高二数学周周练6

1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2

. (1)求cos B ；

(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .

[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2

， 故sin B ＝4(1－cos B )．

上式两边平方，整理得

17cos 2B －32cos B ＋15＝0，

解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517

. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817

， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417

ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172

. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.

2.在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．

(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .

[解] (1)∵a n 是1与a n a n ＋1的等差中项，

∴2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴a n ＋1＝2a n －1a n

， ∴a n ＋1－1＝2a n －1a n －1＝a n －1a n ，

∴1a n ＋1－1＝a n a n －1＝1＋1a n －1

， ∵1a 1－1＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列， ∴1a n －1

＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ＋1n .

(2)由(1)得1n 2a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3.已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．

(1)求|MQ |的最大值和最小值；

(2)求y －3x ＋2

的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，

可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，

∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22.

又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，

∴|MQ |max ＝42＋22＝62，

|MQ |min ＝42－22＝22.

(2)可知y －3x ＋2

表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.

由直线MQ 与圆C 有交点，所以

|2k －7＋2k ＋3|1＋k

2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，

∴y －3x ＋2

的最大值为2＋3，最小值为2－3. 4.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .

(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；

(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为

63，求该三棱锥的侧面积．

[解] (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .

因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .

故AC ⊥平面BED .

又AC ⊂平面AEC ，

所以平面AEC ⊥平面BED .

(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝

GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝

22x . 由已知得，三棱锥E ­ACD 的体积V E ­ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63

，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6.

所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为5.

故三棱锥E ­ACD 的侧面积为3＋25.

5.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且

∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．

(1)若θ＝34

π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋O D →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n 的最小值及对应的θ值．

[解] (1)设D(t ,0)(0≤t ≤1)，

由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22

，22， 所以OC →＋O D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22

＋t ，22， 所以|OC →＋O D →|2＝12－2t ＋t 2＋12

＝t 2－2t ＋1＝⎝

⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋O D →|最小，为22

. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，

则m·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2，