大学物理27-3 理想气体的压强公式3.3 理想气体的压强公式
1理想气体压强公式
压强的另外一个表达式
第七章气体动理论
m N, M NA
pV m RT M
NA：阿伏伽德罗常数 N：总分子数
p N RT N R T
N AV
V NA
p nkT
分子数密度 n N V
玻耳兹曼常量
在相同的温度和压强下，各种 气体的分子数密度相等。
k
R NA
8.31J mol1 k 1 6.022 1023 mol1
第七章气体动理论
系统
在热力学中，把所要研究的对象，即由大量微观粒子组成的物
体或物体系称为热力学系统。(如容器中的气体分子集合或溶
液中液体分子的集合或固体中的分子集合。) 系统的外界（简称外界） 能够与所研究的热力学系统发生相互作用的其它物体，称为外 界。
把用来描述系统宏观状态的物理量称为状态参量。
气体的宏观状态可以用V、P、T 描述
求 (1) 此时管内气体分子的数目； (2) 这些分子的总平动动能。
解 760 mmHg = 1大气压 = 1.013×105Pa
1 mmHg = 133.3Pa
(1) 由理想气体状态方程得
p nkT N kT V
N
nV
pV kT
5 106 133.3105 1.381023 300
1.611012
热力学与统计物理的发展, 加强了物理学与化学的联系, 建立了物理化学这一门交叉科学 .
热学
1．什么是热学
•宏观物体是由大量的微观粒子——分子、原子等组成的 •微观粒子的无规则的运动，称为热运动。 热学是研究热运动的规律及其对物质宏观性质的影响，以 及与其他运动形态之间的转化的物理学分支。
2．热学的分类
3
p
理想气体的压强公式
M
m'= Nm M = NAm n = N /V
pV = N RT p = nkT
NA
玻尔兹曼常数
k = R = 1.38×10−23 J ⋅ K−1
NA
分子平均平动动能
εk
=
1 2
mv2
=
3 kT 2
微观量的统计平均值
宏观可测量量
第一讲 理想气体压强公式
温度 T 的物理意义
εk
=
1第mv五2章=气3体kT动理论
2
第一讲 理想气体压强公式
2、理想气体的内能
第五章气体动理论
内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和
1）每个分子的平均能量为: i kT N0k 为普适气体常数
2）1 mol气体分子的内能:
2
Emol
=
i 2
N0kT
=
i 2
RT
3）m’克气体的内能
E = m ' i RT
M2
• 对理想气体内能，不计分子间势能，内能仅是 温度的单值函数，与气体的压强、体积无关。
1atm = 1.013 ×10 5 Pa
帕斯卡？ ——天堂里的牛顿与爱因斯坦
有感于作业中数值单位使用混乱问题
2） 体积V : 气体所能达到的最大空间（几何描
述）. 单位： 1m3 = 103 L = 103 dm3
3） 温度T : 气体冷热程度的量度（热学描述）.
