第十章图与网络优化

第一节
1 . 图与子图
图的基本概念
为顶点集，
图G ( , E )，其中V ,,v V v
1
E e ,, e 为边集。
1
子图G ( , E ), 其中V V , E E。 V
如 G： e1 v1 e2 e3 e4 v2 e6 v3 G1： v1 e2 e3 e4 v2 e6 v3
（3，3）
（2）可增值链（增广链）
：中的正向弧集 D中由vs至vt的链，记 ， ：中的反向弧集 中弧皆非饱和弧 若 ，则称为D中关于可行流f 的 中弧皆非零流弧 一条可增值链。
d(vs , v j ) min{d(vs ,vi ) i j }
• 为了求得这个方程的解d(vs，v1)，d(vs，v2)，…， d(vs，vp)(这里p为图中点数)，可用如下递推公式： • 开始时，令 (1) • d (vs ,v j ) s j ,(j=1，2，…，p) 对t=2, 3, …令
3. 基本概念与定理
f 饱和弧： c (1) 弧按流量分为未饱和弧：f c 零流弧：f 0
如：在前面例举的网络流问题中，若已给定一个可行流 （如括号中后一个数字所示），请指出相应的弧的类型。
v2 （4，3） v4
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
若l
l l
若l
第二步：若存在l 0,(1 i p), 计算终止，说明D中含有
(k ) ii
包含顶点vi的负回路，由ij( k )找出此回路；否则k=k+1
第三步：当k=p时，计算终止。若存在l
( p) ij (k ) ij
, 说明D中
不含有顶点vi到v j的路，否则记dij l 表示由顶点vi到v j 的最短路 相应最短路可由 找出
1
1
) d 挑选其中与v 距最短（min c 的v 进行标号。
ij j 7 7
i
j
1
4. 重复3，直至终点（本例即v ）标上号[d ,v ]，则
i
d 即最短距，反向追踪可求出最短路。
7
用标号法解例3
v2 2 v1 3 5 1 v4 5 v3 2 7 5 3 v5 v6 1 7 5 v7
最短距为13； 最短路为v1-v2-v3-v5-v6-v7。
（vi，vj ）上的流量。问应如何安排流量fij可使D上
通过的总流量v最大？
v2 4 1 5 2 1 v4
例如：
vs
3
3
5
vt 2
v1
v3
2. 数学模型
问题：最大流问题的决策变量、目标函数、约束条件各 是什么？
决策变量： 各弧（v ,v ）上的流量f ,
目标函数： Max v v( f )
0 f c （容量约束） v ( f ), i s 约束条件： i s , t （平衡条件） f f 0, v ( f ), i t
e5
e7 v4
e5
v4
简单图：无环、无多重边的图。
2 . 关联与相邻
关联（边与点关系）：若e是v ,v 二点间的边，
1 2
记e [v ,v ], 称v (或v )与e关联。
1 2 1 2
相邻（边与边、点与点）：点v 与v 有公共边，
1 2
称v 与v 相邻； e 与e 有公共点，称e 与e 相邻。 边
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2 2 v1 3 5 1 v4 5 v3 2 7 5 3 v5 v6 1 7 5 v7
避圈法是一种选边的过程，其步骤如下：
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj； 2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V 1 ，其中 V 与已选边相关联的点集， ， V 不与已选边相关联的点集； ，
比较：
无向图：边[v i ,v j ]，链 有向图：弧（v i ,v j ），路
，圈 ，回路
5. 树
例1 已知有5个城市，要在它们之间架设电 话线网，要求任2城市都可通话（允许通过其它城 市），并且电话线的根数最少。
v1 v2 v3 v4 v5
特点：连通、无圈。 树——无圈的连通图，记为T。
(k )
与L( k 1)相应元素相同，其他元素按下式计算，并填入L( k )
l
(k ) ij
min{l
( k 1) ij
,l
( k 1) ik
(k ) ij (k ) ij
l
( k 1) kj
( k 1) ij ( k 1) ij
}

(k ) ij
( ij k 1) ( k 1) ik
试用网络分析中求最短路的方法确定公司可采用 的最优策略。
方法：以年号作顶点绘图，连线表示连续使用期间，以
费用作路长。
第四节. 最大流问题
1. 问题 已知网络D=（V，A，C），其中V为顶点 集，A为弧集，C={cij}为容量集， cij 为弧（vi，vj ） 上的容量。现D上要通过一个流f={fij}，其中fij 为弧
十、图与网络分析
• 图论的起源与发展 – 欧拉在1736年发表了图论方面的第一篇论文，解决 了著名的哥尼斯堡七桥问题。 – 七桥问题： • 哥尼斯堡城中有一条河，河中有两个岛，河上有 七座桥。当时那里的居民热衷于这样的问题：一 个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一次， 最后回到出发点。 – 欧拉将此问题归结为一笔画问题。即能否从某一点 开始，不重复地一笔画出这个图形，最后回到出发 点。欧拉证明了这是不可能的.
1 2 1 2 1 2
3 . 链与圈
链：由G中的某些点与边相间构成的序列 e v e e v v ，
1 1 2 2 1
若满足e [v ,v ], 则称此边点序列为G中的一条链。
1
Leabharlann Baidu圈：封闭的链。
连通图：图G中任二点间至少存在一 条链。
4. 有向图与无向图
图G ( , E ), 也可记G ( , v ,v ]).若点对[v ,v ]无序， V v [ 称G为无向图；否则称G为有向图。为区别起见，称有向图 的边为弧，记（v ,v ), 在图上用箭线表示。
4、Floyd算法
(0) 开始（k=0）作距离矩阵 L(0) (lij )和序号矩阵（0） (ij(0) )，其中：
(vi , v j ) A wij l (vi , v j ) A ij(0) j (i, j 1, 2, p )
(0) ij
第一步：k r (1 r p), L 中第k行和第k列元素保持
性质：G连通，则G必有部分树。 证：破圈、保连通。
7.网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci 0）。
网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。
第二节. 最小部分（支撑）树问题
问题：求网络D的部分树，使其权和最小。
方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。
v4
给每点vj标号[dj，vi]，其中dj为v1至vj的最短 距，vi为最短路上的前一点。
标号法步骤：
1. 给v 标号[0，v ];
1 1
V 2. 把顶点集V分为互补的两部分 V 3. 考虑所有这样的边[v ,v ], 其中v
i j
1 i
1
:已标号点集， : 未标号点集； V ,v V ,
v1
v2 v3 v4
v5
树的性质：（1）树的任2点间有且仅有1链；
（2）在树中任去掉1边，则不连通；
（3）在树中不相邻2点间添1边，恰成1圈；
（4）若树T有m个顶点，则T有m-1条边。
6.图的部分（支撑）树
若图G=（V，E）的子图T=（V，E’）是树， 则称T为G的部分树或支撑树。 特点——边少、点不少。
d (vs ,v j ) min{d
(t ) i
(t 1)
(vs ,vi ) i j }
j=1，2，…，p • 若进行到某一步，例如第k步时，对所有j=1，2，…， p，有 d(k) (vs ,v j ) d(k 1) (vs ,v j ) (k) • 则 {d (vs ,v j )} j = 1,2,, p 即为vs到各 点的最短路的权。
1 1
3. 考虑所有这样的边v ,v ], 其中v V 1 ,v V 1 , 挑选 [ 其中权最小的；
4. 重复3，直至全部顶点属于 1 (即V 1 )。 V
用避圈法解例2
v2
2
v1• 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
最小部分树如图上红线所示； 最小权和为14。
能通话且总架设费用最少的架设方案。
C
5
10 A 8 B
8
9 7 6
5
9
E 2 D 3 F
3
4
第三节. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3
v6 1 7
5
v7
v5 5 2. 方法：标号法（Dijkstra，1959）
d (t)(v1 ,v j )
i=2 0 -5 -2 -7 1 -1 5
i=3 0 -5 -2 -7 -3 -1 -5 6
I=4 0 -5 -2 -7 -3 -1 -5 6
寻求最短路的另一个办法是在求出最短路的权 以后，采用“反向追踪”的方法。 比如已知d(vs，vj)， 则寻求一个点vk，使d(vs，vk)+wk j=d(vs，vj)， 记录下(vk，vj)， 再考查d(vs，vk)，寻求一点vi， 使d(vs，vi)+wik=d(vs，vk)， 如此等等，直至到达vs为止， 于是从vs到vj的最短路是(vs,…,vi，vk，vj)
(k ) ij
v2 3 v1 4 3 -4 v3 3 v5 -1 v4 2
9
最短路问题的应用例子
某汽车公司正在制订5年内购买汽车的计划。 下面给出一辆新汽车的价格以及一辆汽车的使用 维修费用(万元)：
年号 价格 汽车使用年龄 维修费用 1 2 0–1 0.7 2 2.1 1–2 1.1 3 2.3 2–3 1.5 4 2.4 3–4 2 5 2.6 4–5 2.5
算法2（破圈法）：在图中找圈，并删除其中最大边。如此进 行下去，直至图中不存在圈。
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
最小部分树问题的应用例子
已知有A、B、C、D、E、F六个城镇间的道路网络 如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架 设），每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均
• 现介绍当赋权有向图中存在具负权弧时，求最 短路的方法。 • 为方便起见，不妨设从任一点vi到任一个点vj都 ( 有一条弧(如果在D中，vi , vj ) A ，则添加弧(vi， vj)。令wij=+∞)。 • 显然，从vs到vj的最短路总是从vs出发，沿着一 条路到某个点vi，再沿(vi，vj)到vj的(这里vi可以 是vs本身)， • 由于从vs到vi的这条路必定是从vs到vi的最短路， 所以d(vs，vj)必满足如下方程：
• Dijkstra算法只适用于所有wij≥0的情形，当赋权有向图 中存在负权时，则算法失效。 • 例如在如图所示的赋权有向图中，如果用Dijkstra方法， 可得出从v1到v2的最短路的权是1， • 但这显然是不对的，因为从v1到v2的最短路是(v1，v3， v2)，权是-1。
3. 逐次修正算法
• 如上例，由表，d(v1，v8)=6，
•因d(v1，v6)+w68=(-1)+7=d(v1，v8)，故记下(v6，v8)。
•因d(v1，v3)+w36=d(v1，v6)，故记下(v3，v6)。 •因d(v1，v7)+w73=d(v1，v3)，从而从v1到v8的最短路是 (v1，v3，v6，v8)。
• 例 求图所示赋权有向图中从v1到各点的最短路。
•解 利用上述递推公式，求解结果如表所示 (表中未写数字的空格内是+∞)。
点 v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 0 6 v2 -1 0 -3 -1 -1 -3 v3 -2 0 ωij v4 3 2 -5 0 0 1 1 2 0 1 0 -5 7 0 v5 v6 v7 v8 i=1 0 -1 -2 3