中考数学压轴试题复习 第一部分 专题六 因动点产生的相切问题
中考数学复习压轴题冲刺 代几综合题 第七讲 动点产生的相切问题
2021年
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（2）如图 2，当直线 PO 与 C 相切时，设切点为 K， 连接 CK，则 CK OK ．由点 C 的坐标为（－2，－2）， 可得： CO 2 2 ，
y
B •P D
OA
x
•
CK
图2
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例 3．如图，在平面直角坐 标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形 C（注：不 含 AB 线段）．已知 A（ -1 ， 0 ），B（1 ， 0 ），AE∥BF，且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上．
思考问题.
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例1.（湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y 轴于A点，于B、C两点（点B在点 C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．
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【解析】（1）设抛物线解析式为：y=a(x﹣3)2 +4， 将 A（0，﹣5）代入求得：a =﹣1， ∴抛物线解析式为 y =﹣(x﹣3)2 +4=﹣x2 +6x﹣5．
动点产生的相切问题
讲师：苏海涛
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真题展示
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动点产生的 圆的相切问题
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y B
OA
x
•
C
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动点产生的 圆的相切问题
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冲刺满分
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如何解决运动产生的相切问题：
假设相切 是成立的
利用 切线的性质
解题
常用知识：
中考数学压轴题【相切的存在性问题】解题训练卷
中考数学压轴题【相切的存在性问题】解题训练卷一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．例题解析例❶如图1-1，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A、B两点．（1）有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？图1-1【解析】（1）如果⊙P与两坐标轴都相切，那么圆心P到两坐标轴的距离相等．画直线y＝x和y＝－x，四个圆心P就都找到了，如图1-2，图1-3．其实求半径r，只需一个图就可以了，⊙P的半径为r＝|x|．（2）要判断⊙P与y轴相离、相交，先找到临界位置⊙P与y轴相切，此时x＝1或x＝－1．如图1-4，可以想象，当圆心P在x轴下方时，⊙P与y轴相交，此时－1≤y P＜0；当圆心P在x轴上方时，⊙P与y 轴相离，此时y P＞0．图1-2 图1-3 图1-4例❷如图2-1，△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高．如图2-1，A在原点处，点B 在y轴的正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动．当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．图2-1 图2-2【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中．（1）如图2-3，画x轴，取点A；作CA⊥x轴，且CA＝5；以CA为半径画⊙C，以A为圆心，8为半径画弧，产生点B．如图2-4，过点B画y轴．在Rt△AOB中，已知AB和∠1，求得OA＝t＝4.8．（2）如图2-5，先画y轴和点B，产生点A后再画x轴．求得OA＝t＝6.4．图2-3 图2-4 图2-5例❸如图3-1，A(－5,0)，B(－3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值．图3-1【解析】我们先根据“d＝r”讲解题策略．如图3-2，动点P到切线BC的所有垂线段中，哪条等于半径PC？此时P(3, 0)，t＝1．如图3-3，动点P到切线DC的所有垂线段中，半径PC是哪条？此时P(0, 0)，t＝4．如图3-4，动点P到切线AD的距离就是PA，PA与半径PC相等，点P在AC的垂直平分线上，此时在Rt△PCO中，由勾股定理解得AP＝3.6，所以QP＝5.4，t＝5.4.图3-2 图3-3 图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中．如图3-5，经过切点C 画切线BC 的垂线，与x 轴的交点就是P (3, 0)．如图3-6，经过切点C 画切线DC 的垂线，与x 轴的交点就是P (0, 0)．如图3-7，已知圆上两点A 和C ，画AC 的垂直平分线，与x 轴的交点就是P ．图3-5 图3-6 图3-7例❹ 如图4-1，已知抛物线y ＝mx 2＋bx ＋c (m ＞0)经过A (1, 0)、B (－3,0)两点，顶点为P ，与y 轴交于点D ．⊙C 的直径为A 、B ，当m 为何值时，直线PD 与⊙C 相切？图4-1【解析】由y ＝m (x －1)(x ＋3)，可得D (0,－3m )，P (－1,－4m )．⊙C 的半径为2，切线PD 随m 变化．如图4-2，先假设切点为E ，那么∠CPE ＝∠PDF ．由sin ∠CPE ＝sin ∠PDF ，得CE PF CP PD=．解方程24m =，得m =．所以当m =时，直线PD 与⊙C 相切． 事实上，此时直线PD 与⊙C 相切于点D ，∠PCD ＝30°（如图4-3）．图4-2 图4-3例❺ 如图5-1，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝18，54sin =∠BCD ，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果⊙P 的半径为6，⊙Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时⊙P 与⊙Q 外离、外切、相交？图5-1【解析】对于⊙P ，R ＝6；对于⊙Q ，r ＝4．圆心距d ＝PQ 怎么表示呢？如图5-2，PQ 2＝QH 2＋PH 2＝82＋(12－5t )2．当两圆外切时，由d ＝R ＋r ＝10，得d 2＝102．解方程82＋(12－5t )2＝102，得t ＝1.2（如图5-3），或t ＝3.6（如图5-4）．现在，我们想象两圆的运动过程，从外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结论：当0≤t ＜1.2和3.6＜t ≤6时，两圆外离；当1.2＜t ＜3.2时，两圆相交．图5-2 图5-3 图5-4例❻如图6-1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝3厘米，⊙O为△ABC的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若⊙P与⊙O相切，求t的值．图6-1【解析】如图6-2，⊙O的半径r＝1（厘米）．对于⊙O，r＝1；对于⊙P，R＝t；圆心距d＝OP在Rt△POH中解决（如图6-3）．由OP2＝OH2＋PH2＝12＋(2－t)2，得d＝OP当⊙P与⊙O外切时，由d＝R＋r1t+．解得23t=（如图6-4）．当⊙P与⊙O内切时，由d＝|R－r||1|t-．解得t＝2（如图6-5）．图6-2 图6-3 图6-4 图6-5例❼ 如图7-1，已知直线l ：443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴正半轴上的一点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，求圆心C 的坐标．图7-1【解析】先确定⊙C 与直线l 相切，再解方程⊙C 与⊙O 相切．如图7-2，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．设BC ＝5m ，半径CD ＝3m ．对于⊙O ，r ＝1；对于⊙C ，R ＝3m ；圆心距d ＝OC ＝OB －BC ＝4－5m ．当两圆外切时，R ＋r ＝d ．解方程3m ＋1＝4－5m ，得38m =．此时17(0,)8C （如图7-3）． 当两圆内切时，R －r ＝d ．解方程3m －1＝4－5m ，得58m =．此时7(0,)8C （如图7-4）．图7-2 图7-3 图7-4例❽如图8-1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，∠BDE＝∠A，以点D为圆心，DC的长为半径作⊙D．设BD＝x．（1）当⊙D与边AB相切时，求x的值；（2）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当⊙D与⊙E相切时，求x的值．图8-1 【解析】如图8-2，AB＝AC和∠BDE＝∠A，隐含了△ABC∽△DBE，DB＝DE＝x．