LossFunction一般形式及数学概念深度学习梯度优化方法深度学习
损失函数综述
损失函数综述损失函数（loss function）⼜叫做代价函数（cost function），是⽤来评估模型的预测值与真实值不⼀致的程度，也是神经⽹络中优化的⽬标函数，神经⽹络训练或者优化的过程就是最⼩化损失函数的过程，损失函数越⼩，说明模型的预测值就越接近真是值，模型的健壮性也就越好。
常见的损失函数有以下⼏种：(1) 0-1损失函数(0-1 lossfunction):0-1损失函数是最为简单的⼀种损失函数，多适⽤于分类问题中，如果预测值与⽬标值不相等，说明预测错误，输出值为1；如果预测值与⽬标值相同，说明预测正确，输出为0，⾔外之意没有损失。
其数学公式可表⽰为：由于0-1损失函数过于理想化、严格化，且数学性质不是很好，难以优化，所以在实际问题中，我们经常会⽤以下的损失函数进⾏代替。
（2）感知损失函数（Perceptron Loss）：感知损失函数是对0-1损失函数的改进，它并不会像0-1损失函数那样严格，哪怕预测值为0.99，真实值为1，都会认为是错误的；⽽是给⼀个误差区间，只要在误差区间内，就认为是正确的。
其数学公式可表⽰为：（3）平⽅损失函数（quadratic loss function）：顾名思义，平⽅损失函数是指预测值与真实值差值的平⽅。
损失越⼤，说明预测值与真实值的差值越⼤。
平⽅损失函数多⽤于线性回归任务中，其数学公式为：接下来，我们延伸到样本个数为N的情况，此时的平⽅损失函数为：（4）Hinge损失函数（hinge loss function）：Hinge损失函数通常适⽤于⼆分类的场景中，可以⽤来解决间隔最⼤化的问题，常应⽤于著名的SVM算法中。
其数学公式为：其中在上式中，t是⽬标值{-1，+1}，y为预测值的输出，取值范围在（-1，1）之间。
（5）对数损失函数（Log Loss）：对数损失函数也是常见的⼀种损失函数，常⽤于逻辑回归问题中，其标准形式为：上式中，y为已知分类的类别，x为样本值，我们需要让概率p(y|x)达到最⼤值，也就是说我们要求⼀个参数值，使得输出的⽬前这组数据的概率值最⼤。
梯度下降法的定义和基本思想
梯度下降法的定义和基本思想随着人工智能的兴起和深度学习的广泛应用，梯度下降法（Gradient Descent）成为了最常用的优化算法之一。
本文将从定义和基本思想两个方面介绍梯度下降法。
一、梯度下降法的定义梯度下降法是一种在机器学习和深度学习中常用的优化算法，其用于最小化损失函数（Loss Function）或最大化效用函数（Utility Function）。
在深度学习中，损失函数通常是一个高维多元函数，梯度下降法可以求出这个函数的最小值点。
具体来讲，梯度下降法是一种迭代的优化算法，每次迭代通过计算梯度来更新模型的参数，以使得损失函数不断减小，直到达到收敛条件为止。
在每个迭代步骤中，算法会沿着梯度负方向更新模型参数，使得下一步的预测结果更接近真实值，同时不断减小损失函数的值，以达到最优化的目标。
二、梯度下降法的基本思想梯度下降法的基本思想可以用一个简单的例子来描述。
假设有一个人想要从山上走到山下的村庄，但他不知道具体的路线，只能通过场地的坡度来判断行走的方向。
在初始位置时，他不知道应该向哪边走才能到达山下，但他可以判断出自己脚下的坡度高低。
假设他能根据现在所在的位置和坡度来确定下一步的走向，他可以通过下山的过程不断向着更低的点走去，最终到达山下村庄。
其实，梯度下降法的基本思想就是利用梯度信息确定优化方向，在目标函数上不断移动，以达到最优化的目的。
在机器学习中，我们通常会将损失函数视为目标函数，利用梯度下降法来求解最小化这个函数的模型参数。
对于一个函数f(x)，梯度下降法的基本思想是从一个初始点x0开始，计算函数在该点处的梯度g(x)，并将其乘以一个学习率α，得到一个新的点x1 = x0 - αg(x0)。
然后，重复这个过程，更新x2、x3...，一直迭代到目标函数的收敛点。
需要注意的是，梯度下降法的更新过程是一步一步进行的，每一步都只考虑梯度的负方向，并沿着这个方向更新模型参数。
此外，学习率α是一个非常重要的参数，它控制着更新步长的大小，过大会导致震荡，过小会导致收敛速度慢。
高斯 loss function
高斯 loss function高斯Loss Function在机器学习和深度学习中，损失函数（Loss Function）起着至关重要的作用，用于衡量模型预测值与真实值之间的差异。
其中，高斯损失函数（Gaussian Loss Function）是一种常用的损失函数之一，其在回归问题中具有广泛的应用。
高斯损失函数是基于高斯分布的概率密度函数建立的，通过将预测值和真实值之间的差异映射到高斯分布的概率来计算损失。
其数学表达形式为：L(y, f(x)) = exp(-0.5 * (y - f(x))^2 / sigma^2)其中，L表示损失函数，y表示真实值，f(x)表示模型的预测值，sigma表示高斯分布的标准差。
高斯损失函数的核心思想是，将预测值与真实值的差异转化为一个概率，通过最小化概率来优化模型。
高斯损失函数具有以下几个特点：1. 平滑性：高斯损失函数是一个连续可导的函数，具有良好的平滑性。
这使得在优化过程中可以使用梯度下降等有效的优化算法。
2. 敏感性：高斯损失函数对异常值具有较强的敏感性。
由于高斯分布在中心点附近的概率较高，因此预测值与真实值的差异较大时，损失函数的值会更大。
3. 易解释性：高斯损失函数可以通过概率的形式来解释模型的预测效果。
当损失函数的值较小时，说明预测值与真实值的差异较小，模型的预测效果较好。
在实际应用中，高斯损失函数常用于回归问题。
例如，在房价预测中，可以使用高斯损失函数来衡量模型的预测值与真实房价之间的差异。
通过最小化损失函数的值，可以得到更准确的房价预测结果。
除了回归问题，高斯损失函数还可以应用于其他领域。
例如，在图像处理中，可以使用高斯损失函数来衡量图像生成模型的生成效果。
通过最小化损失函数的值，可以生成更逼真的图像。
需要注意的是，高斯损失函数在一些场景下可能存在局限性。
例如，在存在较多离群点的数据集中，高斯损失函数可能会对离群点过于敏感，导致模型的预测效果较差。
深度学习中的优化算法了解常用的优化算法
深度学习中的优化算法了解常用的优化算法深度学习已成为人工智能领域最重要的分支之一。
企业、研究机构和个人都在使用深度学习来解决各种问题。
优化算法是深度学习的重要组成部分，因为深度学习任务通常涉及到大量的训练数据和参数。
本文将介绍常用的深度学习优化算法。
一、梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是深度学习中最常用的优化算法之一。
它是一种基于机器学习模型的损失函数的单调优化方法。
优化过程中，梯度下降法一直追踪损失函数梯度并沿着下降最快的方向来调整模型参数。
该优化算法非常简单，易于实现。
同时，在一些简单的任务中，也可以取得很好的结果。
但是，它也有一些缺点。
例如，当损失函数有多个局部最小值的时候，梯度下降法可能会收敛到局部最小值而不是全局最小值。
此外，梯度下降法有一个超参数学习率，这个参数通常需要根据数据和模型来进行手动调整。
二、随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）随机梯度下降法是一种更为高效的优化算法。
在训练集较大时，梯度下降法需要计算所有样本的损失函数，这将非常耗时。
而SGD只需要选取少量随机样本来计算损失函数和梯度，因此更快。
此外，SGD 在每一步更新中方差较大，可能使得部分参数更新的不稳定。
因此，SGD也可能无法收敛于全局最小值。
三、动量法（Momentum）动量法是对梯度下降法进行的改进。
梯度下降法在更新参数时只考虑当前梯度值，这可能导致优化算法无法充分利用之前的梯度信息。
动量法引入了一个动量项，通过累积之前的参数更新方向，加速损失函数收敛。
因此，动量法可以在参数空间的多个方向上进行快速移动。
四、自适应梯度算法（AdaGrad、RMSProp和Adam）AdaGrad是一种适应性学习速率算法。
每个参数都拥有自己的学习率，根据其在之前迭代中的梯度大小进行调整。
每个参数的学习率都减小了它之前的梯度大小，从而使得训练后期的学习率变小。
RMSProp是AdaGrad的一种改进算法，他对学习率的衰减方式进行了优化，这使得它可以更好地应对非平稳目标函数。
损失函数（LossFunction）
损失函数（LossFunction）
线性回归中提到最⼩⼆乘损失函数及其相关知识。
对于这⼀部分知识不清楚的同学可以参考上⼀篇⽂章《》。
本篇⽂章主要讲解使⽤最⼩⼆乘法法构建损失函数和最⼩化损失函数的⽅法。
最⼩⼆乘法构建损失函数
最⼩⼆乘法也⼀种优化⽅法，⽤于求得⽬标函数的最优值。
简单的说就是：让我们的预测值与真实值总的拟合误差（即总残差）达到最⼩。
在线性回归中使⽤最⼩⼆乘法构建了损失函数：
上⼀篇⽂章《》中提到求解使损失函数J(θ)取最⼩的θ值有两种⽅法：梯度下降（gradient descent）和正则⽅程（The normal equations）。
下⾯主要讲⼀下正则⽅程。
梯度下降⽅法最⼩化损失函数参考⽂章《》
正则⽅程
将训练特征表⽰为X矩阵，结果表⽰成y向量，仍然是线性回归模型，损失函数不变。
那么θ可以直接由下⾯公式得出：
