2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 含解析
高考总复习北师大版数学文第八章 第七节双曲线
第七节双曲线错误!１．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线（１）在平面内；（２）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；（３）这一定值一定要小于两定点的距离．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）错误!—错误!＝１（a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤—a，y∈R x∈R，y≤—a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞），其中c＝错误!实虚轴线段A１A２叫作双曲线的实轴，它的长|A１A２|＝２a；线段B１B２叫作双曲线的虚轴，它的长|B１B２|＝２b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）１．双曲线的定义中易忽视２a＜|F１F２|这一条件．若２a＝|F１F２|，则轨迹是以F１，F２为端点的两条射线，若２a＞|F１F２|则轨迹不存在．２．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（１，错误!）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝错误!；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞错误!.３．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a２＝b２＋c２，而在双曲线中c２＝a２＋b２.４．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±错误!，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±错误!.[试一试]１．双曲线y２—x２＝２的渐近线方程是（）Ａ．y＝±xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±２x解析：选A 由题意知错误!—错误!＝１，y＝±x.２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选A 由已知可得双曲线的焦距２c＝１0，a２＋b２＝５２＝２５，排除C，D，又由渐近线方程为y＝错误!x＝错误!x，得错误!＝错误!，解得a２＝２0，b２＝５．１．待定系数法求双曲线方程的常用方法（１）与双曲线错误!—错误!＝１共渐近线的可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；（２）若渐近线方程为y＝±错误!x，则可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；（３）若过两个已知点则设为错误!＋错误!＝１（mn<0）．２．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．３．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b４．渐近线与离心率错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为错误!＝错误!＝错误!＝错误!.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[练一练]１．（２0１３·福建高考）双曲线错误!—y２＝１的顶点到其渐近线的距离等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 双曲线错误!—y２＝１的渐近线方程为y＝±错误!，即x±２y＝0，所以双曲线的顶点（±２,0）到其渐近线距离为错误!＝错误!.２．（２0１３·云南模拟）已知F（c,0）是双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：（x—c）２＋y２＝错误!c２相切，则双曲线C的离心率为________．解析：依题意得，圆心F（c,0）到渐近线的距离等于错误!c，即有b＝错误!c（注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长），c２＝２b２＝２（c２—a２），c２＝２a２，错误!＝错误!，即双曲线C的离心率为错误!.答案：错误!错误!考点一双曲线的定义及标准方程１．设F１，F２是双曲线x２—错误!＝１的两个焦点，P是双曲线上的一点，且３|PF１|＝４|PF２|，则△PF１F２的面积等于（）Ａ．４错误!Ｂ．8错误!Ｃ．２４Ｄ．４8解析：选C 双曲线的实轴长为２，焦距为|F１F２|＝２×５＝１0．据题意和双曲线的定义知，２＝|PF|—|PF２|＝错误!|PF２|—|PF２|＝错误!|PF２|，１∴|PF２|＝6，|PF１|＝8．∴|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２，∴PF１⊥PF２，＝错误!|PF１|·|PF２|＝错误!×6×8＝２４．∴S△PF１F２２．已知F１，F２为双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点，P（３,１）为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF２|的最小值为（）Ａ．错误!＋４Ｂ．错误!—４Ｃ．错误!—２错误!Ｄ．错误!＋２错误!解析：选C |AP|＋|AF２|＝|AP|＋|AF１|—２a，要求|AP|＋|AF２|的最小值，只需求|AP|＋|AF１|的最小值，当A，P，F１三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF１|＝|PF１|＝错误!，∴|AP|＋|AF２|＝|AP|＋|AF１|—２a＝错误!—２错误!.３．（２0１３·广东高考）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（３,0），离心率等于错误!，则C 的方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选B 由题意可知c＝３，a＝２，b＝错误!＝错误!＝错误!，故双曲线的方程为错误!—错误!＝１．[类题通法]１．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．２．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有：１已知离心率求渐近线方程；２已知渐近线求离心率；３已知离心率确定渐近线夹角问题；４利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.角度一已知离心率求渐近线方程１．（２0１３·新课标卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则C的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±x解析：选C ∵e２＝错误!＝错误!＝１＋错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴y＝±错误! x.角度二已知渐近线求离心率２．设双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y＝x２＋１只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．５Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 设双曲线的一条渐近线方程为y＝kx，由题可知这条直线与抛物线y＝x２＋１相切，联立错误!整理得x２—kx＋１＝0，则Δ＝k２—４＝0，解得k＝±２，即错误!＝２，故双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.角度三由离心率研究渐近线夹角问题３．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率e＝错误!，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．解析：∵e＝错误!，∴e２＝２，即错误!＝２，又c２＝a２＋b２，∴错误!＝１, 即错误!＝１，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是错误!.答案：错误!角度四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围４．（２0１３·惠州模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!＞２，∴e＝错误!＝错误!＞错误!＝错误!.[类题通法]解决渐近线与离心率关系的问题方法（１）已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝错误!或m＝错误!讨论．（２）注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系[典例] （２0２错误!，直线y＝kx—１与双曲线E的右支交于A，B两点．（１）求k的取值范围；（２）若|AB|＝6错误!，点C是双曲线上一点，且OC＝m（OA＋OB），求k，m的值．[解] （１）由错误!得错误!故双曲线E的方程为x２—y２＝１．设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得（１—k２）x２＋２kx—２＝0．１∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故错误!即错误!