矩阵典型习题解析
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
矩阵典型习题解析
2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAa m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等设 A （a ij ）mn; B （b ij ）mn若a ij b ij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称A与B相等，记为A=B。
2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij )mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ；②( A+B ) +C=A+( B+C )③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2) 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② ( K+L) A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 nAB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)ABA CA3)方阵的幂①定义：A(a ij )n，则 A k A KA ②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
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2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!2.1 知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表a11 a12 a1na2na m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等设 A (a ij )mn; B (b ij )mn若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C )③ A+O=A④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵2．数与矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA ,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则nAB C (C ij )mp ,其中 C ija ikb kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)A BA CA3)方阵的幂①定义：A (a ij ) n ，则 A k A KA②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k4．矩阵的转置 (1)定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ，(2) 运算规律①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ;④ (AB)T B T A T 。
（3）对称矩阵与反对称矩阵若 A T A,则称 A 为对称阵；A T A ，则称 A 为反对称阵。
5．逆矩阵（1）定义：设 A 为n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 B ，使得 AB=BA=E ，则称 A 为可逆阵， B 为 A 的逆矩阵，记作 B A 1 。
（2）A 可逆的元素条件：A 可逆 A 0（3）可逆阵的性质① 若 A 可逆，则 A -1也可逆，且 （A -1）-1=A ； ② 若A 可逆， k ≠0，则 kA 可逆，且（kA ） 1 1A 1；k③ 若 A 可逆，则 A T 也可逆，且 （A T ） 1 （A 1）T ； ④若 A ，B 均可逆，则 AB 也可逆，且 （AB ） 1 B 1A 1。
（4）伴随矩阵①定义： A * （A ij ）n T ，其中 A ij 为a ij 的代数余子式， ② 性质：i) AA * A *A AE ； ii ) A * A n1； * * n 2iii )(A *)* A n 2A ；iv )若A 可逆，则 A *也可逆，且 (A *)1 (A 1)* 1A A2.1.3 方阵的行列式做方阵 A 的行列式，记为 A 或 detA③用伴随矩阵求逆矩阵公式： A 1A *1．定义：由 n 阶方阵 A 的元素构成的 n 阶行列式（各元素的位置不变）叫2．性质：（1） A T A ， 2) kA k n A ，3) AB A B ，3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵 (1) 单位阵 E ： E 1; E 1 E ；1(2) 数量矩阵 kE ： kE k n;当k 0时,(kE) 1 1E k（3）对角阵：1212n11121n4． 上（下）三角阵a 11*设A, 则 A a 11a 22 a nna nn若 A 0 ，则 A 1 仍为上（下）三角阵2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换① 交换两行（列）；② 某行（列）乘一个不为零的常数 k ；③ 某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。
