2018年沪科版八年级数学上册《第15章 轴对称图形与等腰三角形》测试题含答案

第15章检测卷时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是()2．点P(－2，1)关于x轴对称的点的坐标为()A．(2，－1) B．(－2，1)C．(2，1) D．(－2，－1)3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为()A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC.若∠BAD＝110°，则∠BAC的度数为()A．30°B．40°C．50°D．70°5．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为() A．50°B．45°C．40°D．35°6．如图，已知△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C与点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD.若AE＝4cm，则△ABD的周长是() A．20cm B．18cmC．15cm D．22cm7．如图，已知△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论中正确的是()①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.A．①②③④B．①②C．②③D．①③8．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于()A．75°B．15°C．75°或15°D．30°9．如图，在等边△ABC中，中线AD、BE交于点F，则图中等腰三角形的个数有() A．3个B．4个C．5个D．6个10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，此时∠AMN＋∠ANM的度数为() A．130°B．120°C．110°D．100°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200米，则山的高度为________米．12．△ABC的三边AB、BC、CA长分别为12、10、6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________．13．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝________°.14．如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE于点G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是__________(填序号)．①AE＝DB；②不另外添加辅助线，图中的全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG 是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图是一个8×10的方格纸，在△ABC中，A点的坐标为(－2，1)．(1)△ABC和△A′B′C′满足什么几何变换(直接写出答案)?(2)作△A′B′C′关于x轴的对称图形△A″B″C″；(3)求A″、B″、C″三点的坐标(直接写出答案)．16．已知点A(a＋b，2)与点B(－b，a－b)关于y轴对称，求b a的值．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D.18．如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”C应修建在什么位置？请在图上标出它的位置(尺规作图，保留痕迹)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在的直线对折，使点A落在平面上的点F处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若EF＝2，∠ADB＝30°，求DF的长．20．如图，在△ABC中，BA＝BD，CA＝CE，∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC.若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm.(1)求线段BC的长；(2)连接OA，求线段OA的长；(3)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．七、(本题满分12分)22．如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形．(1)试证明△AEF≌△CDE；(2)△ABC是等边三角形吗？请说明你的理由．八、(本题满分14分)23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与点A、C不重合)，点Q是CB延长线上一点，点Q同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)．过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；(2)在运动过程中线段DE 的长度是否发生变化？如果不变，求出线段DE 的长；如果变化，请说明理由．参考答案与解析1．A 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C9．D 解析：△CDE ，△DEF ，△ADE ，△BDE ，△ABF ，△ABC 都是等腰三角形，共6个．故选D.10．B 解析：如图，作点A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″的长即为△AMN 的周长最小值．∵∠DAB ＝120°，∴∠A ′＋∠A ″＝180°－∠BAD ＝60°.由对称可得∠A ′＝∠MAA ′，∠NAD ＝∠A ″.又∵∠A ′＋∠MAA ′＝∠AMN ，∠NAD ＋∠A ″＝∠ANM ，∴∠AMN ＋∠ANM ＝2(∠A ′＋∠A ″)＝2×60°＝120°.故选B.11．100 12.6∶5∶313．60 解析：∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∴∠B ＝∠BCE ＝40°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠BCE ＝80°，∴∠A ＝180°－∠B －∠ACB ＝60°.14．①③④ 解析：∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，∴AC ＝DC ，EC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB .在△ACE 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACE ＝∠DCB ，CE ＝CB ，∴△ACE ≌△DCB (SAS )，∴AE ＝DB ，∠CAE ＝∠CDB ，故①正确；∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠DCE .在△ACF 与△DCG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF ＝∠CDG ，AC ＝DC ，∠ACF ＝∠DCG ，∴△ACF ≌△DCG .同理可得△BCG ≌△ECF ，故②错误；∵△ACF ≌△DCG ，∴CF ＝CG .∵∠FCG ＝60°，∴△CFG 是等边三角形，故③正确；如图，过点C 作CM ⊥AE 于点M ，CN ⊥BD 于点N ，∴∠AMC ＝∠DNC ＝90°.在△ACM 与△DCN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAM ＝∠CDN ，∠AMC ＝∠DNC ，AC ＝DC ，∴△ACM ≌△DCN ，∴CM ＝CN ，∴CH 平分∠FHG ，故④正确．故答案为①③④.15．解：(1)轴对称．(2分) (2)△A ″B ″C ″如图所示．(5分)(3)A ″(2，－1)，B ″(1，－2)，C ″(3，－3)．(8分)16．解：∵点A (a ＋b ，2)与点B (－b ，a －b )关于y 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－（－b ），2＝a －b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－2，∴b a ＝(－2)0＝1.(8分) 17．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠D .∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠CBD ，∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝2∠D ，∴∠C ＝2∠D .(8分)18．解：如图，作∠NOM 的平分线和线段AB 的垂直平分线，它们的交点为C ，则C 点就是英语角的位置．(8分)19．(1)证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝∠ADC ＝90°.由折叠的性质可得AB ＝FB ，∠F ＝∠A ＝90°，∴DC ＝BF ，∠C ＝∠F .在△DCE 和△BFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠F ，∠DEC ＝∠BEF ，DC ＝BF ，∴△DCE ≌△BFE (AAS )．(5分)(2)解：由折叠的性质可得∠BDF ＝∠ADB ＝30°，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADB －∠BDF ＝30°.由(1)可知△DCE ≌△BFE ，∴EC ＝EF ＝2.在Rt △DCE 中，∠CDE ＝30°，∴DE ＝2CE ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝4＋2＝6.(10分)20．解：∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ＝12(180°－∠B )＝90°－12∠B .∵CA ＝CE ，∴∠CAE＝∠CEA ＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C ，(4分)∴∠DAE ＝180°－∠CEA －∠BDA ＝180°－(∠BDA ＋∠CEA )＝180°－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫90°－12∠B ＋⎝⎛⎭⎫90°－12∠C ＝12(∠B ＋∠C )＝12(180°－∠BAC )＝12(180°－100°)＝40°.(10分) 21．解：(1)∵l 1是AB 边的垂直平分线，∴DA ＝DB .∵l 2是AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC .∵△ADE 的周长为6cm ，∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝DA ＋DE ＋EA ＝6cm.(4分)(2)∵l 1是AB 边的垂直平分线，∴OA ＝OB .∵l 2是AC 边的垂直平分线，∴OA ＝OC ，∴OA ＝OB ＝OC .∵OB ＋OC ＋BC ＝16cm ，BC ＝6cm ，∴OB ＝OC ＝12(16－6)＝5(cm)，∴OA ＝5cm.(8分)(3)∵∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝60°.由(1)可知DA ＝DB ，EA ＝EC ，∴∠BAD ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠ACB ，∴∠DAE ＝∠BAC －∠BAD －∠EAC ＝∠BAC －∠ABC －∠ACB ＝120°－60°＝60°.(12分)22．解：(1)∵BF ＝AC ，AB ＝AE ，∴AF ＝CE .∵△DEF 是等边三角形，∴EF ＝DE .又∵AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDE (SSS )．(5分)(2)△ABC 是等边三角形．(7分)理由如下：由(1)可知△AEF ≌△CDE ，∴∠FEA ＝∠EDC ，∴∠BCA ＝∠EDC ＋∠DEC ＝∠FEA ＋∠DEC ＝∠DEF .又∵△DEF 是等边三角形，∴∠DEF ＝60°，∴∠BCA ＝60°.同理可得∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(12分)23．解：(1)∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵∠BQD ＝30°，∴∠QPC ＝90°.(2分)设AP ＝x ，则PC ＝6－x ，QB ＝x ，∴QC ＝QB ＋BC ＝6＋x .(4分)∵在Rt △QCP 中，∠CQD ＝30°，∴PC ＝12QC ，即6－x ＝12(6＋x )，解得x ＝2，∴AP ＝2.(6分)(2)在运动过程中线段DE 的长度不会改变．(8分)如图，过P 作PF ∥BC 交AB 于点F ，则∠1＝∠2.∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝60°.∵PF ∥BC ，∴∠AFP ＝∠ABC ＝60°，∠APF ＝∠C ＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP ＝FP .∵PE ⊥AB ，∴AE ＝FE ＝12AF ，即AF ＝2EF .(10分)又∵P 、Q 两点的运动速度相同，∴AP ＝BQ ，∴FP ＝BQ .在△BDQ 和△FDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BQ ＝FP ，∴△BDQ ≌△FDP (AAS )，∴DB ＝DF ，∴BF ＝2DF .(12分)∵AF ＋BF ＝AB＝6，∴2EF ＋2DF ＝6，∴EF ＋DF ＝3，即DE ＝3.(14分)。