所以１＜k＜错误!.（２）由１得x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，∴|AB|＝错误!·错误!＝２错误!＝6错误!，整理得２8k４—５５k２＋２５＝0，∴k２＝错误!或k２＝错误!.又１＜k＜错误!，∴k＝错误!，所以x１＋x２＝４错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２）—２＝8．设C（x３，y３），由OC＝m（OA＋OB），得（x３，y３）＝m（x１＋x２，y１＋y２）＝（４错误!m,8m）．∵点C是双曲线上一点，∴80m２—6４m２＝１，得m＝±错误!.故k＝错误!，m＝±错误!.[类题通法]１．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x（或y）的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．２．与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．[针对训练]已知双曲线E的中心为原点，F（３,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（—１２，—１５），则E的方程．解：设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），由题意知c＝３，a２＋b２＝9，设A （x １，y １），B （x ２，y ２），则有： 错误! 两式作差得：错误!＝错误!＝错误!＝错误!， 又AB 的斜率是错误!＝１，所以将４b ２＝５a ２代入a ２＋b ２＝9得a ２＝４，b ２＝５．所以双曲线的标准方程是错误!—错误!＝１．错误![课堂练通考点]１．（２0１３·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１ 的离心率为错误!，则其渐近线方程为（ ） Ａ． y ＝±２x Ｂ．y ＝±错误!x Ｃ． y ＝±错误!xＤ． y ＝±错误!x解析：选B 在双曲线中离心率e ＝错误!＝ 错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±错误!x .２． （２0１４·哈师大附中模拟）与椭圆C ：错误!＋错误!＝１共焦点且过点（１，错误!）的双曲线的标准方程为（ ）Ａ．x ２—错误!＝１ Ｂ．y ２—２x ２＝１ Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—x ２＝１解析：选C 椭圆错误!＋错误!＝１的焦点坐标为（0，—２），（0,２），设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（m ＞0，n ＞0），则错误!解得m ＝n ＝２，故选Ｃ．３．设F １，F ２分别是双曲线x ２—错误!＝１的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则1PF ·2PF ＝0，则|1PF |＋|2PF |＝（ ）Ａ．错误! Ｂ．２错误! Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ， ∴|1PF |２＋|2PF |２＝４0，又||1PF |—|2PF ||＝２a ＝２，∴||1PF |—|2PF ||２＝|1PF |２＋|2PF |２—２|1PF |×|2PF |＝４， ∴|1PF |×|2PF |＝１8，||1PF |＋|2PF ||２＝|1PF |２＋|2PF |２＋２|1PF |×|2PF |＝76， ∴|1PF |＋|2PF |＝２错误!.４． （２0１３·江苏高考）双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线的方程为________． 解析：令错误!—错误!＝0，解得y ＝±错误!x . 答案：y ＝±错误!x５． 已知双曲线的中心在原点，焦点F １、F ２在坐标轴上，离心率为错误!，且过点P （４，—错误!）． （１）求双曲线方程；（２）若点M （３，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； （３）求△F １MF ２的面积．解：（１）∵e ＝错误!，∴可设双曲线方程为x ２—y ２＝λ. ∵过点P （４，—错误!），∴１6—１0＝λ，即λ＝6． ∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．（２）证明：法一：由（１）可知，双曲线中a ＝b ＝错误!， ∴c ＝２错误!.∴F １（—２错误!，0），F ２（２错误!，0）． ∴k MF １＝错误!，k MF ２＝错误!.k MF １·k MF ２＝错误!＝—错误!.∵点（３，m ）在双曲线上，∴9—m ２＝6，m ２＝３． 故k MF １·k MF ２＝—１．∴MF １⊥MF ２.∴1MF ·2MF ＝0．法二：∵1MF ＝（—３—２错误!，—m ）， 2MF ＝（２错误!—３，—m ）， ∴1MF ·2MF ＝（３＋２错误!）×（３—２错误!）＋m ２＝—３＋m ２.∵M 点在双曲线上，∴9—m ２＝6，即m ２—３＝0． ∴1MF ·2MF ＝0．（３）△F １MF ２的底|F １F ２|＝４错误!， △F １MF ２的高h ＝|m |＝错误!，∴S △F １MF ２＝6．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．设P 是双曲线错误!—错误!＝１上一点，双曲线的一条渐近线方程为３x —２y ＝0，F １，F ２分别是双曲线的左，右焦点，若|PF １|＝３，则|PF ２|＝（ ）Ａ．１或５ Ｂ．6 Ｃ．7Ｄ．9解析：选C 由渐近线方程３x —２y ＝0，知错误!＝错误!.又b ２＝9，所以a ＝２，从而|PF ２|＝7． ２．（２0１３·四川高考）抛物线y ２＝４x 的焦点到双曲线x ２—错误!＝１的渐近线的距离是（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．１Ｄ．错误!解析：选B 因为抛物线的焦点坐标为（１,0），而双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ，所以所求距离为错误!，故选Ｂ．３．（２0１３·深圳调研） 双曲线x ２—my ２＝１的实轴长是虚轴长的２倍，则m ＝（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．２Ｄ．４解析：选D 双曲线方程可化为x ２—错误!＝１， ∴实轴长为２，虚轴长为２ 错误!， ∴２＝２错误!，解得m ＝４．４． （２0１３·郑州模拟）如图所示，F １，F ２是双曲线错误!—错误!＝１（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF １|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F ２AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）Ａ．错误!＋１ Ｂ．错误!＋１ Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 连接AF １，依题意得AF １⊥AF ２，∠AF ２F １＝３0°，|AF １|＝c ，|AF ２|＝错误!c ，因此该双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!＝错误!＋１，选Ｂ．５．（２0１３·武汉模拟）已知P 是双曲线错误!—错误!＝１（a ＞0，b ＞0）上的点，F １，F ２是其焦点，双曲线的离心率是错误!，且1PF ·2PF ＝0，若△PF １F ２的面积为9，则a ＋b 的值为（ ）Ａ．５Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8解析：选C 设c ＝错误!，则错误!＝错误!，∴a ＝错误!c ，∴b ＝错误!＝错误!c .∵1PF ·2PF ＝0（即PF １⊥PF ２），S △PF １F ２＝9，∴|PF １|·|PF ２|＝１8．∵错误!∴错误!两式相减得，２|PF １|·|PF ２|＝４b ２，∴b ２＝9，∴b ＝３，∴c ＝５，a ＝４，∴a ＋b ＝7．6． （２0１３·惠州模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a >0，b >0）的一个焦点与抛物线y ２＝４错误!x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于错误!，则该双曲线的方程为________．解析：由已知可得抛物线y ２＝４错误!x 的焦点坐标为（错误!，0），a ２＋b ２＝１0．又双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!，∴a ＝３，b ＝１，∴双曲线的方程为错误!—y ２＝１．答案：错误!—y ２＝１7．（２0１３·陕西高考） 双曲线错误!—错误!＝１的离心率为错误!，则m 等于________． 解析：错误!⇒错误!＝错误!⇒m ＝9．答案：98．（２0１３·石家庄模拟）F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过F１的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF２是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF１|—|BF２|＝|AF２|—|AF１|＝２a，因为△ABF２是正三角形，所以|BF２|＝|AF２|＝|AB|，因此|AF１|＝２a，|AF２|＝４a，且∠F１AF２＝１２0°，在△F １AF２中，４c２＝４a２＋１6a２＋２×２a×４a×错误!＝２8a２，所以e＝错误!.答案：错误!9．设A，B分别为双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左，右顶点，双曲线的实轴长为４错误!