专升本高数2PPT课件
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专升本 高数第二章
g ( x)
第二章 一元函数微分学
（二）微分中值定理 1.罗尔定理
a, b上连续 a, b 内可导
f (a) f (b) f ( ) 0, (a, b)
特例 f (a) f (b)
2.拉格朗日中值定理 a, b上连续 f ( )
Q p Q EQ lim / p p 0 Q Ep Q p
在 p0 点处的弹性: EQ
EQ Q 改 变 % 时， Ep
Ep
表示当
p p0
p 在 p0 点产生 1 %
的改变
.
第二章 一元函数微分学
需求弹性与总收益: EQ p R pQ Q pQ Q1 Q Q1 Q Ep EQ (1)当 Ep 1 时，需求变动幅度小于价格变动幅度称为需求 对价格缺乏弹性. (2)当 时，需求变动幅度等于价格变动幅度称该商 品具有单位弹性.这时 R 0，总收益最大. (3)当 时，需求变动幅度大于价格变动幅度称为需求 对价格富有弹性.
存在，则称 y f ( x) 在 x0 点可导，并称该极限值为 y 的导数，记作 f ( x ), y , dy , df ( x)
0 x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x lim
f ( x)
在
x0
点
dx x x0
第二章 一元函数微分学
（重点）
第二章 一元函数微分学
一元 函数 微分 学
• 知识结构
导数
微分
应用
导数 概念
导数 计算
高阶 导数
微分 概念
微分 计算
专升本高数二第讲讲义
四、第一换元法（凑微分法）(积分上下限可保持不变）
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
(２)间接凑（先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)（注意积分上下限的变化）
法则：被积函数右减左,积分区间看上下。
步骤(1)画图;
(2）有时通过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是：直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导；含有变限积分的极限问题。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是ｘ，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
（2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
专升本高数二第讲讲义
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
（１)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
(２)间接凑（先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)（注意积分上下限的变化）
法则：被积函数右减左,积分区间看上下。
步骤(1)画图;
(2）有时通过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是：直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导；含有变限积分的极限问题。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是ｘ，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
（2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
专升本高数二第讲讲义
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不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
（１)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
(建议下载)专升本高等数学(二)
成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
专升本数学连续ppt课件
专升本数学
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本 高数 PPT课件
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
高等数学上2_课件2.ppt
达标后的函数值：
f (x) A
2.2.2 x趋于有限值x0时函数的极限
●至此，我们用 N ”、“ X ”、“ ” 的语言定 义了七种极限, 下面将列表类比对照.
极限形式： 接近程度指标：
lim f (x) A
x
实现时刻：
X
实现时刻后的自变量： x X
达标后的函数值：
f (x) A
定义 2.2
＊在定义 2.2 中， 将“ f (x) 在 b, 上有定义”换作 “ f (x) 在 , a上有定义；将“ x X ”换作“ x X ”
lim
x
f
(x)
A或
f
(x)
A(x
)
.
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
定义 2.3 设 f (x) 在 , a b, (a ≤b) 上有定义，A
推 论 若 在 x0 的 某 去 心 邻 域 内 f (x) ≥ 0 （ 或
f
(
x)
≤
0
）且
lim
xx0
f
(x)
A ，则 A≥0 （ A≤0 ）.
2.2.3 函数极限的性质
● 在 2.2.1，2.2.2 中我们共列举了六种类型的极限：
（1）
lim
x
f
(x) ；
（2）
lim
x
f
(x) ；
（3）
lim
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 趋向于无穷大有下面三种方式： x ，表示 x 沿 x 轴无限向右推进，趋于正无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向左推进，趋于负无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向任何一方推进，即 x 趋于 .
专升本高等数学课件
链式法则
链式法则用于计算复合函数的导数， 是导数计算中数法则是用于计算分式函数的 导数，即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化量的近似值，它是 函数值的线性主部。
微分的几何意义
微分在几何上表示函数曲线在某一点附近的小 “斜坡”。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、 指数函数、三角函数等，它们的导数已
经给出。
乘积法则
乘积法则用于计算两个函数的导数， 即(uv)'=u'v+uv'。
一阶微分方程是包含一个 导数项的方程。
定义
求解方法 形式
二阶微分方程
定义
二阶微分方程是包含两个导 数项的方程。
形式
d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)， 其中f(x, y, z)是关于x、y和z 的函数。
求解方法
通过变量代换、积分等方法 求解。
高阶微分方程
01
定义
高阶微分方程是包含三个或更多 导数项的方程。
专升本高等数学 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习高 等数学的基础。
详细描述
函数是数学中描述两个变量之间关系 的一种方法，它具有对应性、有界性 、单调性、周期性和奇偶性等性质。 理解这些性质有助于更好地理解函数 的图像和变化规律。
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f (4) (x) ________．
34.
设
参
数
方
程
x
y
2t 1 3t2 1
所
确
定
的
函
数
为
y
y(x) ，则
d2 y dx2
________．
42 ． 设 由 方 程 e y xy2 e2 确 定 的 函 数 为
y y(x) ，求 dy ． dx x0
2011年河南专升本
2.1 导数的概念
本章重点考核的知识点
• 1．导数的定义； • 2．导数的几何意义； • 3．导数的四则运算法则； • 4．反函数求导法则； • 5．复合求导法则； • 6．简单函数的高阶导数； • 7．隐函数求导； • 8．对数求导法； • 9．幂指函数求导； • 10．参数方程求导； • 11．一元函数一阶微分形式的不变性。
2010年河南专升本
6.