2．初等矩阵（1）定义：将 n 阶单位阵 E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵； 交换 i ,j 两行（列），记为 E （i, j ）； 第i 行（列）乘以不为零的常数 k 记为 E （i （k ）） ；4) A若 1 2 n 0 ，则精品文档第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i ；2) 初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而[ E (ij )] 1E(ij) [E(i(k))] 1E(i 1)k[E(j(k)i)] 1E[ j( k)i]3) 方阵A 可逆与初等阵的关系若方阵 A 可逆，则存在有限个初等阵P1,P2, ,P t，使 A P1P2 P t，4) 初等阵的行列式E(ij) 1, E(i(k)) k,5) 初等阵的作用：对矩阵 A 进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵左(右)乘矩阵A，且E(ij)A A, E(i(k))A k A, E(j(k)i) A3．矩阵的等价(1)定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，(2)A与B等价的三种等价说法，①A 经过一系列初等变换变到B；②存在一些初等阵E1, ,E s,F1, ,F t，使得E s E1AF1 F t B③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B2.1.5 分块矩阵1．分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2．分块矩阵的运算1)设A，B 为同型矩阵，采用相同的分法有A11 A A21 A1tA2tB11B21B1tB2tB s1 B stE(j(k)i) 1精品文档AB (A ij B ij ) (i 1,2, ,s; j 1,2,,t)2)kA (kA ij ) (i 1,2, ,s; j 1,2,,t)3)设 A (a ij )mn ,B (b ij )np,分块成A 11A 1tB 11B 1rABA s1A stB t1B tr其中 A i1,A i2 , ,A it 的列数分别等于 B 1j ,B 2j ,,B tj的行数，则AB C (c ij)sr ，其中c ijtA ikB kj(i 1,2,3,,s; j 1,2, ,r)k13．准对角阵（1）定义：形如A 1AA2A i 为 n i 阶方阵的矩阵称为准对角阵。
A s2）准对角阵的行列式及逆矩阵A 1逆，且A 11A 21A s 13）特殊的准对角阵A 1A 2若 A 1, A 2可逆，则 A1A 11ii ) AA 1A 2，若 A 1, A 2可逆，则 A1A 21 A 11iii )A 是 B 0, C 0, 则 A B C设AA 2则AA 1 A 2A s ；若每个 A i 可逆，则 A 可A 1B1DB则 c=解：由 4 1 a 5得a =0, c 11 =4而 -1+2b+6=-1 得 b=-3, c 22 =-7 从而 c=提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心2、设 A 为三阶矩阵，且 A 4,则（ 21 A ）2 .解：（ 1 A )21A 2 31gA 2 12444易错提示 ：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错1误就是对矩阵进行行列式计算时，把 （1A ）2 的阶数给忘记计算。
23、设 A 为3 3矩阵，B 为4 4，且 A 1， B 2，则 B A ___.解： B A B 3 A 2 g1 8.A 1B 1B 1DC 1C 1iv )A0 ,BC0,C0，则2.2.1 矩阵的运算 1、若 2L 1L 1L bL 2 1L 22L 1 3L 12.2 c111经典题型解析5cc22易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时B A B A 2 3g1 2是我们常犯的错误。
k4、设A 1L 2L 3 ，B 1L 1L 1 ，则A T B ___.k解：A T B A T B g A T B A T B A T ( BA T )( BA T ) (BA T)B1 1L 1L 1k 1 k 16k 1 2 1L 1L 6k 1 2L 2L 23 3L 3L 31 易错提示：本题关键是要求我们注意到A T B是矩阵，但BA T = 1L 1L 1 2 =63 却是数，k1L L11L1L1倘若先计算ATB2L2L2，然后再求2L2L2，则计算式相当繁琐的3L3L33L3L31L0L 15、设A0L1L 0，求A n0L0L 1解：方法一：数学归纳法.1L0L11L0L2因为A0L1L0，A2 AgA0L1L0，0L0L10L0L11L 0L 332A3 A2gA 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1一般的，设A n-1 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1 1L 0L 1 1L 0L n 则A n A n 1gA 0L 1L 0 0L 1L 0 0L 1L 00L 0L 1 0L 0L 1 0L 0L 11L 0L n所以，有归纳法知 A n 0L 1L 0 。
0L 0L 164 n 7个A48 方法二：因为 A 是初等矩阵，A n EgAgA A ，相当于对单位矩阵1L 0L 0E= 0L 1L 0 ，施行了 n 次初等列变换(把第一列加到第三列)，故 0L 0L 11L 0L nA n 0L 1L 0 。
0L 0L 1方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。
1L 0L 1 1L 0L 0 0L 0L 1令A= 0L 1L 00L 1L 0 0L 0L 0 E B ，0L 0L 10L 0L 10L 0L 00L 0L 1其中 B 0L 0L 00L 0L 00L 0L 1 0L 0L 10L 0L 0又因为B 20L 0L 0 0L 0L 00L 0L 0 ， 所以 B k O(k 2)0L 0L 0 0L 0L 00L 0L 01L 0L n故有 A nEnngEn1B E nB 0L 1L 0 .0L 0L 1提示：除上述方法外， 本题还可以与后面的特征值联系起来计算， 方法也算不少， 读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。