汇总高校量子力学考研试题

习题1

一、填空题

1．玻尔的量子化条件为。

2．德布罗意关系为。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_____________________________________

__________________________________________________________

5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率

为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率

为。

6．波函数的标准条件为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子

___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是。

10．厄密算符的本征函数具有。

11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为

_______________________________________________。

12.______;_______;_________。

28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。

14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。

15．隧道效应是指__________________________________________。

16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。

17．为氢原子的波函数，的取值范围分别

为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符

与态矢量的关系为__________。

20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为

____________________________。

21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。

21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为

，本征值为出现的几率为。

22．原子跃迁的选择定则为。

23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。

24．为泡利算符，则，，

。

25．为自旋算符，则，，

。

26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________，

_______________________________。

27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是

______________。

27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,

玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。

27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态下，自

旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。

27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则

的意义为_____________________；

_________________。

二、计算题

1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为

，。

求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。

2．一维运动粒子的状态是

其中，求

（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

（利用公式）

3．设在表象中，的矩阵表示为

其中，试用微扰论求能级二级修正。（10分）

4．在自旋态中，求。（10分）

5．各是厄密算符。试证明，也是厄密算符的条件是对易。6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。

7．求自旋角动量在方向的投影

的本征值和所属的本征函数。

8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场

中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）

（基态波函数，利用公式

）

9．证明下列关系式：

1．， 2.

3. ,

4.

(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)

10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。

11．为厄密算符，（为单位算符），。（1）求算符的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。

12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。

13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。

14．证明下列算符的对易关系。

1．；

2. ()

3.设算符与它们的对易式对易，即：，证

明：

15．设有两个电子，自旋态分别

，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态（）的几率分别为：（20分）。

16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。