（1）如图8-3，当⊙D与边AB相切时，d＝r，解DH＝DC就可以了．解方程465x x=-，得103x=．（2）对于⊙D，R＝DC＝6－x；对于⊙E，r＝AE＝AB－BE＝655x -；圆心距d＝DE＝DB＝x．当两圆外切时，由d＝R＋r，得6(6)(5)5x x x-+-+=．解得5516x=（如图8-4）．当两圆内切时，由d＝R－r，得6(6)(5)5x x x---+=．解得54x=（如图8-5）．图8-2 图8-3 图8-4 图8-5例❾如图9-1，一个Rt△DEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB＝12，DE＝4，DF＝3．如图9-2，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP的中点．同时Rt△DEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点D运动到点A时，两个运动都停止．在运动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由．图9-1 图9-2【解析】这道题目我们讲画图的策略．注意到AQ＝BD＝t．①如图9-3，画∠CAM＝∠CAB；在射线AM上取一点D，过点D作AM的垂线；画直角的平分线产生点Q；在点D右侧截取DB＝AQ．作QH⊥AM于H，以QH为半径的⊙Q符合题意．由QH＝DH，得391255t t=-．解得t＝5．②过点D画直角的平分线还有图9-4的情形，此时DH＝9125t-．解方程931255t t-=，得t＝10．从上面的过程我们可以体验到，画图与点P无关，与△DEF无关．我们去伪存真，∠A的大小确定，以D为顶点构造直角，作直角的平分线产生点Q，截取得到点B就可以了．图9-4 图9-5。
挑战中考数学压轴题(全套含答案)之欧阳术创编
第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题例18 2016年重庆市中考第25题§1．3因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例34 2014年怀化市中考第24题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例52 2015年岳阳市中考第24题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例26 2016年苏州市中考第9题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例44 2016年烟台市中考第18题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE=AC DF和AB DF=两种情况列方程．AC DE应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x 之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y ＝a(x ＋3)(x －1)．代入点C(0,－3m)，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m(x ＋3)(x －1)＝mx2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C(0,－6)，y ＝2x2＋4x －6，那么P(x, 2x2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x2＋4x －6)＝－3x2－6x ＋9，S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274． 图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m(x ＋3)(x －1)＝m(x ＋1)2－4m ，得D(－1,－4m)． 在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB=．所以△CDA ∽△OBC ．②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得22m =． 此时222DA FD DC EC m ===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似．综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H(x,－2x －6)．又因为P(x, 2x2＋4x －6)，所以HP ＝－2x2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH ＝32(－2x2－6x) ＝23273()24x -++． 图6 例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP ＝x ．2·1·c·n·j·y（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S1、S2，若S ＝S1＋S2，求S 的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，圆心O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段．观察S 随点P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P 看上去象是AB 的中点，其实离得很近而已． 思路点拨1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上．而BP 与AP 是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S 的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH ⊥AB 于H ，那么AD ＝CH ．在Rt △BCH 中，∠B ＝60°，BC ＝4，所以BH ＝2，CH ＝AD ＝（2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB ＝90°时，AP ＝10－2＝8．所以APAD ，而PC PB △APD 与△PCB 不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．所以APAD ∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ． 在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m)＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM 1)m -． 所以OB2＝BM2＋OM2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S ＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2) ＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π． 图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m)－4＝1－m ．此时OB2＝BM2＋OM2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE//y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF//y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF//PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ． 分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，APAQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QPA ＝90°时，AQt (3－t)，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF ，当EF//PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以yE －yP ＝yF －yQ ．因为xP ＝t ，xQ ＝3－t ，所以yE ＝3－t ，yQ ＝t ，yF ＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t ．因为yE －yP ＝yF －yQ ，解方程3－t ＝(－t2＋4t)－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能：①当BMOB BQ OP =3t=．解得94t =（如图5）．②当BMOPBQ OB =3t =．整理，得t2－3t ＋3＝0．此方程无实根．考点伸展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A(0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax2．所以b ＝0，c ＝0． 将1)16代入y ＝ax2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知A(0, 2)，所以PA =214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝22．