，焦点到渐近线的距离为错误!.（１）求双曲线的方程；（２）已知直线y＝错误!x—２与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝t OD，求t的值及点D的坐标．解：（１）由题意知a＝２错误!，∴一条渐近线为y＝错误!x.即bx—２错误!y＝0．∴错误!＝错误!.∴b２＝３，∴双曲线的方程为错误!—错误!＝１．（２）设M（x１，y１），N（x２，y２），D（x0，y0），则x１＋x２＝tx0，y１＋y２＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x２—１6错误!x＋8４＝0，则x１＋x２＝１6错误!，y１＋y２＝１２．∴错误!∴错误!∴t＝４，点D的坐标为（４错误!，３）．１0．P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为错误!.（１）求双曲线的离心率；（２）过双曲线E的右焦点且斜率为１的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．解：（１）由点P（x0，y0）（x≠±a）在双曲线错误!—错误!＝１上，有错误!—错误!＝１．由题意又有错误!·错误!＝错误!，可得a２＝５b２，c２＝a２＋b２＝6b２，则e＝错误!＝错误!.（２）联立错误!，得４x２—１0cx＋３５b２＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!１设OC＝（x３，y３），OC＝λOA＋OB，即错误!又C为双曲线上一点，即x错误!—５y错误!＝５b２，有（λx １＋x２）２—５（λy１＋y２）２＝５b２.化简得：λ２（x错误!—５y错误!）＋（x错误!—５y错误!）＋２λ（x１x２—５y１y２）＝５b２，又A（x１，y１），B（x２，y２）在双曲线上，所以x错误!—５y错误!＝５b２，x错误!—５y错误!＝５b２.由１式又有x１x２—５y１y２＝x１x２—５（x１—c）（x２—c）＝—４x１x２＋５c（x１＋x２）—５c２＝１0b２，得：λ２＋４λ＝0，解得λ＝0，或λ＝—４．第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１３·河北省重点中学联考）设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F１AF２＝90°，且|AF１|＝３|AF２|，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 由题可知点A在双曲线的右支上，则|AF１|—|AF２|＝２|AF２|＝２a，则|AF２|＝a，得|AF|＝３a，由∠F１AF２＝90°，得（３a）２＋a２＝（２c）２，则e＝错误!＝错误!.１２．（２0１４·江西临川模拟）双曲线错误!—错误!＝—１（a＞0，b＞0）与抛物线y＝错误!x２有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为错误!，则双曲线的离心率等于________．解析：双曲线与抛物线x２＝8y的公共焦点F的坐标为（0,２），由题意知点错误!在双曲线上，∴错误!，得a２＝３，故e＝错误!＝错误!.答案：错误!。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第五节 椭 圆 含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．9 解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．k >4B ．k ＝4C ．k <4D ．0<k <4 解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D.答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A.12B.55C.14D.5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22 C ．1 D. 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)( a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥2 2－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8.答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端。
2019版理数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线
课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1B. 3C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以ba ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca ＝ 1＋(ba )2＝2，故选C.答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c 2＝3＋1，选D. 答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1解析：依题意⎩⎨⎧a 2＋b 2＝251＝ba ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. 答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为 ．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(3)2b 2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于 ．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为 ． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，ba ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为 ．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97. 答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，ba＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－ba x )，|OB |＝x 2＋(－ba x )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2. 答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a 2c －c ，则tan θ＝y n －y m 1＋y n ×y m＝m －n mn y ＋y，由m －n ＝c －a >0，得当mny ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n 2mn ＝c －a 2(a 2c －a )(a2c －c )＝e 21＋e，故选C. 答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为 ．解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a ＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca ＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为 ．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝b a x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－a b (x －c )．联立可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，y ＝－a b (x －c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2c ，y ＝ab c ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2ab c )，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a 2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 ．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，求P A →·PB →的值．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.。
2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练文含解析北师大版202102201
