2019年华南理工大学高数下答案.doc
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对弧长的曲线积分
22，其中曲线C 是
y2ax x 2在 0x2a 的一段弧
a0
、计算x y ds。1
C
解： C 的参数方程为x2a cos2
y2a cos sin2
02 2a cos
22
2 4a2 cos4a2
原式2a sin 22a cos2d
44
2、计算x 3y3ds ，其中 L 星形线x a cos3 t, y a sin3 t 在第一象限的弧
L
0t。
2
4
cos4 t sin4 t 7
sin6 t cos6 t2
7
解：原式 2 a33a cost sin tdt3a 3a3 06
3、计算xyzds，其中为折线 ABC ，这里 A , B , C 依次为点
0,0,0 , 1,2,3 , 1,4,3 。
x t x1
解： AB 段参数方程y2t0t 1， BC 段参数方程y22t0t 1
z3t z3
xyzds xyzds 1
614t 3dt
1
12t dt
原式
012
AB BC
3
1
13
14t 412t6t21418
202
4、计算x2y2 ds ，其中为螺旋线x t cost , y t sin t , z t 上相应于t从 0 到1
的弧。
解：方法一
1221
原式t2sin t t cost t 2 2 t 2 dt
cost t sin t1dt
00
1122121 t 2 t 2 t dt t 2 t 2 t2 20201
2
1
t
2
2
2 t 2 dt
2 t
2t 2
3
3 1 2 2 t 2
dt
1 2 t 2
dt
2
t
3 3
1
1
3 3
1 1
1
原式
2 t
2 dt
2
ln t
2 t
2 4
2
4
2 t 2 t
2
3
1
ln 1 2 3
2 2
方法二、
原式
1 2 cost 2
sin t t cost
2
1 2 2 t 2
dt
t
t sin t 1dt
t
1
1
t
2 2 t 2
1
1 1
2
2t dt
u 2 u du
2 0
2
1
u 2
1
1 1
2
0 2
du
u
1
1
1
2
u
1 1du
1
1
u 1
2
u 1
1
2
1
2
1 2
1
u 1
1du
2
1 0
1
du
2
u 1
1
1 1
2
1
2
1
3 u 1du ln u 1
u 1 1
1
2 0
2 0
3 1 1
u 2
1du
1
ln 2
3
1
2 0
2
原式 3
1
2
3
2
ln
4
方法三、
1
2
2
1
原式
t
2
sin t
1dt
t 2 2 t 2
dt
cost t sin t
t cost
因为
t 3
2 t 2
3 t 2 2 t 2 t
4 4 2t 2 2t 2
t 2 2 t 2 1 t 2
4
4 2 t 2
2 2 t 2 t 2 t 2
t 2 t 2
2 t 2
2t 2 t 2
2 t 2
2
2
2
ln t
2 t 2
t
1 t
2 1 2 t
1 t 2
2
t 2
2
所以
t 3 2 t 2
1 2
1
ln t
2 t 2
t
2 2 t
2
4
t 2 t
2
4