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x =+==+ 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝此时x ＝OH ＝22．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x =-=-=- 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为4-图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B(0, 1)，所以2114PB x ===+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形． 图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B(10, 0)两点，设y ＝ax(x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MAMEMF MA =．所以ME·MF ＝MA2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =．③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC 保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn ＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB=．OA OC所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得4n=-（如3图2）．②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．③当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得n=（如图4），或n=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n ＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC时，四边形PQP′C是菱形．思路点拨1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示．2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝35，cosA＝45．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sinA＝35t．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --． 当52t =时，S 取得最大值，最大值为158． （2）设PP′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝APcosA ＝4(5)5t -． 如果四边形PQP′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ． 解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =． 图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =． 图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP′C 的重心，那么QC ＝23HC ．解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =． 图8例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A→B→C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长． 图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10． 如图2，当点Q 在AB 上时，作BD//PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ//BD ．所以PQ 的最大值就是BD ．在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是． 图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQP ABD S AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -， 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP//BD ，得QP APBD AD =5t =．所以QP =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝＝分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程8t -=，得10t =≈3.4（如图5所示）．②当QC ＝QP 时，=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）．③当CP ＝CQ 时，8t -=25160t t -=． 解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）．综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q在AB上时，PQ．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为②如图9，当点Q在BC上时，PQ)t-．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．综上所述，PQ的最大值为§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB。
常考压轴06 动点问题-2020年中考数学特训营(解析版)
【十大常考压轴题特训】特训06——动点问题题量﹕10题；分值﹕每小题10分，共计100分；推荐时间﹕45分钟问题1．（2019 湖南省衡阳市）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以l cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝12AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6＋t＝2（6﹣t），∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝12∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣12t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK＋DK＝12（AK＋CK）＝12AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝AB2－BM2＝33，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥33﹣3，∴AB′的最小值为33﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．问题2．（2019•吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q 从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作□PQMN．设□PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当□PQMN 为矩形时，求t 的值；（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，直接写出t 的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN ． （2）当□PQMN 为矩形时，由PN ⊥AB 可知PQ ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理可得CP CA ＝CQBC，即可计算出t 的值．（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．□PQMN 在三角形内部时，Ⅱ．□PQMN 有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN 的中点，Ⅱ．过QM 的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值． 【解答】（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝15． ∴AB ＝AC 2＋BC 2 ＝ 202＋152 ＝25．∴sin ∠CAB ＝35,由题可知AP ＝5t ，∴PN ＝AP •sin ∠CAB ＝5t ·35＝3t ．故答案为：①25；②3t ．