第八章 平面解析几何第七节 双曲线 课时规X 练 A 组——基础对点练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36 D.236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653 D.－63解析：kx 2－ky 28＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.答案：B3．(2020·某某滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.23B ．1 C ．2 D.4解析：由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO |＝12|MF 1|＝4.答案：D4．(2020·某某永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 2－y 2＝2 D.y 2－x 2＝2解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D5．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±94x B ．y ＝±49xC ．y ＝±32x D.y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中，a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .答案：C6．(2020·某某模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( ) A ．3 B ．2 C.53D.54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝c a ＝54.答案：D7．(2020·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P 、Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为( ) A.3B ．1＋3C ．2＋3D.4＋23解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c2a＝|F 1F ||QF 1|－|QF |＝23－1＝3＋1.答案：B8．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2) D.(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C.答案：C9．已知双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝110．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧8m ＋n ＝1， －m n ＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝－1. 则双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1B 组——素养提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2B ．22C ．4 D.8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4. 答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值X 围为( ) A ．(1，5) B ．(1，5]C ．(5，＋∞) D.[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，则由题意得b a>2，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C13．设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52B ．102 C.152D.5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B14．(2020·某某市高三监测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值X 围是( )A ．(1，52)B ．(52，＋∞)C ．(1，54) D.(54，＋∞)解析：依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜b ax ，y ＞－ba x所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋（b a）2∈(52，＋∞)，选B.答案：B15．(2020·某某模拟)已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16，所以△F 1MF 2的面积S ＝12m ′n sin 60°＝43.答案：4316．(2020·某某模拟)已知P 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M 到各边的距离分别为|MA |，|MB |，|MC |，切点分别为A ，B ，C ，由三角形的内切圆的性质则有：|CF 1|＝|AF 1|，|AF 2|＝|BF 2|，|PC |＝|PB |，所以|PF 1|－|PF 2|＝|CF 1|－|BF 2|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＋|AF 2|＝2c ，所以|AF 1|＝a ＋c ，则|OA |＝|AF 1|－|OF 1|＝a .因为M 的横坐标和A 的横坐标相同，所以M 的横坐标为a .答案：a。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线含答案解析
课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A.答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.答案：A5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，直线l：y＝2x－2.若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为() A．1 B．2C. 5 D．4解析：根据题意，双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，其焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±bax，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，可知ba＝2，直线l：y＝2x－2与x轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0)，即a＝1，则b＝2a＝2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2，故选B.答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5＋12B．2C. 2 D．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为焦点F(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为a，所以bca2＋b2＝a，即bcc＝a，所以ba＝1，所以该双曲线的离心率e＝ca＝1＋(ba)2＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1 B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝1解析：由题意得e＝1＋b2a2＝54，又右焦点为F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1. 答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c 2＝3＋1，选D. 答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a×2，解得⎩⎨⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. 答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为 ．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(3)2b 2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于 ．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为 ． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为 ． 解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97. 答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝c a ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y24＝1D.x 24－y212＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D. 答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－ba x )，|OB |＝x 2＋(－b a x )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2. 答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e 1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a 2c －c ，则tan θ＝y n －y m 1＋y n ×y m ＝m －n mn y ＋y，由m －n ＝c －a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mn y ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n 2mn ＝c －a2(a 2c －a )(a 2c －c )＝e21＋e，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为 ． 