行列式讲解
《九章算术》行列式-概述说明以及解释
《九章算术》行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述九章算术是中国古代数学经典之一，行列式是九章算术中的重要内容之一。
在数学研究和实际应用中，行列式有着广泛的应用和重要性。
本文旨在介绍九章算术中的行列式，包括其定义和性质，计算方法以及在数学和应用领域中的具体应用。
行列式可以看作是一个方阵所具有的一种性质或特征，它具有许多重要的数学性质。
九章算术中，行列式的定义和性质被详细研究和总结，并被广泛应用于解决各种数学问题。
行列式的计算方法也是九章算术中的重要内容之一，通过一系列的运算和变换，可以得到方阵的行列式值。
行列式作为一种数学工具，不仅在纯数学研究中发挥着重要的作用，同时也有广泛的应用领域。
在线性代数、概率论、统计学等数学领域中，行列式被用于解决线性方程组、计算变量相关性、判断矩阵的可逆性等问题。
此外，在工程、物理、经济学等应用领域中，行列式也被广泛应用于解决实际问题，例如电路分析、力学问题、经济模型等。
本文将从九章算术的角度出发，详细介绍行列式的定义和性质，阐述行列式的计算方法，并举例说明行列式在数学和应用领域中的具体应用。
通过深入理解九章算术中行列式的内容，我们可以更好地应用行列式解决实际问题，并探索行列式在未来的发展和研究方向。
总之，行列式是九章算术中的重要组成部分，具有广泛的应用和重要性。
通过对行列式的研究和应用，我们可以更好地理解和应用九章算术，同时也可以在数学和应用领域中解决实际问题，推动行列式研究的发展。
在接下来的内容中，我们将详细介绍九章算术中行列式的各个方面，以期让读者对行列式有一个全面且深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，它对于读者来说非常重要，可以为读者提供一个清晰的框架，使他们能够更好地理解和掌握文章的内容。
本文将按照以下结构展开叙述：2.正文：2.1 九章算术简介在本部分中，将对九章算术的起源、发展以及其在数学领域中的地位和作用进行介绍。
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
第一章行列式第一讲
（2）消去变换法：通过行列的加减使大部分元素变为零，然后进行计算。 例：计算 1 2 3 n x 1 2 n 1 D得
1 x 0 0 D 0 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 0 x 1 x x 1 1 1 1 1 1
a00
a00
....
a00
1 1 1 1 k 1 k .... a1k x1 a1k x2 a1k xn1 k k 0 k 0 k 0 D .... .... .... . n 1 n 1 n 1 n 1 k n 1 k .... an1k xnn 1 k an1k x1 an1k x2 k 0 k 0 k 0 1 1 x1 x2 n 1 ai0 .... .... i0 x1n 1 x2n 1 .... .... .... 1 xn n 1 a (x x ) . i i 0 j 0 1 j i n i .... xnn 1
令右下角的元素1=x+(1-x)将行列式表示为两个行列式之和得
1 x 1 1 0 1 x 0 0 1 x D 0 0 0 x x x
0 1 x 1 1 0 0 1 x 0 0 0 1 x 0 1 x 0 0 0 0 x 1 x x x x
的第i列，则有
三、行列式的计算
（1）提公因子法：将行列式某行(列)的公因子提出来，再进行计算。 例：计算
矩阵求导的行列式法则
矩阵求导的行列式法则矩阵求导是数学中十分重要的一部分，它涉及到许多数学应用和实际问题的解决，如物理学、工程学、金融学等。
其中，在矩阵求导的过程中，行列式法则是一种常用的求导方法，下面我们将对行列式法则进行简要的介绍和应用。
一、行列式的定义在讲解行列式法则之前，我们先来了解一下行列式的定义。
行列式是一个数学概念，其可以用于描述矩阵的性质和变换。
在矩阵的行列式中，每个元素的所处行列的位置是有序的，若 i<j，则第 i 行元素在第 j 行元素的上面，而第 i 列元素在第 j 列元素的左侧。
行列式的数值即为其中元素的乘积和正负号的乘积之和。
以一个 3 阶矩阵为例，其行列式的计算方式表示如下：$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a _{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$二、行列式法则在矩阵求导中，行列式法则是一种常用的求导方法，它可以依据行列式的定义计算矩阵函数的导数。
行列式法则将计算矩阵求导的问题转化为计算矩阵的行列式，具体公式如下：$\frac{\partial \det(\mathbf{X})}{\partial\mathbf{X}}=\det(\mathbf{X})(\mathbf{X}^{-1})^T$其中，$\mathbf{X}$ 为一个 $n\times n$ 矩阵，$\mathbf{X}^{-1}$ 表示 $\mathbf{X}$ 的逆矩阵，$T$ 表示转置。
该公式表明，在矩阵函数求导的过程中，其导数可以用原矩阵的逆矩阵和行列式的乘积来表示。
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
考研线性代数行列式的计算方法
考研线性代数行列式的计算方法线性代数中的行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵论以及其他数学和工程学科中有着广泛的应用。
本文将介绍如何计算行列式以及相关的一些重要性质。
1.行列式的定义和表示方式：一个 n 阶方阵 A 的行列式可以表示为 det(A)，也可以用竖线括起来 A 的元素的形式表示为，A。
2.二、三阶行列式的计算：二阶行列式计算公式为：，A，=a11×a22-a12×a21三阶行列式计算公式为：，A，=a11×a22×a33+a12×a23×a31+a13×a21×a32-a13×a22×a31-a12×a21×a33-a11×a23×a323.行列式的性质：a.若A是一个n阶方阵，则，A，=，A^T，即行列式的值不受转置的影响。
b. 若 A 是一个 n 阶上三角矩阵（即主对角线以下的元素全为零），则，A，= a11 × a22 × ... × ann，即上三角矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。
c. 若 A 是一个 n 阶方阵且存在一个可逆矩阵 P，使得 PA 是一个上三角矩阵，则，PA， = ，A，× ，P，= a11 × a22 × ... ×ann × ，P。
d.若A是一个对称矩阵，则，A，=λ1×λ2×...×λn，其中λ1,λ2,...,λn是A的n个特征值。
e.若A,B是两个n阶矩阵，则，AB，=，A，×，B。
4.行列式按列展开法：设 A 是一个 n 阶方阵，其行列式为，A。
对于任意一列 j，可以按第 j 列展开，A，= a1j × A1j - a2j × A2j + ... + (-1)^(n+j)× anj × Anj，其中 Akj 表示 A 的剩余元素经过剔除第 j 列和第 k行后的 (n-1) 阶方阵。
§1.5 行列式的性质
§1.5 行列式的性质行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。
行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。
了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。
行列式的性质包括：1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。
3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。
5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。
6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。
7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。
8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。
9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。
这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。
它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。
掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。
接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。
对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。
这意味着行列式具有交换性和反对称性。
对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}$$使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
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设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个
数码（显然 mn 0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 m2 mn 。
例如：在排列451362里，m1 2, m2 4, m3 2, m4 m5 m6 0. 所以这个排列有8个序。
排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也
能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的
行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n！个.