（2）当□PQMN 为矩形时，∠NPQ ＝90°， ∵PN ⊥AB ， ∴PQ ∥AB ， ∴CP CA ＝CQ BC， 由题意可知AP ＝CQ ＝5t ，CP ＝20﹣5t ， ∴20－5t 20＝5t15， 解得t ＝127，即当□PQMN 为矩形时t ＝127． （3）当□PQMN △ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．□PQMN 在三角形内部时．延长QM 交AB 于G 点， 由（1）题可知：cos A ＝sin B ＝45，cos B ＝35，AP ＝5t ，BQ ＝15﹣5t ，PN ＝QM ＝3t ．∴AN ＝AP •cos A ＝4t ，BG ＝BQ •cos B ＝9﹣3t ，QG ＝BQ •sin B ＝12﹣4t ， ∵．□PQMN 在三角形内部时．有0＜QM ≤QG ， ∴0＜3t ≤12﹣4t ， ∴0＜t ≤127∴NG ＝25﹣4t ﹣（9﹣3t ）＝16﹣t ．∴当0＜t ≤127时，□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为□PQMN ，S 与t 之间的函数关系式为S ＝PN •NG ＝3t •（16﹣t ）＝﹣3t 2＋48t ．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG ＜QM ，□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 时， 即：0＜12﹣4t ＜3t ，解得：127≤ t ＜3, □PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 的面积S ＝12NG (PN ＋QG )＝12(16－t )(3t ＋12－4t )＝ 12t 2－14t ＋96综上所述：当0＜t ≤127时，S ＝﹣3t 2＋48t ．当127 ≤ t ＜3，S ＝12t 2－14t ＋96． （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR ∥BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH ⊥AB ， ∴∠PKN ＝∠HKR ＝∠B ， NK ＝PN •cot ∠PKN ＝3t · 34＝9t4，∵NR ＝MR ，HR ∥PN ∥QM ， ∴NH ＝GH ＝12(16－t )，HR ＝12GM ,∴GM ＝QM ﹣QG ＝3t ﹣（12﹣4t ）＝7t ﹣12．HR ＝12GM ＝12(7t －12)．∴KH ＝HR •cot ∠HKR ＝12(7t －12) × 34 ＝38(7t －12)∵NK ＋KH ＝NH ， ∴94t ＋38(7t －12)＝12(16－t )解得：t＝100 34，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝3t2·35＝9t10∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝9t10，解得t＝59 200．综上所述：当t＝10034或59200时，点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．问题3．（2019•吉林省）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A 同时出发，点P以 2 cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝54cm时，直接写出x的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝AB2＋BE2＝32cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：32，45（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝2x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝12×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝12x2＋12（2x﹣4＋x）（4﹣x）＝﹣x2＋8x﹣8当3＜x≤72时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3＋4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm∴y＝12（1＋4）×3﹣12（7﹣2x）×1＝x＋4（3）当0＜x≤2时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD ∴PQ＝AP∵PQ＝54cm∴ 2 x＝5 4∴x＝52 8当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD∴四边形MPFD是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2＋MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x ）2＋（4﹣x ）2＝2516∵△＜0 ∴方程无解 当3＜x ≤72时，∵PQ 2＝CP 2＋CQ 2， ∴2516＝1＋（7﹣2x ）2， ∴x ＝258综上所述：x ＝258或528【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．问题4．（2019•江苏省苏州市）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图②所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm .①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.5【分析】（1）由题意得t ＝2.5时，函数图象发生改变，得出t ＝2.5时M 运动到点B 的速度为2cm/s ；由t ＝7.5，S ＝0得出BC ＝10；（2）由题意得出当在C 点相遇时，v ＝23，当在B 相遇时， v ＝6即可得出答案．过点P 作EF ⊥ AB 于F ，交CD 于E ，则EF //BC ，由平行可得出AF AB ＝APAC，从而可得出AF ＝2，DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，再由勾股定理可得出EP ＝6，求出S 1和S 2的表达式，从而可得出最终答案． 【解答】（1）2cm/s ；10cm（2）①解：∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧5 v ＜7.5在C 点15 v ≥2.5在B 点 ∴23cm/s ＜v ≤ 6cm/s ②如右图S 1· S 2＝S 矩形ABCD －S △P AD －S △CDM －S △ABM ＝75－10－5×(15－2x )2－5×(2x －5)2＝15过M 点做MH ⊥AC ，则MH ＝12CM ＝15－2x 5∴S －1＝12 MH ·AP ＝－2x ＋15∴S 2＝2xS 1·S 2＝(－2x ＋15)·2x ＝－4x 2＋30x ＝－4⎝⎛⎭⎫x －1542＋2254因为2.5＜154＜7.5,所以当x ＝154时，S 1·S 2取最大值2254.10515-2x2x-5H PBCDA M (N )【点评】本题是四边形与动点的综合问题，综合性较强，有一定难度，正确理解函数图象上的拐点的意义是解题的关键．问题5．（2019•江苏省扬州市）如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角△GDC ，∠G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ∥A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．①如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ②在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【分析】（1）①P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可； ②当P ，在AD 上运动时，P 到D 点时四边形AMQP 面积最大，为直角梯形，得出0＜x ≤10时，四边形AMQP 面积的最大值＝12（12＋20）10＝160，当P 在DG 上运动，10＜x ≤20，四边形AMQP 为不规则梯形，作PH ⊥AB 于M ，交CD 于N ，作GE ⊥CD 于E ，交AB 于F ，则PM ＝x ，PN ＝x ﹣10，EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝12CD＝10，得出GF＝GE＋EF＝20，GH＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积＝12（12＋40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）2＋169，由二次函数的性质即可得出结果；（2）P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝12（a＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋40＋a2x，对称轴x＝10＋a4，得出10≤10＋a4≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x≤20，二次函数图象开口向下，当x＝20时，S最小，得出﹣202＋40＋a2×20≥50，a≥5；即可得出答案．【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝12（12＋20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝12（12＋20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，∵△GDC是等腰直角三角形，∴DE＝CE，GE＝12CD＝10，∴GF＝GE＋EF＝20，∴GH＝20﹣x，由题意得：PQ∥CD，∴△GPQ∽△GDC，∴PQDC＝GHGE，即PQ20＝20－x10，解得：PQ＝40﹣2x，∴梯形AMQP的面积＝12（12＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋26x＝﹣（x﹣13）2＋169，∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P 在DG 上，则10≤x ≤20，AM ＝a ，PQ ＝40﹣2x ，梯形AMQP 的面积S ＝12（a ＋40﹣2x ）×x ＝﹣x 2＋40＋a 2x ，对称轴为：x ＝10＋a4，∵0≤x ≤20，∴10≤10＋a4≤15，对称轴在10和15之间，∵10≤x ≤20，二次函数图象开口向下， ∴当x ＝20时，S 最小， ∴﹣202＋40＋a2×20≥50，∴a ≥5；综上所述，a 的取值范围为5≤a ≤20．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．问题6．（2019 宁夏回族自治区）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ABC ∆∆∽；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【分析】（1）根据题意得到∠MQB＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．【解答】（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN//BQ，BQ＝MN，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝AB2＋AC2＝5，∵△QBM∽△ABC，∴QBAB＝QMAC＝BMBC，即x3＝QM4＝BM5，解得，QM＝43x，BM＝53x，∵MN//BC，∴MNBC＝AMAB，即MN5＝3－53x3解得，MN＝5－259x，则四边形BMNQ的面积＝12×⎝⎛⎭⎫5－259x＋x×43x＝－3227⎝⎛⎭⎫x－4582＋752，∴当x＝458时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为752．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．问题7．（2019•山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出ECOC＝GQOG，由此构建方程即可解决问题．【解答】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝102－82＝6(cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO，∵∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴ACOC＝ABCD＝BCOD，∴63＝10CD＝8OD'∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），∵PB＝t，PE⊥AB，易知：PE＝34t，BE＝54t，当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴34t＝8﹣54t，∴t＝4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，P C．S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）＝12•（4﹣45t）•3＋[12•3•（8﹣45t）＋12•（8﹣54t）•35t﹣12•3•（8﹣54t）＝﹣83t2＋153t＋16（0＜t＜5）．（3）存在．∵S＝﹣83（t﹣52）2＋683（0＜t＜5），∴t＝52时，四边形OPEG的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴∠EOC＋∠QOC＝90°，∵∠QOC＋∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴ECOC＝GQ OG，∴8－54t3＝35t4－45t整理得：5t 2﹣66t ＋160＝0， 解得t ＝165或10（舍弃） ∴当t ＝165秒时，OE ⊥OQ ．【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．问题8．（2019•山东省烟台市）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A （－1，0），B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ．双曲线y ＝6x（x ＞0）经过点D ，连接MD ，B D ． （1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）yxBAMECDOyx备用图B AME CDO【分析】由已知求出点D 的坐标，将A 、D 坐标代入即可；作M 关于纵轴的对称点M '，作D 关于横轴的对称点D ’，连接这两个点分别交x ,y 轴于N 、F ，则以M 、N 、N 、F 为顶点的四边形周长最小即为M 'D '＋MD ；设P 点坐标，作△PBD 的外接圆N ，当⊙N 与y 轴相切时，∠BPD 的度数最大． 【解答】（1）由题意知C 的坐标为（0，3），则D 点的纵坐标为3． 把y ＝3代入y ＝6x ，得x ＝2． ∴D 的坐标为（2，3）．把A （－1，0），D （2，3）的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎨⎧0＝a －b ＋33＝4a ＋2b ＋3 解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．∴顶点M 的坐标为（1，4）． 设M 关于y 轴的对称点为M ′，则M ′的坐标为（－1，4）． 同理D 点关于x 轴对称点的坐标D ′的坐标为（2，－3）． 设直线M ′D ′为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧4＝－k ＋b －3＝2k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－73b ＝53 ∴直线M ′D ′的表达式为y ＝－73 x ＋53．直线M ′D ′交x 轴于点（57 ，0），交y 轴于点（0，53）．∴当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，点N 的坐标为（57 ，0），F 的坐标（0，53 ）．（3）（3）t ＝9－215．（解析：过B 、D 两点的圆，当圆与y 轴相切时，切点即为点P ． 设圆心的坐标为（a ，b ），则由勾股定理定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝(a －2)2＋(b －3)2a 2＝(a －3)2＋b 2 解得b ＝9 ±215 （由题意，取较小值）． 所以当t ＝9－215时，∠BPD 的度数最大． 【点评】本题考查了二次函数与动点结合的问题，利用动点的运动很好地考查了学生运用运动变化的观点分析问题和解决问题的能力．本题难度较大，综合性很强．属于中考中典型的压轴题．问题9．（2019•四川省绵阳市）如图，在以点O 为中心的正方形ABCD 中，AD ＝4，连接AC ，动点E 从点O 出发沿O →C 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF＝2t，证明△AEF∽△ADG可得AG＝42t22+t，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段FGDG=AFCD，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；（3）由（2）知EG＝t2+822+t，过点F作FK⊥AC于点K，根据S△EFG＝12EG·FK即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t，又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG，∴AG · AE=AD · AF=42t，又∵AE＝OA＋OE＝22＋t，∴AG=42t22+t，∴EG＝AE－AG＝t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE＋∠HFE＝45°＋45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDG=AFCD=2t4，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1＝10 - 2 ，t2＝10 + 2 （舍去），∴EG＝EH＝t2+822+t =(10 -2) 2+822+10-2=310-5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG＝t2＋822＋t，∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S△EFG＝12EG·FK＝t3＋8t 42＋2t【点评】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．问题10．（2019•天津市）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S ．①如图②，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当3≤S ≤53时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝43，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，得出∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME '2 ＝ (2t )2－t 2 ＝3t ，求出S △MFE ′＝12ME ′•FE ′＝12×t ×3t ＝32t 2，S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×43＝83，即可得出答案； ②当S ＝3时，O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，由直角三角形的性质得出O 'F ＝3O 'A ＝3（6﹣t ），得出方程，解方程即可；当S ＝53时，O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，由直角三角形的性质得出O 'G ＝3（6﹣t ），D 'F ＝3（4﹣t ），由梯形面积公式得出S ＝12[3（6﹣t ）＋3（4﹣t ）]×2＝53，解方程即可． 【解答】（Ⅰ）∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，ED ＝AE 2－AD '2 ＝ 82－42 ＝43，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，43）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME '2 ＝ (2t )2－t 2 ＝ 3t ，∴S △MFE ′＝12ME ′•FE ′＝12×t ×3t ＝32t 2，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×43＝83，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝83﹣32t 2，∴S ＝﹣32t 2＋83，其中t 的取值范围是：0＜t ＜2；②当S ＝3时，如图③所示：O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，∵∠AO 'F ＝90°，∠AFO '＝∠ABO ＝30°，∴O 'F ＝3O 'A ＝3（6﹣t ）∴S ＝12（6﹣t ）×3（6﹣t ）＝3，解得：t ＝6﹣2，或t ＝6＋2（舍去），∴t ＝6﹣2；当S ＝53时，如图④所示：O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，∴O 'G ＝3（6﹣t ），D 'F ＝3（4﹣t ），∴S ＝12 [3（6﹣t ）＋3（4﹣t ）]×2＝53，解得：t ＝52，∴当3≤S ≤53时，t 的取值范围为52≤t ≤6﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．。
中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]
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因动点产生的相似三角形问题例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3B Q B A =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13B Q B A=时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110∠=．①当3B Q B A=时，310B Q =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13B Q B A=时，1103B Q =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2（2011年上海市杨浦区中考模拟第24题）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x =≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F（0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当E A EF A O F P =时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当E A F P A OE F=时，2525F P =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图5例3（2010年义乌市中考第24题）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4G A F ∠=，tan 5DQ t PQD QPt∠==-，所以345t t=-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4（2010年上海市宝山区中考模拟第24题）如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45． 如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B MB A=，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''A B B C A C B D =时，55'35B D=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''A B B D A CB C=时，5'355B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△ABB ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5（2009年临沂市中考第26题）如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAO PMAM ，那么214)4)(1(21=----xx x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xx x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m mn ，所以m m S 42+-=．例6（2009年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310A HA B=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以A B A CD BE C=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以D E A EB C A C=，M N A NB C A C=，即|3|53D E x-=，1|3|253xM N-=．因此5|3|3xD E-=，圆心距5|6|6xM N-=．图2 图3 图4在⊙M中，115226Mr B D y x===，在⊙N中，1122Nr C E x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xD E-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xD E-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xD E-==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534B F =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例7（2008年杭州市中考第24题）如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB tb ，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA ttb ==．即22b t t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2O A A B O O B∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．。
中考压轴圆综合,6.相切问题-教师版
因动点产生的相切问题例 1 如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．（1）当1tan 2A =时，求AP 的长；（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32．解得355m =．所以125245AP AH m ===． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径． 在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3． 由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．例2 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，43t=+；如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，433t=+．图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6例3 如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图一答案 （1）因为2AQ tAB=，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-． 如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点． 当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图5因动点产生的线段和差问题例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1)7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝53．当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案 （1）212y x x =-+。
2019-中考数学压轴题：因动点产生的相切问题
2019-2020 年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题如图 1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上必然点，点P为⊙O上不同样于点A 的动点．（ 1）当tan A 1时，求 AP的长；2（ 2）若是⊙Q 过点、，且点Q在直线上（如图2），设＝，＝，求y关于P O AP AP x QP yx的函数关系式，并写出函数的定义域；（ 3）在（ 2）的条件下，当tan A 4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q 3相外切，且OM⊥ OQ，试求⊙ M的半径的长．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在⊙ O上运动，能够体验到，等腰三角形 QPO与等腰三角形OAP保持相似， y 与 x 成反比率．⊙ M、⊙ O和⊙ Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在⊙ O上运动，能够体验到，y 与 x成反比率．拖动点P 使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为，⊙M与⊙O相内切，2同时与⊙ Q相外切．拖动点P 使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙2Q都内切．思路点拨1．第（ 1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（ 2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（ 3）题先把三个圆心距摆列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，依照勾股定理列方程．满分解答（ 1）如图 4，过点 O 作 OH ⊥ AP ，那么 AP ＝2AH ．在 Rt △ OAH 中， OA ＝ 3， tan A 1，设 OH ＝ m ， AH ＝ 2m ，那么 m ＋ (2 m ) ＝ 3 ．2222解得 m 35．因此 AP 2AH4m12 5．55（ 2）如图 5，联系 OQ 、 OP ，那么△ QPO 、△ OAP 是等腰三角形．又因为底角∠ P 公用，因此△ QPO ∽△ OAP ．因此 QP OP，即y3 ．POPA3 x由此获取 y9．定义域是 0＜ x ≤ 6．x图 4图 5（ 3）如图 6，联系，作的垂直均分线交AP 于 ，垂足为 ，那么 、 是⊙OPOPQDQPQOQ的半径．在 Rt △ QPD 中， PD1PO3 ，tan P tan A4，因此QP5 ．2 232如图 7，设⊙ M 的半径为 r ．由⊙ M 与⊙ O 内切， r O 3 ，可得圆心距 OM ＝ 3－r ．由⊙ M与⊙ Q外切，r QP 5，可得圆心距QM5r．Q22在 Rt△QOM中，QO 5， OM＝3－ r ，QM5r ，由勾股定理，得22( 5r)2(3 r) 2(5)2．解得r9 ．2211图6图7图8考点伸展如图 8，在第（ 3）题情况下，若是⊙M与⊙ O、⊙ Q都内切，那么⊙M的半径是多少？同样的，设⊙ M的半径为 r ．由⊙ M与⊙ O内切，r O 3 ，可得圆心距OM＝ r －3．由⊙ M与⊙ Q内切，r Q QP 5，可得圆心距QM r 5 ．22在 Rt△QOM中，由勾股定理，得(r5)2(r 3) 2(5)2．解得 r ＝9．22例 2 2012年河北省中考第25 题如图 1，A( － 5,0) ，B( － 3,0) ，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°， CD// AB，∠ CDA＝90°．点P 从点 (4,0)出发，沿x轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为t Q秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙ P 与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心P在点 Q左侧运动，能够体验到，⊙P 能够与直线BC、直线 DC、直线 AD相切，不能够与直线AB相切．答案（ 1）点C的坐标为 (0,3) ．（ 2）如图 2，当P在B的右侧，∠BCP＝ 15°时，∠PCO＝ 30°，t 4 3 ；如图 3，当P在B的左侧，∠BCP＝ 15°时，∠CPO＝ 30°，t 4 3 3 ．图2图3（3）如图 4，当⊙P与直线BC相切时，t＝ 1；如图 5，当⊙P与直线DC相切时，t＝ 4；如图 6，当⊙P与直线AD相切时，t＝ 5.6 ．图4图5图6例 3 2012年无锡市中考模拟第28 题如图 1，菱形ABCD的边长为 2 厘米，∠DAB＝ 60°．点P从A出发，以每秒 3 厘米的速度沿AC向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q也从点 A出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动．当点 P 到达点 C时， P、 Q都停止运动．设点P运动的时间为t 秒．（ 1）当P异于A、C时，请说明PQ// BC；（ 2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P由 A 向 C运动，能够体验到，⊙P 与线段 BC的地址关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，订交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P由 A 向 C运动，能够体验到，⊙P 与线段 BC的地址关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，订交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案（ 1）因为AQt ， AP3t t ，因此 AQAP．因此 PQ// BC．AB2AC 2 32AB AC（ 2）如图2，由PQ＝PH＝1PC，得t1(2 33t)．解得 t 4 3 6 ．22如图 3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．因此 Q是 AB的中点， t ＝1．如图 4，由＝，得t233t ．解得t 33．PQ PC如图 5，当P、C重合时，t＝ 2．因此，当 t 4 3 6或 1＜t≤3 3 或 t ＝2时，⊙ P 与边 BC有1个公共点．当 4 36＜ t ≤1时，⊙ P 与边 BC有2个公共点．图2图3图4图5。
2019届中考数学压轴题精练：因动点产生的相切问题(含2019试题,含详解)
因动点产生的相切问题例 1 2019年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点． （1）当1tan 2A =时，求AP 的长；（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到，等腰三角形QPO 与等腰三角形OAP 保持相似，y 与x 成反比例．⊙M 、⊙O 和⊙Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到， y 与x 成反比例．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为0.82，⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为9，⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切． 思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程． 满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m)2＝32．解得355m =．所以125245AP AH m ===． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA =，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？ 同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3．由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．例2 2019年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD//AB ，∠CDA ＝90°．点P 从点Q(4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．（1）求点C 的坐标；（2）当∠BCP ＝15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P 在点Q 左侧运动，可以体验到，⊙P 可以与直线BC 、直线DC 、直线AD 相切，不能与直线AB 相切．答案 （1）点C 的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P 在B 的右侧，∠BCP ＝15°时，∠PCO ＝30°，43t =+；如图3，当P 在B 的左侧，∠BCP ＝15°时，∠CPO ＝30°，433t =+．图2 图3（3）如图4，当⊙P 与直线BC 相切时，t ＝1； 如图5，当⊙P 与直线DC 相切时，t ＝4； 如图6，当⊙P 与直线AD 相切时，t ＝5.6．图4 图5 图6例3 2019年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ//BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图一 动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案 （1）因为2AQ t AB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ//BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-．如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1． 如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点．当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图5。
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§1．6 因动点产生的相切问题
课前导学
一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．
解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．
第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．
二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．
解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．
第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．
如图1，直线
4
4
3
y x
=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y
轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．
假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．
罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．
分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．
把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．
相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．
图1
例 42 2014年湖南省衡阳市中考第27题
如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，
以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线
3
4
y x
=以每秒0.6个单位长
度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP 是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．
思路点拨
1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．
2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．
3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．
图文解析
（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为
3
3
4
y x
=+．
所以直线AB//CD．
在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四边形ACDP总是平行四边形．
（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．
所以4－0.8t＝t．解得t＝20
9
．
此时OD ＝0.6t ＝
43．所以BD ＝433-＝53
． 作DE ⊥AB 于E ．
在Rt △BDE 中，sin B ＝
45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝4
3
． 因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径．
所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．
图2 图3
考点伸展
在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？
S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝43(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125
()3252
t --+．
当5
2
t =时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3．
此时点P 是AB 的中点（如图5）．
图4 图5
例 43 2014年湖南省株洲市中考第23题
如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．
（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；
（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A 在圆上运动，可以体验到，当点A 在直线AB 与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB 与圆有一个交点．还可以体验到，当AO ⊥PM 时，NO 、MQ 是中位线，此时等腰三角形AOM 的高MN 是确定的． 思路点拨
1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．
2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了． 图文解析
（1）如图4，连结OA ．
当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，OA ⊥AB ，A 为切点．
此时在Rt △AOB 中，OA ＝1，OB ＝2，所以AB ABO ＝30°．
此时等边三角形ABC 3
602
︒=，所以S △ABC
（2）0°≤α≤60°．
（3）如图5，连结MQ ，那么∠PMQ ＝90°． 当AO ⊥PM 时，AO //MQ ．
由于Q 是OB 的中点，所以1
2MQ AO =
，M 是AB 的中点．所以CM ⊥AB ． 由于O 是PQ 的中点，所以12NO MQ =．所以111
244
NO MQ AO ===．
如图6，连结MO ．在Rt △OMN 中，14NO =，MO ＝1，所以MN 2
＝1516
．
在Rt △AMN 中，AM 2＝AN 2＋MN 2
＝2315243
()416162+
==．所以AM
于是在Rt △CAM 中，CM 2＝2
．
图4 图5 图6
考点伸展
第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ． 如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．
如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．
图7 图8 图9。