典型例题与习题2

用反证法。 则齐次方程组Ax=0有非 证: 用反证法。设det(A) = 0, 则齐次方程组 有非 零解 u =[u1, u2, ···, un ]T. 设
|| u ||∞ =| uk | 考虑 =0的第 个等式 考虑Au 的第 的第k个等式 a k 1 u1 + L + a kk uk + L + a kn un = 0
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Ex7.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足 设 是一个可逆矩阵 是一个可逆矩阵， Xk+1=Xk(2I – A Xk )，（ =0，1，2，……） ，（k ， ， ， ，（ ） 证明:当 证明 当 ρ ( I − AX 0 ) < 1 时
lim X k = A −1
k →∞
证明： 证明：由Xk+1=Xk(2I – A Xk )，得 ， I – AXk+1 = I – A Xk(2I – A Xk )= (I – A Xk )2 于是 I – AXk =(I – A Xk -1)2 × =(I – A Xk -2)2×2 = ··········
A11 A 12 A* = M A1n A21 L An1 A22 L An 2 M O M A2 n L Ann
的右上角元素均为零,所以 的逆矩阵仍是下三角阵 的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵
Ax = b, 将矩阵分裂 A = D – U – L 将矩阵分裂:
= ( I − AX 0 )
2k
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X k = A [ I − ( I − AX 0 ) ]
2k
−1
ρ ( I − AX 0 ) < 1
−1
lim ( I − AX 0 )
k →∞
2k
2k
=0
lim X k = lim A [ I − ( I − AX 0 ) ] = A −1
k →∞ k →∞
阶顺序主子式对应的矩阵为A 。 阶顺序主子式对应的矩阵为 k,(k = 1,2,···,n)。设 Ak −1 = Lk −1U k −1 (k > 1 ) L1=1,U1 = a11 , T α k = [ak 1 ak 2 L ak ,k −1 ] β k = [a1k a2 k L ak −1,k ]T
n n n j =1 j≠k j =1 j≠k j =1 j≠k
| a kk | ⋅ | uk |=| ∑ a kj u j |≤ ∑ | a kj u j | ≤ ∑ | a kj | ⋅ | uk |
两边约去 |uk|，得 ，
| a kk |≤ ∑ | a kj |
j =1 j≠k
n
这与主对角占优矛盾, 这与主对角占优矛盾 故det(A) ≠0。 。
特征多项式与特征方程: 特征多项式与特征方程
|λI – (D – L)-1U| = |(D – L )-1|·|λ(D– L ) – U | |λ(D– L ) – U | = 0
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Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组 是严格主对角占优矩阵， 是严格主对角占优矩阵 AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。 的高斯的高斯 赛德尔迭代法收敛。 证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D – L )-1U,该矩阵的特 高斯-赛德尔迭代矩阵为 , 征方程为
Jacobi 迭代法的迭代矩阵
特征多项式与特征方程: 特征多项式与特征方程
BJ = D-1(U+L)
| λI – D-1(U+L)| = |D-1|·|λD – (U+L) | | λD – (U+L) | = 0 Gauss-Seidel迭代法的矩阵 BG-S= (D – L)-1U 迭代法的矩阵: 迭代法的矩阵
Ex8 设 A∈R n×n 为对称正定矩阵 定义 为对称正定矩阵,定义 ∈ || x ||A = x T Ax
上的一种向量范数。 证明 || x ||A 是 R n 上的一种向量范数。
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Ex 9. 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。 Ex10 .设 A=(aij)n×n为可逆上三角矩阵，证明 × 为可逆上三角矩阵， A-1 仍为上三角矩阵。 仍为上三角矩阵。 Ex11 . 求上三角矩阵的逆阵
Ak −1 β k 求 Ak = T 分解. 的 LU 分解 a kk αk Ex4. 设 n 阶矩阵 A 是严格主对角占优矩阵。高斯消 是严格主对角占优矩阵。 元法一步后,A约化为 元法一步后 约化为 T
a11 α 1 0 A2
也是严格主对角占优 严格主对角占优矩阵 证明 A2 也是严格主对角占优矩阵。
|λ(D– L ) – U | = 0
a 12 L
行列式对应的矩阵为
λa 11 λa 21 C (λ ) = M λ a n1
λa 22
M
λa n 2
a1n L a 2n O M L λa nn
矩阵的主对角占优性质， 当|λ | > 1时，利用 矩阵的主对角占优性质，得 时 利用A矩阵的主对角占优性质
迭代公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
( k +1)
=X
(k )
+ ω (b − AX
(k )
)
讨论使迭代序列收敛的ω 的取值范围.