函数
f (x) 在点 x
x0 处可导，且
f
(x0 )
1，则 lim h0
f (x0 ) f (x0 3h) 2h
A． 2 3
B． 2 3
C． 3 2
D． 3 2
8. 设函数 y 1 x2 2sin π ，则 y 5
A． x 2 cos π
1 x2
5
B． x 1 x2
0
00 0
为
y f (x ) f (x )(x x )；
0
0
0
曲线 y f (x)在点M (x , y )处的法线方程为 00 0
y f (x ) 1 (x x ) ，( f (x ) 0).
0
f (x0 )
0
0
当 f (x )=0 时，切线方程为平行于 x 轴的直线 y f (x )，
0
dt tt0
(2)曲线 y f (x)在点M x , y 处的切线斜率，就是函数 y f (x) 00 0
在点 x 处对自变量 x 的导数，即 0
k y | 。 x x0
例 1 设 f (x) x2，求 f 1， f x . 0
导函数 如果函数 y f (x) 在区间a,b内的每一点处都
定义 设函数 y f (x)在点 x 的某个邻域内有定义，当 x 0
从 x 增 加 到 x x 时 ， 相 应 地 ， 函 数 有 改 变 量
0
0
y f (x x) f (x )，如果极限
0
0
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
存在，则称函数 y f (x)在点 x 处可导，并称此极限为 0
0
0
f
x
lim
f
x
f
x 0
，
0
x x0
xx
0
f
( x
)
lim
f
(x 0
h)
f
(
x 0
)
，
0
h0
h
后一式中的 h 就是定义式中的自变量的增量 x .
根据导数的定义，两个实际问题可叙述为：
(1)变速直线运动的物体在时刻 t0 的瞬时速度，就是位置函数
s f t在t 0 处对时间 t 的导数，即
vt ds .
y 1 2(x 1)，
即
y 2x 1
法线方程为
y 1 1 (x 1)， 2
即
y 1 x 3.
22
2.1.3 求导举例
由导数的定义可知，求 y f (x)的导数 y的一般步骤如下：
（1） 求函数的改变量y f x x f x；
电话：
第2讲 导数与微分
考试点津： • 本讲出题在15分—19分，知识点不多，题
型比较固定。
• 本讲重点（1）利用导数定义求导数或极限。 （2）参数方程确定函数求导。（3）隐函 数求导或微分。（4）复合函数求导或微分。 （5）简单函数的高阶导数。
• 本讲难点：参数方程确定函数求高阶函数； 特殊复合函数求导或微分。
0
0
法线方程为垂直于 x 轴的直线 x x ； 0
当 f (x ) 时，切线为垂直于 x 轴的直线 x x ，法线为
0
0
平行于 x 轴的直线 y f (x ). 0
例 2 求抛物线 y x2在点（1,1）处的切线方 程和法线方程.
解 由导数及导数的几何意义可知， k y x1 2 ， 因此，所求的切线方程为
可导，则称函数 y f (x)在区间a,b内可导.这时，对于a,b
内的每一个确定的值 x，都对应着惟一确定的函数值 f x，
于是就确定了一个新的函数，这个函数叫做函数的导函数，
记作 f x，或 y， dy ， df x等.导函数通常简称为导数.
dx dx
显然，函数 y f (x) 在点 x 处的导数 f x 就是导函数
函数 y f (x) 在点 x 处的导数，记作 f x ，或 y ，
0
0
x x0
dy ， df ，即
dx xx0
dx xx0
f
x
lim y
lim
f
x 0
x
f
x 0 .
0
x x0
x0
x
如果极限不存在，则称函数 y f (x)在点 x 处不可导. 0
函数 y f (x)在点 x 处的导数 f (x )也可表示为
0
0
f x在点 x x 处的函数值，即 0
f (x ) f (x) .
0
x x0
2. 左、右导数 左可导 如果极限lim y 存在，则这个极限称为函数 y f (x)在
x x0
点 x 处的左导数，并且说 f (x)在点 x 处左可导，记作 f (x ).
0
0
0
右可导 如果极限lim y 存在，则这个极限称为函数 y f (x)在 x x0
x 处的导数 f (x ) 在几何上表示曲线 y f (x) 在点 M (x , y )
0
0
00 0
处的切线的斜率.
过切点M (x , y )且垂直于切线的直线叫做曲线 y f (x) 00 0
在点M (x , y )处的法线. 00 0
如果 f (x )存在，则曲线 y f (x)在M (x , y )处的切线方程
C． 2x 1 x2
D． 2x 2 cos π 1 x2 5 5
9. 若函数 f (x) 满足 df (x) 2x sin x2dx ，则 f (x)
A． cos x2
B． cos x2 C C． sin x2 C D． cos x2 C
33. 设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) ，则
点 x 处的右导数，并且说 f (x)在点 x 处右可导，记作 f (x ).
0
0
0
根据极限存在的充要条件，我们有下面的定理：
定理 函数 f (x)在点 x 处的左、右导数存在且相等是 f (x)在 0
点 x 处可导的充要条件. 0
3. 导数的几何意义
由切线问题的讨论和导数的定义知，函数 y f (x)在点