单位：K 温标（开尔文）. T = 273.15 + t
-
mmvvvvvv
x x
x
vvy A1 y
o
z x vvz
vv
vvx
第一讲 理想气体压强公式
大学物理 部分公式
1.理想气体物态方程：pV=NkT 变形1：Pv=νRT （R=N A k）变形2：P=nkT （n=N/V为分子数密度）2．理想气体压强公式：P=（1/3）nmv^2 变形：P=2/3nεk (εk分子平均平动动能)3理想气体平均平动动能与温度关系：1/2mv^2=εk=3/2kT4方均根速率： Vrms=(3kT/m)^(1/2)= (3Rt/M)^(1/2)5自由度：单i=3 双刚=5 双非=7 三以上刚=6 ε =i1/2kT6理想气体内能：E=N A i1/2kT =i/2RT7三种统计速率：1）最概然速率V p=(2kT/m)^(1/2)= (2RT/M)^(1/2) 2）平均速率v =(8kT/πm)^(1/2) 3）4 8分子平均碰撞次数：Z，分子连续两次碰撞间的路程均值叫做平均自由程λλ=v/ Z Z =1.41πd ^2 vn 9准静态过程中体积变化做功：ΔW=PΔV=(Sv1v2)pdV10.摩尔定体热容：C v,m=dQ/dT dE=：C v,m* dT11热机效率：η=W/Q1 =(Q1-Q2)/Q1 =1-Q1/Q2 (Q1为吸热量 Q2为热源吸收量)12等体过程中V为常量，即dW=0 dQ=dE 吸收热量全部转化为内能13转动定理：M=Jα常见转动惯量1）中心轴细棒：ml^2 /12 2）圆柱体：mR^2 / 2 3)薄圆环J=mR24)端点轴细棒：J=ml2/14平行轴定理：J=J C+md215电容器电能：W=1/2 QU=1/2 CU216 电场能量密度：w=1/2εΕ217.磁场能量：W=1/2 LI2 密度w=W/V=B2/2μ19.毕奥撒法尔定律：dB=(μ0/4π)*(Idlsinθ/r^2)= (μ0/4π)*(Idl e r/r^2)20.运动电荷磁场：B=(μ0/4π)*(qvr/r^3)21.无限长直导线B=μ0I/2πr022.库伦定律 F=（1/4πε0）（q1q2/r^2）e r23圆形载流导线轴线上一点 B=(μ0/2)(R2I/(R2+x2)3/2) x>>R B=μ0IR2/2x3A-B 等温膨胀内能不变对外做功W1=从T1高温处吸热Q1W1=Q1=vRTT1ln(V2/V1)B-C 绝热膨胀对外做功等于气体减少的内能W2=vCv，m（T1-T2）C-D 等温压缩：外界对气体做功等于气体给低温热源的热量W3=Q2= vRTT2ln(V4/V3)。
理想气体压强公式的推导
理想气体压强公式的推导首先，我们假设一个封闭的容器中装有一种理想气体。
理想气体的特点是分子之间几乎没有相互作用，分子间距比较大，分子大小与容器大小相比可以忽略不计。
我们假设容器的内壁是一个完全光滑的理想平面，没有摩擦力。
这意味着当气体分子与容器壁碰撞时，不会有能量的损失。
考虑气体分子垂直碰撞容器壁的过程。
设气体分子的质量为m，速度为v，这个过程中发生的时间很短，可以看作是瞬时碰撞。
当气体分子与容器壁碰撞时，气体分子的动量会发生变化。
根据动量守恒定律，碰撞前后动量的总量保持不变。
碰撞前的动量为mv，碰撞后的动量为-mv（因为气体分子发生了方向的改变）。
由于碰撞时间很短，我们可以认为动量的变化是瞬时的。
根据牛顿第二定律，力的定义为质量乘以加速度。
在这个碰撞过程中，气体分子在容器壁上受到了一个垂直向内的力，由于时间很短，加速度也可以看作是瞬时的。
根据质量加速度等于力的定义，我们可以得到气体分子在容器壁上受到的力F = ma。
根据牛顿第三定律，力的大小和方向相等，但作用在不同物体上。
在这个碰撞过程中，分子对容器壁施加了一个与容器壁作用力大小相等、方向相反的力。
根据力的定义，力等于单位面积上单位时间内的动量变化量。
单位面积上单位时间内的动量变化量可以表示为分子的动量变化率。
我们假设单位面积上单位时间内有N次碰撞，其中有一部分分子在这个时间内与容器壁发生碰撞。
由此我们可以得到分子单位面积上单位时间内动量变化量的大小，即力的大小。
假设每个分子的平均动量变化量为Δp，单位面积上单位时间内有n个分子与容器壁发生碰撞，分子的平均速度为v。
而单位时间内有N次碰撞，因此N=n/t。
由此可以得到一个分子与容器壁发生碰撞后动量变化量之和。
根据动量守恒定律，分子碰撞前的动量总和为Nmv，碰撞后的动量总和为-Nmv （因为所有分子的碰撞都是相互独立的）。
所以动量变化量之和为2Nmv。
由此可以得到力的大小为F = 2Nmv/t。
理想气体的压强公式
由于一个(刚性)分子的平均总能量为
i kT
2 所以一摩尔理想气体的内能为
i
i
Emol
No
kT 2
RT 2
(Nok=R)
27
M千克理想气体的内能为
E M i RT i pV
M mol 2
2
(8-7)
