中考数学专题“胡不归”经典讲解
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胡不归
知识背景:
从前,有一个小伙子在外地当学徒,当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后,便立即启程日夜赶路。由于思念心切,他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B (如图1所示:A 是出发地,B 是目的地,AC 是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带),当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时,老人刚刚咽了气,小伙子不觉失声痛哭,邻舍劝慰小伙子时告诉说,老人在弥留之际还不断喃喃地叨念:胡不归?胡不归?这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子要提前到家是否有可能呢?倘有可能,他应该选择条怎样的路线呢?这就是风靡千年的“胡不归问题”.
由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样,那么,小伙子有没有可能先在驿道上走一程后,再走沙砾地,虽然多走了路,但反而总用时更短呢? 设在沙砾地行驶速度为1v ,在驿道行驶速度为2v ,显然1v <2v . 思路:不妨假设从C 处进入砂砾地.设总共用时为t,t=
1v BC +2v AC =1v 1(BC+2
1v v
AC). 因为1v ,2v 是确定的,所以只要(BC+
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v v AC)最小,用时就最少。可以A 为顶点作一条射线ON ,使得∠MAN=α,且sin α=
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v v ,过点C 作AN 的垂线,交于点E ,这样
2
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v v AC=CE,当点B 、C 、E 在一条直线上时,即过点B 作AN 的垂线交AM 于点D ,交AN 于点F ,即(BC+
2
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v v AC)的值最小为BF ,小伙子可以先在驿道上走到点D 处,然后再走砂砾地。这样时间可以更短。
总结:在驿道上从点A走到点D的距离,其实就相当于,在砂砾上走了DF的距离,而 AB>BF,所以从点A直接到点B,用的时间肯定比先从点A到D再从点D到B所有的时间。
“胡不归”模型建立:
如图所示,已知sin∠MBN=k,点 P为角∠MBN其中一边 BM上的一个动点,点A在射线BM、BN的同侧,连接AP,则当“PA+k·PB”最小时,P点的位置如何确定? (构造的角的正弦值为PB线段的系数值)
分析:本题的关键在于如何确定“k·PB”系数化为1,过点P作PQ⊥BN垂足为Q,则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, “PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值,即A、P、Q三点共线时最小。
证明:直线外一点到直线上任意一点的距离垂线段最短,也就是点到直线的距离。
1
注意:当k值大于1时,则提取k,构造某角正弦值等于系数
k
解题策略:“胡不归”模型中涉及到两个定点,一个动点,且动点在直线上运动。
第一步:在系数不为1的线段的定端点处作一个角,使其的正弦值等
于此线段的系数.(注意题目中有无特殊角)
第二步:过动点作上一步的角的边的垂线,构造直角三角形.
第三步:根据两点之间线段最短,找到最小值的位置.
第四步:计算.
例题讲解:
如图四边形ABCD 是菱形,AB =6,且∠ABC =60°,M 为对角线BD (不含
B 点)上任意一点,则 AM +2
1
BM 的最小值为 . 解题思路:此题点A,B 是定点,点M 在BD 上运动。可将
2
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BM 化为系数为1的线段,题目出现了特殊角 ∠DBC =30°,只要过点M 作BC 的垂线交于点N , 即可将
21BM 转化为MN ,即AM +2
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BM=AM+MN , 过A 点作BC 的垂线交BD,BC 分别于点M ,N. 此时AM +
2
1
BM 的最小值为AN. 证明:直线外一点到直线上任意一点的距离垂线段最短。 变式思考:(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗? 解题思路:可以将2AM +BM 提取一个2,即2AM +BM=2(AM+
2
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BM ),同上述的解题思路。
变式:如图,AC 是圆O 的直径,AC=4,弧BA=120°,点D 是弦AB 上的
一个动点,那么OD+
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BD 的最小值为______. 解题思路:此题可将2
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BM 化为系数为1的线段,构造
“胡不归”模型之前,一定要在点B 处作一个角
使得sin∠B=
2
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,只要过点B 作AC 的平行线BK 。 过点D 作BK 的垂线交于点E,2
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BM=DE,即
OD+2
1
BD=OD+DE,过点O 作BK 的垂线交于点M,当
E 点与M 点重合时,OD+2
1
BD ,最小值为OM.
如图,等腰△ABC 中,AB=AC=3,BC=2,BC 边上的高为AO ,点D 为射线AO 上一点,一动点P 从点A 出发,沿AD-DC 运动,动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒,动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒,则当AD= 时,运动时间最短为 秒.
解题思路: 求运动时间最短,可根据v s
t =
,先表示出时间出来, 点P 在AD 上运动的时间为3
AD
,在DC 上运动的时间
为1CD ,所以总时间为t=AD 31+CD .建立“胡不归”
模型,过点D 作AB 的垂线交于点E ,因为sin∠BAO=31
,
所以AD 31
=DE 即t=DE +CD ,过点C 作AB 的垂线交
A0,AB 分别于点D ,E.此时DE +CD 最小值为CE , 即可确定点D 的位置使得运动时间最短。
O
D D E
B
A E
C