一元二次方程面积问题

解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于 8cm2
根据题意，得 1 ?2x?(6 ? x) ? 8
D
C
整理，得
x2
?
2
6x
?
8
?
0
解这个方程，得 x1 ? 2, x2 ? 4
Q
Q 0 ? x ? 6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于 8cm2
A
B
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,
动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点
P引平行于 BC,AC 的直线与 AC,BC分别
交于R、Q.当AP等于多少厘米时 ,平行
四边形PQCR的面积等于 16cm 2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x ?8-x?? 16
整理得：x2 ? 8x ? 16 ? 0
20
32
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有 190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得
x (1+x) =190 ×2 X2＋ X －380＝0
解得X1＝19， X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
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例3、求截去的正方形的边长
? 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片， 要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体盒子，使它的底 面积为180cm２，为了有效地利用材料， 求截去的小正方形的边长是多少cm？
? 分析 求截去的正方形的边长
? 设截去的正方形的边长为 xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式．
分别为 18厘米和 12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到 0.1 厘米） ? 2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽的 四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余下 的部分做绿地，要使绿地面积为 448平方 米，路 宽为多少 ？
补充练习： （98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个 2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长 33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
18米
2米
质点运动问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
由x2=6，得 22 ? x ? 5 2
答：这个矩形的长是 6cm，宽是5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上， 修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部 分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路 的宽应为多少？
20m
32m
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。
3. 如图，在长为 40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m2，问道路的宽为多少？
分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.
根据题意得: 240x 2 ? 120 ? 2.5x ?4 ? 8640
解方程得: x1 ? ? 9, x 2 ? 4
∵池底的边长不能为负数,∴取x=4
答:池底的边长是4m.
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水 池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修
改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的 宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3， 求原来方案的水池的长与宽各是多少米？
x
700--x
3
新方案
原方案
x+2x
700-x+2x
x
5、 在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的 X 长方形框。已知长方形钢片的长 为30cm，宽为20cm,要使制成的 长方形框的面积为 400cm2，求这 个长方形框的框边宽。
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
X
30cm
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25+100=0 得 x1=20, x2=5
当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
2 3
? 课堂练习 :列方程解下列应用题 ? 1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽
20cm
28-2x
20-2x
２８cm
? 练习、小明把一张边长为10厘米的正方形 硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方 形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如 果要求长方体的底面面积为81平方厘米， 那么剪去的正方形边长为多少?
例4:建造一个池底为正方形 ,深度为2.5m
的长方体无盖蓄水池 ,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是 240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长 .
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
解：设这个矩形的长为 xcm，则宽为 22 ? x（cm）.
根据题意，得 x( 22 ? x) ? 30
2
2
整理后，得 x2-11x+30=0
解这个方程，得 x1=5,x2=6
由x1=5得 22 ? x ? 6 (与题设不符，舍去 ) 2