例8-6 容器内盛有单原子理想气体， 测得压强 为p，那么单位体积中的内能为多少？
自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能
都相等，都为 1 kT。
2
24
能量按自由度均分定理：
理想气体处于平衡态时, 其分子在每个自由度上
的平均动能都相等，都为 1 kT。 2
设某分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个
振动自由度，则该
分子的总自由度：i = t+ r+ s ;
分子的平均平动动能： t kT 2
又
3
Et
kT 2
混合气体的的温度：T 2Et =400K
3k
19
例题8-5 两瓶不同种类的气体，温度、压强相同， 但体积不同，则
(1)它们单位体积中的分子数 相同。 (p=nkT)
(2)它们单位体积中的气体质量 不相同。 (=mn)
(3)它们单位体积中的分子平均平动动能的总和 相同。
( Ek=nEt )
p
2 3
nEt
(8-3)
16
三.温度的统计意义
因 p =nkT，
2 p 3 nEt
从以上两式消去p可得分子的平均平动动能为
Et
大学物理(12.3.2)--理想气体压强公式和温度公式
三、理想气体的压强公式推导
z
1 个分子 i 碰撞一次器壁 A1 作用冲量
为
Ii 2mvix
一次碰撞所需时间为
2l1 vix
y
o m vi l1
⊿t 时间内，分子 i 与器壁 A1 面碰撞次 数
t
vix 2l1
l2 A1
x l3
z
⊿t 时间内，分子 i 作用
在 A1 面上的冲量为：
2mvix
vix 2l1
t
m
vi2x 1
t
o m vi
y
l1
⊿t 时间内，所有分子
作用 A1 面的总冲量为：I
N i 1
m vi2x l1
t
l2 A1
x l3
按压强定义：
p
I
t l2l3
m l1l2l3
N i1
vi2x
I
N i1
m
vi2x l1
t
m V
(v12x
3 2
kT
物理意义：该公式反映产生温度的微观本质
18／4／22
8
例题：从压强公式和温度公式导出道尔顿分压公式，即 混合气体的压强等于各种气体分压之和。
混合气体单位体积的分子数为：
n n1 n2
根据温度公式：
3 2
kT
在相同温度下 , 各种气体分子的平均平动动能相等 , 即 :
1 2
m1 v12
1 2
m2 v22
1 2
mv2
3 2
kT
根据压强公式，混合气体的压强为：
理想气体的压强公式
三、理想气体的状态方程
气体的状态方程：气体的p、V、T之间的关系式 理想气体：把实际气体抽象化，无条件地服从三条 实验定律的气体称为理想气体。（玻意耳定律、盖 －吕萨克定律、查理定律。）
当质量为M.摩尔质量为 Mmol的理想气体处于平 衡态时：
M pV RT RT M mol
PV C T
10
5
Pa,温度为47°C,因为容器漏气，经过若干时间后， 压强降到原来的5／8，温度降到27 °C,问： （1）容器的容积有多大？（2）漏去多少氧气？ （假设氧气为理想气体）
解： 由
PV M R T M mol
MRT
0.10 8.31 (273 47) 3 3 V 8 . 31 10 m 5 P 0 . 032 10 10 M mol
18 世纪中期，瓦特制成了蒸汽机，人们多年 来想利用热来获得机械功的愿望实现了。随着蒸汽 机在生产上被广泛地利用，提高效率便成为首要任 务，同时也促使人们对热的本质进行深入的研究。
关于热的本质问题，有两种对立的学说： 热质说——热是一种元素，它可以透入任何物 体中，不生不灭，较热物体含较多的热质。 热是物质运动的一种表现，热是一种能量，能 够与机械能互相转化。 热力学第一定律确立了热和机械功相互转化的 数量关系，热力学第二定律告诉人们如何提高热机 效率，热力学的两个基本定律都是从研究热和功的 相互转化问题总结出来的，然而，热力学理论的应 用远远地超出了这一问题的范围。 在热力学发展的同时，即 19 世纪中期，分子 运动论也开始飞速地发展，为了改进热机的设计， 对热机的工作物质——气体——的性质进行了广泛 的研究，气体动理论便是围绕着气体性质的研究发 展起来的。
理想气体的压强与温度公式
快减
快增
速率分布曲线 有单峰，不对称
两者相乘
速率
恒取正
[讨论]
① v 0, f (v ) 0 v , f (v ) 0
f (v)
线，小面积， 大面积的物 理意义？
v0 ②满足归一化条件： f (v)dv 1 o v0 v 1
dv
v 2 dv
v
③ f (v )v N 表示分布在 v v v 区间内的分子
RT
, 则 n 按指数而减小；
m ol
②分子的摩尔质量 M
RT
越大，重力
P P0 e
M m ol gh
作用越显著，n 的减小就越迅速。 ③T ，分子的无规则热运动越剧 烈，n 的减小就越缓慢。
M 2 0.1 2 P v (200) 2 3V 3 10