我们用符号 ( j1, j2 , , jn ) 表示排列 j1, j2 , , jn 的反序数.
定义2 用符号
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此，
对（1）施行对换 i,j
相i,当j 于连续施行2s+1次相邻数码的
对换。由1。1o ，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改
变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇
偶性相反。
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其 中奇偶排列各占一半.即各为 n! 个。 证明：设n个数码的奇排列共有p2 个，而偶排列
an1 an2 ann
表示的n阶行列式指的是n!项的上的n个元 素的乘积 a a 1 j1 1 j2 a1 jn . 项 a a 1 j1 1 j2 a1 jn 的符号为 (1) ( j1 j2 jn ) , 也就是说,当 j1, j2 , jn 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 j1, j2 , jn 是奇排列时,这一项的 符号为负.
D1 D
, x2
D2 D
, x3
D3 D
,
这里
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一 工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.
一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇 排列。
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里 的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不 动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的 这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j） 来表示。
一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
例题选讲
例
计算
4 3
.
52
2
又如 , 设 D
, 试问
31
(1) 当 为何值时 D 0 ; (2) 当 为何值时 D 0 .
解:由阶行列式的定义有:
4
3 4 2 (3) 5 23
52
而D 2 2 3 31
(1)当D 2 3 0时,得 0或 3. (2)当D 2 3 0时,得 0或 3.
我们用记号 a21 a22 a23
a31 a32 a33
表示代数和
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
称为三阶行列式, 即
主对角线法
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
‘—’三元素乘积取“+”号；
反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数
增多一个。若在给定的排列中，i j, 那么经过对换
后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。
2o 现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我
们用 k1, k2 , , ks 来代表。这时给定的排列为
（1） ,i, k1, k2 , , ks , j, .
(1)st , s (i1i2 in ), t ( j1 j2 jn )
证: 如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素 的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换, 假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为
三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
二阶行列式
我们用记号 a11 a12
a21 a22
表示代数和 a11a22 a12a21 称为二阶行列式, 即
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式
a11 a12 a13
D acfh adeh b deg bcfg.
转置
a11 a12 a1n
一个n阶行列式 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式 a11 a21 an1
D a12 a22 an2 a1n a2n ann
3.3.1 n阶行列式的定义
定义1
用n2个元素aij (i, j 1,2, n) 组成的记号 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann
称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列.
任意取 n 2 个数 aij (i 1,2, , n; j 1,2, , n), 排成以下形式:
n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。
计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2个，那么就有 m2个数
a12 x2 a22x2
b1 b2
它的系数作成的二阶行列式 a11 a12 0 ,那么方程组(1)有解 a21 a22
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
, x2
a21 a11
b2 . a12
a21 a22
a21 a22
(2)
如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)
D叫D的转置行列式。
引理3.3.1 从n阶行列式的第i1,i2 , ,in行和第j1, j2 , , jn列 取出元素作乘积
（3）
a a a , i1 j1 i2 j2
in jn
这里 i1,i2, ,in和j1, j2, , jn 都是1，2，…，n
这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是
a31 a32 a33
‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
(1)
如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
aa2111xx11
a11 a12 a1n
(1)
a21 a22 a2n
an1 an2 ann .
考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积.这种乘积可以写成下面的形式:
(2)
a1 j1 a1 j2 a1 jn ,
这里下标 j1, j2 , , jn 是1,2,…,n这n个数码的一个
先让i向右移动，依次与 k1, k2 , , ks 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为
, k1, k2 , , ks ,i, j, .
再让j向左移动，依次与 i, ks ,, , k2 , k1 交换。经过s+1次
相邻的两个数码的对换后，排列变为
（2） j, k1, k2 , , ks ,i, .
第三章 行列式
3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列 3.3 n阶行列式 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 3.5 克拉默法则 课外学习6：行列式计算方法 课外学习7：q_行列式及其性质
能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于 这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－1921)
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j, 得
A B
, j,i, ,
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数 码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排
列中，i j, 那么经过对换 i, j后，i与j就构成一个
例1 我们看一个四阶行列式
a00b
0cd 0
D
.
0e f 0
g00h
根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个 行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外， 其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上 面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其 中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排 列.因此