矩阵理论第一二章 典型例题

《矩阵理论》第一二章 典型例题
一、 判断题
1．A n 为阶实对称矩阵，n
R x 对中的列向量， ||x |A
x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )
2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22
2
1
||||n
m i i A λ==∑
.
( )
3. 如果m n A C ⨯∈，且0A ≠，()H
AA AA --=, 则2||||A A n -
=. ( )
4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( )
5. 设m n
A R
⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222
1
||||n
i i A σ==∑. ( )
6. 设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||
E A A -->
-,
其中E 为n 阶单位矩阵. ( )
7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2
||||m A =
( )
8. 设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )
9.设n
n C
A ⨯∈可逆，n
n C
B ⨯∈，若对算子范数有1
||||||||1A
B -⋅<，则B A +可逆.
( )
10. 设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n
A C
⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A
∞
=. ( )
12. 如果12(,,,) T n
n x x x x C =∈，则1||||m in i i n
x x ≤≤=是向量范数. ( )
13. 设,n n A C ⨯∈则矩阵范数
m A
∞
与向量的1-范数相容. ( )
14、设n n
A C
⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩
阵. ( )
二、 设m n
A C
⨯∈，,||||ax ||ij i j
A a =
，证明:
(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.
三、 试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且A x x λ=和Ay y μ=，其中，λμ≠，那么x 与y
正交.
四、 (1) 设(1)n n
A C
n ⨯∈>为严格对角占优矩阵，1122
(,,,)nn D diag a a
a = ，其中
(1,2,,)ii a i n = 为A 的对角元，E 为n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||⋅使得
1
()1r E D
A --<.
(2) 设n n
A C
⨯∈, ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。

证明：至少存在一个矩
阵范数||||A 使得||||().A r A ε≤+
五．设矩阵U 是酉矩阵, 12diag (,,,)n A a a a = , 证明: U A 的所有特征值λ满足不等式
{||}||{||}max min i i i
i
a a λ≤≤.
六. 设||||a ⋅是n n C ⨯上的相容的矩阵范数, 矩阵,B C 都是n 阶可逆矩阵, 且1
||||a B -及
1
||||a C
-都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵n n
A C
⨯∈
||||||||b a A BAC =
定义了n n
C
⨯上的一个相容的矩阵范数.
七．设A 是可逆矩阵, λ是A 的一个特征值, 对于任意的算子范数||||⋅, 证明1
1||||||
A
λ-≥
.
八. 设A 是Hermite 矩阵()H
A
A =，且A
的特征值12n λλλ=== ，证明矩阵A 的
Rayleigh 商恒等于1λ.
九．已知n n C ⨯中的两种矩阵算子范数|| ||a 与|| ||b , 对于任意矩阵n n A C ⨯∈, 验证 ||||||||||||a b A A A =+是n n C ⨯中的相容矩阵范数.
十．设矩阵m n r A C ⨯∈的非零奇异值为12,,,r σσσ (0r >), 求证
1
2
21
||||().r
F i i A σ==∑
十一. 设矩阵n n A C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是n C 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数, 令
()L x Ax =, 证明:
||||11
||||1
m ax ||()||||||||||m in ||()||v v v
x v
y L x A A
L y =-==⋅.
证明: 根据算子范数的定义, 有||||1
max ||()||||||x L x A ==,
1
1
1
||||1
||||1
||||||||111||||max
max
||||||||
||||
min ||||
min ||()||
min
||||
y A
x
x y y y y A x y A
Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠====
=
,
结论成立.
十二. 设矩阵n n A C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n n H C ⨯∈, 使得H A 为Hermite 矩阵.
十三. (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则
,||||m ax ||a ij i j
A n a =⋅
是矩阵范数.
(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y ,p q =+⊥⊥其中，求2
||||m A .。