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a ＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝c a ＝2. 答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为 ．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上， 则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－ab (x －c )，即y ＝－ab (x －c )． 联立可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2c ，y ＝ab c ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2ab c )，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a 2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 ．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，求P A →·PB →的值．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cosπ3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB→|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.。
2019高三数学文北师大版一轮教师用书第8章 第7节 双曲线 Word版含解析
第七节双曲线[考纲传真].了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).理解数形结合思想.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．双曲线的定义()平面内到两定点，的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于)的点的集合叫作双曲线．这两个定点，叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作焦距．其中，为常数且＞，＞.()集合＝{－＝}，＝，其中，为常数且>，>.①当<时，点的轨迹是双曲线；②当＝时，点的轨迹是两条射线；③当>时，点不存在．．双曲线的标准方程及简单几何性质.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为＝±，离心率为＝. [知识拓展]．巧设双曲线方程()与双曲线－＝(＞，＞)有共同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠)()等轴双曲线可设为－＝λ(λ≠)()过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝(＜)．焦点三角形的面积双曲线－＝(＞，＞)上一点(，)与两焦点构成的焦点三角形中，若∠＝θ，则△＝··θ＝θ－θ)·.．离心率与渐近线的斜率的关系＝＋，其中是渐近线的斜率．．过焦点垂直于实轴的弦长过焦点垂直于实轴的半弦长为.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面内到点()，(，－)距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．( ) ()方程－＝(>)表示焦点在轴上的双曲线．( )()双曲线－＝λ(>，>，λ≠)的渐近线方程是－＝，即±＝.( )()等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )[答案]()×()×()√()√．(教材改编)已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．．。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 Word版含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知，y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14， 从而有4y 2－x＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程． (2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20， 从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4， 令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334. 4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1. (2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2 12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎨⎧ Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p， 因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p， 解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2 ＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )． 由|FM |＝ (c ＋c )2＋(233c －0)2＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x＋1)2＝6，又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0， 因此m >0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈(23，233)． ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0.因此m <0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈(－∞，－233)． 综上，直线OP 的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)． 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y 2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)． 在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)， 所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0， 由Δ＝0，可得k ＝2y 2， 所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22. 联立，得⎩⎨⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ， 所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切．。
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课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋(ba)2＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4， 3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝x 2＋(－bax )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a 2c －c ，则tan θ＝y n －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y ＋y ，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n2mn ＝c －a 2(a 2c －a )(a 2c－c )＝e21＋e ，故选C. 答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为________． 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A在圆F 上，所以b 2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca ＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎨⎧x ＝a 2c，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________． 解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.答案：－38。