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Ex14 证明 n 阶矩阵 的特征值为
kπ λk = 2 cos n+1
0 1 1 0 1 S= O O O 1 0 1 1 0
( k = 1,2,···, n ) ,
1 2 1 − 2 5 3 − 2 A= 3 5 3
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Ex12 :求矩阵的 2-范数,
以及2-范数意义的条件数
1 1 1 − 1 1 − 1 Q= − 1 − 1 1 1 −1 −1
1 1 1 1
Ex13 .有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵 且有 为对称正定阵,且有 ,
1 || X k − A ||≤ || X k +1 − X k || 1− q
−1
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C(λ) = |λ(D– L ) – U | = 0
的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D – L )-1U 是严格主对角占优矩阵时, 的根。所以当 是严格主对角占优矩阵时 的特征值必然满足： 的特征值必然满足：|λ | < 1，从而高斯-赛德尔迭代矩 ，从而高斯阵谱半径小于1 迭代法收敛。 阵谱半径小于1，迭代法收敛。
Ex5. 设A=(aij)n×n 为可逆下三角矩阵，证明 . × A-1 仍为下三角矩阵。 仍为下三角矩阵。
证明: 证明: 设
a11 a A = 21 M a n1 a 22 M an 2 O L a nn
当i > j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵 故
−1 2 − h2 O −1 O −1 2 − h2
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Ex15 求n阶矩阵 的特征值
2 − h2 −1 A=
O
− 1 2 − h2 −1
ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I –AB如果 || R ||≤ q <1 ，试证明 (1) A–1 = B ( I + R + R2 + …… )； ； (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2，…… ) ， ， ， 产生的矩阵序列{ Xk }收敛到矩阵A-1； (3)对矩阵序列{ Xk }，有误差估计式 ，
|| B|| || x − x*||≤ || x(k) − x(k−1) || 1−|| B||
(k)
定理4.3 若 Ax = b 的系数矩阵 A 是严格对角占优矩 阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛
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Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵 则 det(A) ≠0. 如果 是严格主对角占优矩阵,
《数值分析》典型例题 II
三、四章内容提要
典型例题分析 思考题与练习题
一、解线性方程组直接法
顺序消元法、列主元法、 顺序消元法、列主元法、追赶法 矩阵的直接分解、对称矩阵 矩阵的直接分解、 的LU分解 分解 二、向量和矩阵的范数 向量范数、算子范数、三种 向量范数、算子范数、 矩阵范数、 矩阵范数、矩阵的条件数 三、解线性方程组迭代法 Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、 迭代、 迭代、 迭代、 迭代 迭代 迭代 迭代收敛性、 初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法* 初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法
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| λa ii |=| λ | × | a ii |>| λ | ∑ | a ij | = ∑ | λ | × | a ij | ≥ ∑ | λa ij | +
j =1 j≠i j =1 j≠i j =1
n
n
i −1
j = i +1
∑| a
n
ij
|
也是严格主对角占优矩阵。 故C(λ)也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占 也是严格主对角占优矩阵 优矩阵的行列式不为零， 优矩阵的行列式不为零，故λ不是特征方程
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=
=
消元法使用的条件 定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) ≠ 0 (k=0,1,···,n-1)的 矩阵A的各阶顺序主子式不为零 的各阶顺序主子式不为零. 充分必要条件是 矩阵 的各阶顺序主子式不为零 定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有