，CE=EB 在ΔCDE 中 设DE=x∵∠1=300 ∠CDE=900x CD x CE 3,2==∴∵DE//AC,AD=DB ∴AC=2x在Rt ΔACD 中 ∵∠ACD=900.27272sin 7)3()2(22===∠∴=+=∴x x AD AC CDA xx x AD 说明：①本题是充分利用∠BCD=300，构造出含300的直角三角形，进而找出线段之间关系．②构造含300的直角三角形方法不唯一，如：5．求非特殊角的四种三角函数值．（1）求150角的四种三角函数值．解法1．作ΔADC 使∠C=900∠ABC=300，延长BC 到D 使BD=AB ．连结AD则∠D=150令AC=a 则AB=BD=2a426)26()32(15cos 426)26(15sin )26(1228)23(90)23(3002220+=++==-=+==+=+=++==∠∆+==aaAD DC a aAD AC a a a a AD C ADC aDC aBC 中在32)23(1532)23(1500+=+==-=+==aaAC DC ctg aaDC AC tg说明：①求非特殊角的三角函数值时，常需要构造出一个含有这个锐角的直角三角形，利用直角三角形的性质及含特殊角直角三角形三边关系求出锐角四个三角函数值．②此题还有其它构造方法，如：图-1.1522662262)13(0四个三角函数值中可求在则DEB x AE AB BE xAB x xAE DE ∆+=-==-=-==如图-2四个三角函数值中可求在则015)63()32(32BFH Rt xBH xBF x x x HF ∆+==-=-=图-1图-2H（2）求750的四种三角函数值32157532157542615sin 75cos 42615cos 75sin 00000000-==+==-==+==tg ctg ctg tg（3）求22.50，67.50的正切和余切三角函数值．解：作ΔABC 使∠C=900，AC=BC ，延长CB 到D 使BD=BA ．连结AD 设AC=BC=x12)12(5.675.2212)12(5.675.22)12(20000+=+===-=+===∴+===xxAC CD tg ctg x xDC AC ctg tg xCD x BD AB 则三．练习题A 组（一）填空题：.______cos sin _____,sin 34,90,.10=+===∠∆A A A tgA C ABC Rt 则中在 2．若sin α·tg14028’=cos α 则α=_________..____0|cos 21|)2sin 2(,.32=+=-+-βαβαβα则且均为锐角，设 .________24,3,5,.5.______45cos 606021303.400200====∆=++--Btg BC AC AB ABC tg tg tg 则中已知在 （二）选择题)(,,.1为则于于如图所示PEPDE OB PE D OA PD ⊥⊥βαβαβαβαctg ctg D tg tg C B A )()(cos cos )(sin sin )( 2．在ΔABC 中，∠C=900，∠A>∠B ，则cosA 的取值范围是（ ）1cos 22)(1cos 21)(1cos 22)(22cos 0)(<<<≤<≤<<A D A C A B A A3．设α为锐角，如果asin α+cos α=1,bsin α-cos α=1 那么a ·b 为（ ） 1)(21)(0)(1)(-D C B A)(21)221(,21.4的值则互为余角和若∠⋅∠-∠+∠∠∠tg tg tg（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）25．如果方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，那么m 的值等于（ ） 1)(2)(3)(3)(D C B A ±答案（一）填空.57,54.12．∵sin α·tg14028’=cos α'3275sin cos '281400=∴==∴ααααctg tg 3．1050221.4+ 312.5=B tg如图在ΔABC 中，∠C=900AC=3 BC=4 AB=5 延长CB 到D 使 BD=AB 连结AD .319329421===∠==∠=∠B tg D tg DC BD B D 则 （二）选择：1．A2．A∵∠A+∠B=900∠A>∠B∴450<A<900由余弦函数值越大其角反而小得220<<A 3．A∵asin α+cos α=11sin sin sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 11cos sin sin cos 12222==-=-⋅+=∴+=∴=--=∴αααααααααααααααab b b4．B0111145212210=-=∠⋅∠-=∠⋅∠-∠+∠ctg tg tg tg tg tg5．B∵∠A+∠B=900D∴sinB=cosA.31021cos sin .3)21(421cos sin 21)cos (sin ,4cos sin ,214)1(2cos sin 22=∴->>+=+±=∴+=⨯+∴+=+∴=⋅+=+-=+m m m A A m m m A A A A mA A m m A A 又又（三）解答题：1．已知在ΔABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，AC ⊥BE 于E ，AB ⊥CF 于F ，AD=BE+CF ，求tg ∠ABC)900(cos sin 21.200<<⋅-ααα化简的值求若ααααααcos sin 31sin cos sin 3.32⋅+-⋅=tg的值求的一个根是方程若ααααααααcos sin 2)sin )(cos sin (cos ,032,900.4200⋅-+=--<<x x tg5．在Rt ΔABC 中 ∠C=900，∠A 、∠B 的正弦值是关于x 的方程m(x 2-2x)+5(x 2+x)+12=0 的两个根，求m 的值．6．已知α是锐角，且tg α=2不查表求下列各式的值αααααααα22cos 3cos sin 2sin )2(cos sin sin 5cos 3)1(-⋅+-+答案提示1．解在ΔABC 中，AB=AC AD ⊥BC ∴∠ABC=∠ACB ，BD=DC 又BE ⊥AC ，CF ⊥AB 可证ΔBCF ≌ΔCBE ∴CF=BE ∵AD=BE+CF ∴AD=2CF又可证ΔABD ∽ΔCBFkAB k BD BD AB ABD Rt BDAB DCAB CF CF BC ABCF AD 44.422===∆=∴=∴=∴则设中在1515)4(22==∠∴=-=∴BDADABC tg kk k AD说明：解决本题关键是将∠ABC 置于Rt ΔABD 中，综合考虑已知条件，找出Rt ΔABD 中AD 与BD 的关系．⎪⎩⎪⎨⎧<<-=<<-=-=-=+-=--)9045(cos sin )45(0)450(sin cos |cos sin |)cos (sin cos cos sin 2sin cos sin 21:cos sin 21.200000222ααααααααααααααααααα 解化简说明：.cos sin 21cos sin 21)1(化为完全平方式的关键是将化简αααα⋅-⋅-(2) 将1-2sin α·cos α化为完全平方式的关键是将“1”用sin 2α+cos 2α代换 (3) 关于“1”的代换方法很，如tg α·ctg α=1等． 3．解：19633133331cos sin 3cos sin sin cos sin 2222222-=⨯++-=++-=⋅++-⋅=αααααααααααtg tg tg tg 原式 说明：已知tg α或ctg α的值，求关于sin α，cos α的代数式的值，常将求的分式的分子与分母同时除以sin α、cos α或sin 2α，cos 2α将其化为含tg α或ctg α的代数式．4．解：∵x 2-2x-3=0 ∴x 1=3 x 2=-1∵00<α<900∴tg α=334323121cos sin 2sin cos cos sin 2)sin )(cos sin (cos 2222-=⨯-=-=-=⋅-+ααααααααααααtg tg5．解： ∵m(x 2-2x)+5(x 2+x)+12=0∴(m+5)x 2+(5-2m)x+12=0∵sinA 、sinB 是该方程的两个根512cos sin 552cos sin cos sin 90512sin sin 552sin sin 0+=⋅+-=+∴=∴=++=⋅+-=+∴m A A m m A A A B B A m B A m m B A又sin 2A+cos 2A=1∴(sinA+cosA)2-2sinA ·cosA=1 15122)552(2=+⨯-+-∴m m m 整理为：m 2-18m-40=0(m-20)(m+2)=0 ∴m 1=20 m 2=-2当m=-2时 sinA+cosA=-3<0 舍去 ∴m=20说明：本题是一元二次方程根与系数的关系与锐角三角函数的综合应用题．求出参数后即要满足a ≠0，Δ≥0，还当满足锐角三角函数意义在解此类题时：sin 2A+cos 2A=1，A+B=900时sinB=cosA 是基础．6．解：（1）∵tg α=21312253153cos sin sin 5cos 3=-⨯+=-+=-+ααααααtg tg132cos sin cos 3cos sin 2sin )2(222222+-+=+-⋅+αααααααααtg tg tg112322222=+-⨯+=练习题：B 组1．已知：a 、b 、c 是ΔABC 三边，方程a(1-x 2)+2bx+c(1+x 2)=0有两个相等实数根， .2)1(b a ac=+且求：sinA+sinB+sinC 的值．2．当α、β为锐角时，证明下列各式成立：（1）tg 2α-sin 2α=tg 2α·sin 2α（2）sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2α·cos 2β=1答案提示：1．解：∵a(1-x 2)+2bx+c(1+x 2)=0∴a-ax 2+2bx+c+cx 2=0∴(c-a)x 2+2bx+(a+c)=0 ∵方程有两个相等的实数根 ∴Δ=0即4b 2-4(c-a)(c+a)=0∴b 2-c 2+a 2=0∴c 2=a 2+b 2∴ΔABC 是直角三角形且∠C=900b a ac2)1(=+又 ∴c=2b-a∵c 2=a 2+b 2∴(2b-a)2=a 2+b 2∴a 2+b 2=4b 2+a 2∴3b 2-4ab=0 b(3b-4a)=0 ∵b ≠0 ∴3b=4a k c k b k a b a 54343===∴=∴512154531sin sin sin =++=++=++cb c a C B A2．证明ααααα22222sin cos sin sin )1(-=-=tg 左边ααααααααα242222222cos sin cos )cos 1(sin cos cos sin sin =-=⋅-=ααααααα2422222cos sin sin cos sin sin =⋅=⋅=tg 右边 ∴左边=右边∴原式成立（2）左边=sin 2α+sin 2β-sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β=sin 2α(1-sin 2β)+sin 2β+cos 2αcos 2β=sin 2α·cos 2β+sin 2β+cos 2α·cos 2β=cos 2β(sin 2α+cos 2α)+sin 2β=cos 2β+sin 2β=1 右边=1∴左边=右边 ∴原式成立科目：几何 年级：初三 教师：吕学林2001—2002年第一学期第十三周初三平面几何（十九）内容：圆和圆的位置关系目的：使学生掌握圆和圆位置关系及有关定理；培养学生观察分析能力. 知识要点：1．圆和圆的位置关系定理：设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d,那么()()()()()()()().5;4;3)(;2;1r R r R d r R r R d r R r R d r R r R r R d r R d >-<⇔>-=⇔≥+<<-⇔>-=⇔+>⇔两圆内含两圆内切两圆相交两圆外切两圆外离 说明：圆和圆的位置关系有五种，要从运动观点加深理解.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.2．定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. ∵⊙O 1，⊙O 2相交于A 、B ， ∴O 1O 2⊥AB ， AM=BM.3．两圆的公切线和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线. 两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线. 公切线上的两个切点的距离叫做公切线的长. 公切线的条数如果两圆有两条外（或内）公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上.例题1：已知⊙O 1和⊙O 2相交于点C 和D ，O 1O 2的延长线和⊙O 1相交于A ，AC 、AD 分别和⊙O 2相交于E 、F. 求证：CE=DF证明一：连结CD 、EF.∵两圆相交，∴O 1O 2垂直平分CD ∴AC=AD. ∴∠1=∠2, ∵∠1=∠F, ∴∠2=∠F. ∴CD//EF.∴CE=DF.∴CE=DF. 证明二：连结CD.∵两圆相交，∴O 1O 2垂直平分CD.⌒ ⌒∴AC=AD.∵AC ·AE=AD ·AF ， ∴AE=AF.∴AE-AC=AF-AD. 即CE=DF.证明三：作O 2M ⊥CE ，O 2N ⊥DF ，M ，N 为垂足，连结CD. ∵两圆相交，∴O 1O 2垂直平分CD. ∴AC=AD. ∴∠1=∠2又∵O 2M ⊥CE ，O 2N ⊥DF ，∴O 2M=O 2N ∴CE=DF.说明：此题证法很多.证明一是利用“弧等弦等”，证明二是利用等量减等量差相等，证明三是利用“弦心距等弦等.” 2．已知：⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2cm 和7cm ，圆心距O 1O 2=13cm ，AB 是⊙O 1、⊙O 2的外公切线，切点分别为A 、B.求：（1）公切线的长AB ；（2）公切线与连心线的夹角解：连结O 1A 、O 2B ，过O 1作O 1C ⊥O 2B ，C 为垂足 （1）∵AB 是两圆的外公切线，∴O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB. ∴四边形O 1ABC 为矩形.∴O 1C=AB ，O 1A=BC. 在Rt △O 1CO 2中，O 1O 2=13，O 2C=O 2B-O 1A=5,()cmAB cm C O 1212513221=∴=-=∴ （2）∵O 1C//AB ，∴∠O 2O 1C 就是AB 与连心线O 1O 2的夹角.'0122121237223846.0135sin =∠≈==∠C O O O O C O C O O 查表答：公切线的长AB 为12cm ，公切线与连心线的夹角约为22037’.说明：同学们掌握公切线长的求法，内公切线长的求法的辅助线如下：连结O 1A ，O 2B ，作O 1C ⊥O 2B ，C 为垂足 解法与求外公切线的解法相同.3．如图，⊙O 1，⊙O 2外切于P ，AB 是两圆的外公切线，CA 、DB 的延长线交于H. 求证：∠H=900证明一：连结AP ，BP ，过P 作两圆的公切线MP 交AB 于M ∵AB 是两圆的外公切线， ∴MA=MP=MB ， ∴AP ⊥BP ， ∠1+∠2=900∵∠C=∠1，∠D=∠2， ∴∠C+∠D=900 ∴∠H=900证明二：连结O 1A ，O 2B ，O 1P ，O 2P. ∵⊙O 1与⊙O 2外切于P ，∴O 1、P 、O 2三点在一条直线上. ∵AB 是两圆外公切线， ∴O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB. ∴O 1A//O 2B.∴∠O 1+∠O 2=1800 ,O D ,O C 212121∠=∠∠=∠ ∴∠C+∠D=900∴∠H=900说明：两圆相切公切线是一条重要辅助线，图中AP ⊥BP 要会证，会用. 4．两圆内切于点P ，大圆的弦AD 交小圆于点B 及C. 求证：∠APB=∠CPD.证明一：过P 作两圆外公切线MN.则∠D=∠APM ，∠BCP=∠BPM. ∴∠BPM-∠APM=∠BCP-∠D. 即∠APB=∠CPD.证明二：过P 作两圆外公切线MN.连结EF. 则∠D=∠APM=∠EFP EF//AD∴BE=CF.∴∠APB=∠CPD.证明三：过P 作两圆的外公切线MN ，连结BE. 则∠D=∠APM=∠EBP. 又∵∠DCP=∠BEP ， ∴∠APB=∠CPD.说明：此题有多种证法，要学会：用等角的和差证角等（证明一）；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等（证明二）；在两个三角形中，如果有两对角相等，第三个角必相等（证明三）5．如图，O 1N 与⊙O 2切于N ，O 2M 与⊙O 1切于M ，O 1N ，O 2M 分别与⊙O 1，⊙O 2交于A ，B 两点. 求证：AB//O 1O 2证明：连结O 1M ，O 2N.设O 1N ，O 2M 交于P 点. ∵O 1N 与⊙O 2相切， ∴O 2N ⊥O 1N 同理O 1M ⊥O 2M 又∵∠1=∠2⌒ ⌒∴△O 1MP ∽△O 2NP21212122112121O O //AB .B O A O P O P O ,N O B O ,M O A O NO MO P O P O ∴=∴===∴说明：用比例证明平行也是证明两线平行常用的方法.。