1.33 10 ( Pa)
5
例3：某气体在温度为T=273K时，压强为 p=1.0×10-2atm，密度 1.24 10 2 kg / m3 ， 求该气体分子的方均根速率。
解：
M RT V P PV RT , P M mol M mol M
2. 平衡态理想气体分子运动的统计假设 ①分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数
密度：
dN N n dV V N 表示容器体积V内的分子数。
②具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数 是相等的：
统 计 结 果
v v v v
2 i 2 ix 2 iy
2 iz
vx v y vz 0
8 RT v M mol
o
vp v
v2
v
v2
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Nm vi2x x iN
Nm x
v2x
器壁A1所受平均冲力 F v2x Nm x
第七章 气体动理论
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
y
A2
O
z
- mmvvvxx
x
A1 y
zx
器壁 A1所受平均冲力
F v2x Nm x
气体压强
p
F yz
Nm xyz
v
2 x
viz k
第七章 气体动理论
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
2）分子各方向运动概率均等
分子运动速度
vi
vixi
viy
j
viz k
各方向运动概率均等 vx vy vz 0
x 方向速度平方的平均值
v
2 x
1 N
vi2x
i
各方向运动概率均等
v2x
v2y
v
2 z
1 v2 3
第七章 气体动理论
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
单个分子遵循力学规律
y
x方向动量变化
pix 2mv
A1 y
zx
分子施于器壁的冲量
2mvix
两次碰撞间隔时间
2x vix
单位时间碰撞次数 vix 2x
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
二 理想气体压强公式
设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中有 N 个全
同的质量为 m 的气体分子，计算 A1 壁面所受压强 .
y
A2
O
z
- mmvvvxx
x
v y A1 y
z x v z O
v v x
第七章 气体动理论
7 – 3 理想气体的压强公式
单个分子单位时间施于器壁的冲量 mvi2x x
第七章 气体动理论
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
y
单个分子单位时间
施于器壁的冲量
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O
z
- mmvvvxx
x
A1 y
zx
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大量分子总效应 单位时间 N 个粒子 对器壁总冲量
mvi2x ix
m x
i
vi2x
物理学教程 （第二版）
单个分子对器壁碰撞特性 — 偶然性、不连续性.
大量分子对器壁碰撞的总效果 — 恒定的、持续 的力的作用 .
热动平衡的统计规律 （ 平衡态 ）
(1) 分子按位置的分布是均匀的 n dN N dV V
(2) 分子各方向运动概率均等
分子运动速度
vi
vixi
viy
j
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
一 理想气体的微观模型
（1）分子可视为质点； 线度d ~ 10 10 m,
间距 r ~ 109 m, d r ;
（2）除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力；
（3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；
（4）分子的运动遵从经典力学的规律 .
第七章 气体动理论
第七章 气体动理论
统计规律
n N xyz
v 2x
1 v2 3
分子平均平动动能
k
1 2
mv2
p
2 3
n k
第七章 气体动理论
7 – 3 理想气体的压强公式
物理学教程 （第二版）
压强的物理意义 统计关系式 宏观可测量量
p
2 3
n k
微观量的统计平均值
分子平均平动动能
k
1 2
mv2
压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .