2016高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》综合素质检测

第一章综合素质检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每个小题5分,共60分,每小题给出的四个备选答案中,有且仅有一个就是符合题目要求的)1、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( ) A 、6 B 、2 C 、3 D 、 2[答案] D[解析] 在△ABC 中,由正弦定理,得sin C ＝c sin Bb＝2×326＝12, 又∵B ＝120°,∴C 为锐角, ∴C ＝30°,∴A ＝30°,∴a ＝c ＝2、2、在△ABC 中,若AB ＝3－1,BC ＝3＋1,AC ＝6,则B 等于( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、120°[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12,∴B ＝60°、3、在△ABC 中,A ＝45°,AC ＝4,AB ＝2,那么cos B ＝( ) A 、31010B 、－31010C 、55D 、－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10,∴BC ＝10, cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55、4、在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,c cos A ＝b ,则△ABC ( ) A 、 一定就是锐角三角形B 、一定就是钝角三角形C 、一定就是斜三角形D 、一定就是直角三角形[答案] D[解析] 解法一:∵c cos A ＝b , ∴sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C , ∴sin A cos C ＝0,∵sin A ≠0,∴cos C ＝0,又0<c <π, ∴C ＝π2,故选D 、解法二:由余弦定理,得 c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ,∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2,即a 2＋b 2＝c 2,故△ABC 就是直角三角形、5、从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为( ) A 、α>β B 、α＝β C 、α＋β＝90° D 、α＋β＝180° [答案] B[解析] 仰角与俯角都就是水平线与视线的夹角,故α＝β、6、在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别就是a 、b 、c ,已知8b ＝5c ,C ＝2B ,则cos C ＝( ) A 、725B 、－725C 、±725D 、2425[答案] A [解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ,C ＝2B 得,5c sin2B ＝8c sin B ,∴cos B ＝45,∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725、7、△ABC 的三边分别为2m ＋3,m 2＋2m ,m 2＋3m ＋3(m >0),则最大内角度数为( ) A 、150° B 、120° C 、90° D 、135°[答案] B[解析] 解法一:∵m >0,∴m 2＋3m ＋3>2m ＋3, m 2＋3m ＋3>m 2＋2m 、故边m 2＋3m ＋3对的角为最大角,由余弦定理, cos θ＝(2m ＋3)2＋(m 2＋2m )2－(m 2＋3m ＋3)22(2m ＋3)(m 2＋2m ) ＝－12,∴θ＝120°、解法二:特值法、取m ＝1,则三边长为5,3,7 ∴cos θ＝52＋32－722×5×3＝－12,∴θ＝120°、8、在△ABC 中,关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实数根,则A 为( )A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、不存在[答案] A[解析] 把已知方程整理得(sin A －sin C )x 2＋2sin B ·x ＋(sin A ＋sin C )＝0, Δ＝4sin 2B －4(sin A －sin C )(sin A ＋sin C )＞0, 即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＞0、∴b 2＋c 2－a 2＞0,∴cos A ＞0,可知A 为锐角、9、若△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4,且∠C ＝60°,则ab 的值为( )A 、43B 、8－4 3C 、1D 、23[答案] A[解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4、① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C , ∴方程①化为2ab (1＋cos C )＝4, ∴ab ＝21＋cos C、又∵∠C ＝60°,∴ab ＝43、10、在△ABC 中,a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ,则△ABC 一定就是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形[答案] B[解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得:cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,∴∠C ＝60°,又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab , ∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ,得2a 2＋2b 2－5ab ＝0, 即a ＝2b 或b ＝2a 、当a ＝2b 时,代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2; 当b ＝2a 时,代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2、 故△ABC 为直角三角形、11、在△ABC 中,若|AB →|＝2,|AC →|＝5,AB →·AC →＝－5,则S △ABC ＝( ) A 、532B 、 3C 、52D 、5[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5, ∴cos A ＝－12,∴sin A ＝32,∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532、12、如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A 、△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2都就是锐角三角形 B 、△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2都就是钝角三角形C 、△A 1B 1C 1就是钝角三角形,△A 2B 2C 2就是锐角三角形D 、△A 1B 1C 1就是锐角三角形,△A 2B 2C 2就是钝角三角形 [答案] D[解析] 由条件知,△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1就是锐角三角形,假设△A 2B 2C 2就是锐角三角形,由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin(π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1),得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1,那么,A 2＋B 2＋C 2＝π2,这与三角形内角与为180°相矛盾,故假设不成立,即△A 2B 2C 2就是钝角三角形,故选D 、二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分、将正确答案填在题中横线上) 13、三角形一边长为14,它对的角为60°,另两边之比为8∶5,则此三角形面积为________、 [答案] 40 3[解析] 设另两边长为8x 与5x ,则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2,另两边长为16与10,此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝403、14、在△ABC 中,若tan A ＝13,C ＝150°,BC ＝1,则AB ＝________、[答案]102[解析] ∵tan A ＝13,∴sin A ＝1010,由正弦定理,得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102、15、如图,已知梯形ABCD 中,CD ＝2,AC ＝19,∠BAD ＝60°,则梯形的高为__________、[答案]332[解析] 解法一:∵∠BAD ＝60°, ∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°、 ∵CD ＝2,AC ＝19,∴19sin120°＝2sin ∠CAD ,∴sin ∠CAD ＝5719、∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738、∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D ＝19×35738sin120°＝3、∴h ＝AD ·sin60°＝332、 解法二:在△ACD 中,AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°, ∴AD 2＋2AD －15＝0、 ∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)、 ∴h ＝AD sin60°＝332、16、在△ABC 中,AB ＝AC ＝2,BC ＝23,点D 在BC 边上,∠ADC ＝45°,则AD 的长度等于________、[答案]2[解析] 如图,作AE ⊥BC ,垂足为E ,∵AB ＝AC ＝2,BC ＝23, ∴E 为BC 的中点,且EC ＝3、 在Rt △AEC 中,AE ＝1,∠ADE ＝45°,在Rt △ADE 中,AD sin ∠AED ＝AE sin45°,∴AD ＝2、三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本题满分12分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别就是角A 、B 、C 的对边,若cos A ＝1010,cos C ＝55、 (1)求角B 的大小;(2)若c ＝4,求△ABC 的面积、 [解析] (1)∵cos A ＝1010,cos C ＝55, ∴sin A ＝31010,sin C ＝255,∴cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝1010×55－31010×255＝－22,∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝22、又∵0<B <π, ∴B ＝π4、(2)由正弦定理,得a sin A ＝csin C ,∴a ＝c sin Asin C ＝4×31010255＝32、∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×32×4×sin π4＝12×32×4×22＝6、18、(本题满分12分)在△ABC 中,已知a ＝6,A ＝60°,b －c ＝3－1,求b 、c 与B 、C 、 [解析] 由余弦定理,得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°, ∴b 2＋c 2－bc ＝6① 由b －c ＝3－1平方得:b 2＋c 2－2bc ＝4－23 ②①、②两式相减得bc ＝2＋23、由⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝3－1bc ＝2＋23,解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3＋1c ＝2, 由正弦定理,得sin B ＝b sin A a ＝(3＋1)sin60°6＝6＋24、 ∵6<3＋1,∴B ＝75°或105°、 ∵a 2＋c 2>b 2,∴B 为锐角, ∴B ＝75°,从而可知C ＝45°、[点评] 求角B 时,若先求得sin C ＝c sin A a ＝22,∵a >c ,∴C ＝45°,从而得B ＝75°、若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24,∴B ＝75°、19、(本题满分12分)如图,某海轮以30 n mile/h 的速度航行,在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°,向北航行40 min 后到达点B ,测得油井P 在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再航行80 min 到达C 点,求P 、C 间的距离、[解析] AB ＝30×4060＝20,BC ＝30×8060＝40、在△ABP 中,∠BAP ＝120°,∠ABP ＝30°,∠APB ＝30°, ∴BP ＝AB sin ∠APB ·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝203、在Rt △BCP 中, PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋(203)2＝207、∴P 、C 间的距离为207 n mile 、20、(本题满分12分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边,且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C 、(1)求A 的大小;(2)若sin B ＋sin C ＝1,试判断△ABC 的形状、 [解析] (1)由已知,根据正弦定理,得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c , 即a 2＝b 2＋c 2＋bc 、由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A , 故cos A ＝－12,A ＝120°、(2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ,得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 、 ∴34＝1－sin B sin C ,∴sin B sin C ＝14、 又sin B ＋sin C ＝1,故sin B ＝sin C ＝12、因为0°<B <90°,0°<C <90°,故B ＝C 、 所以△ABC 就是等腰的钝角三角形、另解:∵A ＝120°且sin B ＋sin C ＝1∴sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＝32cos B ＝sin(B ＋60°)＝1又60°<B ＋60°<120°∴B ＋60°＝90°,∴B ＝30°从而C ＝30° ∴△ABC 为等腰的钝角三角形、21、(本题满分12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知cos2C ＝－14、(1)求sin C 的值;(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ,求b 及c 的长、 [解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14,0<C <π,∴sin C ＝104、 (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时,由正弦定理a sin A ＝csin C ,得c ＝4、由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π,得cos C ＝±64、由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,得b 2±6b －12＝0(b >0),解得b ＝6或26,∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6c ＝4,或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26c ＝4、 22、(本题满分14分)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C 、(1)求cos A 的值;(2)若a ＝3,△ABC 的面积为2,求b 、c 、 [解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C , 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1,即cos(B ＋C )＝－13,∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13、(2)∵0<A <π,cos A ＝13,∴sin A ＝223、由S △ABC ＝22,得12bc sin A ＝22,∴bc ＝6、由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A , ∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16, ∴b ＋c ＝5、由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2、。