推导过程涉及线性代数⽅⾯的知识，这⾥不再详细展开线性代数知识。
设m为训练样本数；x为样本中的⾃变量，即⼆⼿房价格预测中的房屋⾯积和我是数⽬，x为n维向量；向量y为训练数据中的房屋价格，y 为m维向量。
那么训练数据可以⽤矩阵表⽰为：
因为，所以就可以表⽰为：
损失函数就转化为：
线性代数中有两个公式：
其中符号表⽰⼀个m*n的矩阵，这个矩阵的第(i,j)个元素为。
上⾯两个公式合起来可以表⽰为：
依据这这个公式对损失函数J(θ)推导：
为了最⼩化J(θ)，⼜因为J(θ)由最⼩⼆乘法得到，J(θ)的取值⼤于等于0，即最⼩值为0。
所以，我们使，从⽽得到θ取值：。
梯度下降算法公式
梯度下降算法：优化神经网络的利器梯度下降算法是深度学习中最常用的优化方法之一，它通过计算损失函数对参数进行更新，不断地迭代优化模型，从而提高模型的精度和准确性。
本文将深入介绍梯度下降算法的公式及其工作原理和应用。
一、梯度下降算法公式梯度下降算法是基于梯度的数学原理，用来寻找函数最优解的一种方法。
在深度学习中，我们需要最小化损失函数来获得最优的模型参数。
梯度下降算法通过求解损失函数的导数，以此来更新模型参数。
对于一个损失函数J(θ)而言，其中θ是模型参数向量。
我们需要更新θ的值使J(θ)最小化，梯度下降算法通过以下公式实现：θ = θ - α∇J(θ)其中，α表示学习率，是一个确定更新步长的常数，∇J(θ)表示损失函数J(θ)对θ的导数，表示当前点的梯度方向，它指示了当前点最陡峭的下降方向。
二、梯度下降算法的工作原理梯度下降算法的工作原理可以概括为以下几个步骤：1.初始化参数：将模型参数设定为任意值。
2.计算损失函数：计算当前模型参数下的损失函数值。
3.计算梯度：计算损失函数对参数的导数，确定当前点的梯度方向。
4.更新参数：使用梯度计算得到的方向更新模型参数。
5.重复迭代：不断重复上述步骤，直到算法收敛或达到指定迭代次数。
三、梯度下降算法的应用梯度下降算法在深度学习中广泛应用，尤其是在优化神经网络中。
随着神经网络模型的不断发展，网络参数的数量和模型结构变得越来越复杂，这使得优化这些模型变得更加困难。
而梯度下降算法可以通过自动计算函数梯度来实现对这些模型的优化，从而提高模型的预测准确性和泛化性能。
总之，梯度下降算法是深度学习中最基础的优化方法之一，学习掌握这个算法对于深入理解神经网络工作原理和提高模型的精度和准确性至关重要。
常用的损失函数 与损失函数的梯度
常用的损失函数与损失函数的梯度1. 引言在机器学习和深度学习领域，损失函数是一个非常重要的概念。
它用来衡量模型预测结果与真实数据之间的差异，是优化算法的核心部分。
在训练模型的过程中，我们需要通过最小化损失函数来不断调整模型的参数，使得模型可以更好地拟合数据。
本文将介绍常用的损失函数以及它们的梯度计算方法。
2. 常用的损失函数（1）均方误差损失函数（MSE）均方误差损失函数是回归任务中常用的损失函数，它衡量模型预测值与真实值之间的差异。
其计算公式如下：MSE = 1/n * Σ(yi - y^i)^2其中，n表示样本数量，yi表示真实值，y^i表示模型的预测值。
对于均方误差损失函数，我们需要计算其关于模型参数的梯度，以便进行参数的更新。
（2）交叉熵损失函数交叉熵损失函数是分类任务中常用的损失函数，特别适用于多分类问题。
它的计算公式如下：Cross-Entropy = -Σ(yi * log(y^i))其中，yi表示真实标签的概率分布，y^i表示模型的预测概率分布。
与均方误差损失函数类似，我们也需要计算交叉熵损失函数的梯度，以便进行参数的更新。
（3）Hinge损失函数Hinge损失函数通常用于支持向量机（SVM）中，它在二分类问题中表现良好。
其计算公式如下：Hinge = Σ(max(0, 1 - yi * y^i))其中，yi表示真实标签，y^i表示模型的预测值。
Hinge损失函数的梯度计算相对复杂，但可以通过数值方法或者约束优化方法进行求解。
3. 损失函数的梯度损失函数的梯度是优化算法中至关重要的一部分，它决定了参数更新的方向和步长。
在深度学习中，我们通常使用梯度下降算法来最小化损失函数，因此需要计算损失函数关于参数的梯度。
（1）均方误差损失函数的梯度对于均方误差损失函数，其关于模型参数的梯度计算相对简单。
以单个参数θ为例，其梯度可以通过以下公式计算得出：∂MSE/∂θ = 2/n * Σ(yi - y^i) * ∂y^i/∂θ其中，∂y^i/∂θ表示模型预测值关于参数θ的梯度。
损失函数和目标函数
损失函数和目标函数损失函数和目标函数是机器学习中两个重要的概念。
它们都是用来衡量模型的性能和优化模型的重要工具。
本文将详细介绍损失函数和目标函数的定义、作用、常见类型以及优化方法等方面。
一、损失函数1.定义损失函数（Loss Function）是用来衡量模型预测结果与真实结果之间差异程度的函数。
通常情况下，损失函数越小，模型的性能越好。
2.作用在机器学习中，我们通过训练数据来调整模型参数，使得模型能够更好地拟合训练数据。
而损失函数就是用来度量模型预测结果与真实结果之间的差异程度，从而指导参数调整的方向和步长。
通过不断迭代计算损失函数并更新参数，最终得到一个较为优秀的模型。
3.常见类型(1) 均方误差（Mean Squared Error）均方误差是一种常见的回归问题中使用的损失函数。
它定义为预测值与真实值之间差值平方的平均值，即：$$MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y_i})^2$$其中 $y_i$ 表示真实值，$\hat{y_i}$ 表示预测值，$n$ 表示样本数。
(2) 交叉熵（Cross Entropy）交叉熵是一种常见的分类问题中使用的损失函数。
它基于信息熵的概念，用来衡量预测结果与真实结果之间的差异程度。
交叉熵越小，模型性能越好。
二、目标函数1.定义目标函数（Objective Function）是在机器学习中用来衡量模型整体性能的函数。
它是由损失函数和正则化项组成的。
2.作用目标函数是用来优化模型参数的重要工具。
在训练过程中，我们通过不断迭代计算目标函数并更新参数，最终得到一个较为优秀的模型。
3.常见类型(1) 均方误差加正则化项（L2正则化）L2正则化是一种常见的正则化方法，在均方误差基础上增加一个权重平方和作为正则化项。
它有助于防止过拟合现象发生。
$$L=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y_i})^2+\lambda\sum_{j=1}^{m}w_j^2$$其中 $\lambda$ 是超参数，控制着正则化项的强度。
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1、Gradient Descent
Gradient descent(steepest descent)，也叫批量梯度下降 法Batch Gradient Descent，BSD，利用一阶的梯度信息找 到函数局部最优解的一种方法，主要迭代公式如下:
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深度学习(Deep Learning)及其优化方法
胡海根
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Outline
深度学习基本介绍
Loss Function一般形式及数学概念
深度学习梯度优化方法
深度学习优化方法
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深度学习的概念
什么是deep learning? 深度学习：一种基于 无监督特征学习和特征层 次结构的学习方法。 本质：通过构建多隐 层的模型和海量训练数据， 来学习更有用的特征，从 而最终提升分类或预测的 准确性。 含多隐层的多层感知器 就是一种深度学习结构。
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数学概念
1、梯度（一阶导数）
某一点的梯度方向是在该点坡度最陡的方向，而 梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡；
对于一个含有 n 个变量的标量函数，即函数输入 一个 n 维 的向量，输出一个数值，梯度可以定 义为：
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如上图，其实就是限制每次得到的表达code尽量稀疏。因 为稀疏的表达往往比其他的表达要有效。
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RBM
3、限制波尔兹曼机（RBM） 定义：假设有一个二部图，同层节点之间没有链接，一 层是可视层，即输入数据层（v)，一层是隐藏层(h)，如果 假设所有的节点都是随机二值（0，1）变量节点，同时假设 全概率分布p(v,h)满足Boltzmann分布，称这个模型是RBM。
数学概念
3、Jacobian 矩阵
Jacobian 矩阵实际上是向量值函数的梯度矩阵，假设 F:Rn→Rm 是一个从n维欧氏空间转换到m维欧氏空间的函 数。这个函数由m个实函数组成:
这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩 阵(m by n)，这就是所谓的雅可比矩阵：
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稀疏自动编码器
2、稀疏自动编码器(Sparse AutoEncoder) AutoEncoder的基础上加上L1的Regularity限制（L1主要是约 束每一层中的节点中大部分都要为0，只有少数不为0）， 就可以得到Sparse AutoEncoder法。
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RBM
给定隐层h的基础上，可视层的概率确定：
（可视层节点之间是条件独立的） 给定可视层v的基础上，隐层的概率确定： 给定一个满足独立同分布的样本集：D={v(1), v(2),…, v(N)}， 我们需要学习参数θ={W,a,b}。 最大似然估计： 对最大对数似然函数求导，就可以得到L最大时对应的参数 W了。
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DL训练过程
第二步：自顶向下的监督学习 这一步是在第一步学习获得各层参数进的基础上，在最 顶的编码层添加一个分类器（如，SVM等），而后通过带 标签数据的监督学习，利用梯度下降法去微调整个网络参数。
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DL训练过程
深度学习的具体模型及方法： 1、自动编码器（ AutoEncoder ） 2、稀疏自动编码器(Sparse AutoEncoder) 3、限制波尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machine） 4、深信度网络（Deep Belief Networks） 5、卷积神经网络（Convolutional Neural Networks）
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DBN
DBNs由多个限制玻尔兹曼机（RBM）层组成，一个典型的 神经网络类型如下图所示。
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CNN 5、卷积神经网络（Convolutional Neural Networks） 卷积神经网络是一个多层的神经网络，每层由多个二维平面 组成，而每个平面由多个独立神经元组成。CNNs是第一个 真正成功训练多层网络结构的学习算法。
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自动编码器
1、自动编码器（ AutoEncoder ） 通过调整encoder和decoder的参数，使得重构误差最小， 就得到了输入input信号的第一个表示了，也就是编码 code了。
因为是无标签数据，所以误差的来源就是直接重构后与 原输入相比得到。
数学概念
2、Hesse 矩阵（二阶导数）
Hesse 矩阵常被应用于牛顿法解决的大规模优化问题，主 要形式如下：
当 f(x) 是下列形式： 其中 x为列向量，A 是 n 阶对称矩阵，b 是 n 维列向量， c 是常数。f(x) 梯度是 Ax+b, Hesse 矩阵等于 A。
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DL训练过程
深度学习的基本思想： 对于Deep Learning，需要自动地学习特征，假设有一堆输 入I，输出是O，设计一个系统S（有n层），形象地表示为： I =>S1=>S2=>.....=>Sn => O，通过调整系统中参数，使得它 的输出仍然是输入 I ，那么就可以自动地获取得到输入 I 的一 系列层次特征，即S1，..., Sn。 用自下而上的无监督学习 1）逐层构建单层神经元。 2）每层采用wake-sleep算法进行调优。每次仅调整一层， 逐层调整。
核心思想：局部感受野、权值共享以及时间或空间子采样这 三种结构思想结合起来获得某种程度的位移、尺度、形变不 变性。
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Loss Function一般形式
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Loss Function一般形式
回归函数及目标函数
以均方误差作为目标函数（损失函数），目的是 使其值最小化，用于优化上式。