理学概率论与数理统计参数估计区间估计
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若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
一、区间估计的基本概念
同样对于
所求置信区间为
由此可见，置 信水平为
的置信区间是 不唯一的。
一、区间估计的基本概念
例 设X1,…Xn是取自
的样本，
求参数 的置信度为
的置信区间.
解 选 的点估计为 ,
~ N(0, 1)
明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？
设 是 一个待估参数，给定
X1,X2,…Xn确定的两个统计量
若由样本
满足
P{θ θ θ} 1 α
则称区间 ( θ,θ ) 是 的置信水平（置信度 )为1
的置信区间.
和 分别称为置信下限和置信上限.
一、区间估计的基本概念
可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量).
一旦有了样本，就把 估计在区间
内.
这里有两个要求:
一、区间估计的基本概念
1. 要求 以很大的可能被包含在区间
内，就是说，概率
要尽可能大 .
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.
寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.
寻找未知参 数的一个良 好估计.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
一、区间估计的基本概念
对于给定的置信水平, 根据U的分布，确定一 个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信水平.
对给定的置信水平 查正态分布表得
为什么 这样取？
使
一、区间估计的基本概念
一、区间估计的基本概念
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间( , )是随机的.
因此定义中下表达式
P{ ( X1, X2 , , Xn ) ( X1, X2 , , Xn )} 1
的本质是:
随机区间( , )以1 的概率包含着参数的真值, 而不能说参数以1 的概率落入随机区间( , ).
一、区间估计的基本概念
另外定义中的表达式
P{ ( X1 , X 2 , , X n ) ( X1 , X 2 , , X n )} 1
还可以描述为 : 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间( , ), 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值,
若总体 的数学期望
有限, 则有
其中 为连续函数 .
三、矩估计法
这表明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法.
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又 用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 .
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
三、矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来 的 .由辛钦大数定理 ,
参数估计
第四节 参数的区间估计
一、区间估计的基本概念
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷 .
一、区间估计的基本概念
1、 置信区间定义
理论依据: 大数定律 矩估计法的具体做法如下： 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1,θ2 , ,θk, 那么它的前k阶矩 μ1, μ2 , , μk , 一般都是这 k 个参数
二、单正态总体的区间估计
统计量
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
Biblioteka Baidu
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
一、区间估计的基本概念
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间也不是唯一的.
对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.
1.在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时 求得的置信区间的长度为最短.
2.即使在概率密度不对称的情形，如 2分布，
F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的 置信区间.
从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间 的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少?
2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T(X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知.
一、区间估计的基本概念
4. 对于给定的置信水平 1 ，根据U(T, )
由标准正态分布的上 分位点的定义知
P
X
/
n
z
/
2
1,
即
P
X
n z / 2
X
n
z
/
2
1
,
一、区间估计的基本概念
于是得的一个置信水平为 1 的置信区间
X
n z / 2 ,
X
n
z
/
2
.
这样的置信区间常写成
X
n
z
/
2
.
其置信区间的长度为
2
n
z
/
2
.
一、区间估计的基本概念
的分布，确定常数a, b，使得
P(a <U(T, )<b) = 1
5. 对“a<S(T, )<b”作等价变形,得到如下形式
即
于是
就是 的100(1)％的置信区间.
一、区间估计的基本概念
可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个 待估参数 和估计量T 的函数U(T, ), 且U(T, ) 的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是 否已知，是怎样的类型，至关重要.
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
包含真值的约占100(1 )%, 不包含的约占100%.
一、区间估计的基本概念
例如 若 0.01, 反复抽样1000 次, 则得到的 1000 个区间中不包含 真值的约为10个.
一、区间估计的基本概念
2、置信区间的求法 在求置信区间时，要查表求分位点.
一、区间估计的基本概念
同样对于
所求置信区间为
由此可见，置 信水平为
的置信区间是 不唯一的。
一、区间估计的基本概念
例 设X1,…Xn是取自
的样本，
求参数 的置信度为
的置信区间.
解 选 的点估计为 ,
~ N(0, 1)
明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？
设 是 一个待估参数，给定
X1,X2,…Xn确定的两个统计量
若由样本
满足
P{θ θ θ} 1 α
则称区间 ( θ,θ ) 是 的置信水平（置信度 )为1
的置信区间.
和 分别称为置信下限和置信上限.
一、区间估计的基本概念
可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量).
一旦有了样本，就把 估计在区间
内.
这里有两个要求:
一、区间估计的基本概念
1. 要求 以很大的可能被包含在区间
内，就是说，概率
要尽可能大 .
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.
寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.
寻找未知参 数的一个良 好估计.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
一、区间估计的基本概念
对于给定的置信水平, 根据U的分布，确定一 个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信水平.
对给定的置信水平 查正态分布表得
为什么 这样取？
使
一、区间估计的基本概念
一、区间估计的基本概念
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间( , )是随机的.
因此定义中下表达式
P{ ( X1, X2 , , Xn ) ( X1, X2 , , Xn )} 1
的本质是:
随机区间( , )以1 的概率包含着参数的真值, 而不能说参数以1 的概率落入随机区间( , ).
一、区间估计的基本概念
另外定义中的表达式
P{ ( X1 , X 2 , , X n ) ( X1 , X 2 , , X n )} 1
还可以描述为 : 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间( , ), 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值,
若总体 的数学期望
有限, 则有
其中 为连续函数 .
三、矩估计法
这表明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法.
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又 用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 .
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
三、矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来 的 .由辛钦大数定理 ,
参数估计
第四节 参数的区间估计
一、区间估计的基本概念
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷 .
一、区间估计的基本概念
1、 置信区间定义
理论依据: 大数定律 矩估计法的具体做法如下： 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1,θ2 , ,θk, 那么它的前k阶矩 μ1, μ2 , , μk , 一般都是这 k 个参数
二、单正态总体的区间估计
统计量
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
Biblioteka Baidu
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
一、区间估计的基本概念
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间也不是唯一的.
对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.
1.在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时 求得的置信区间的长度为最短.
2.即使在概率密度不对称的情形，如 2分布，
F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的 置信区间.
从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间 的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少?
2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T(X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知.
一、区间估计的基本概念
4. 对于给定的置信水平 1 ，根据U(T, )
由标准正态分布的上 分位点的定义知
P
X
/
n
z
/
2
1,
即
P
X
n z / 2
X
n
z
/
2
1
,
一、区间估计的基本概念
于是得的一个置信水平为 1 的置信区间
X
n z / 2 ,
X
n
z
/
2
.
这样的置信区间常写成
X
n
z
/
2
.
其置信区间的长度为
2
n
z
/
2
.
一、区间估计的基本概念
的分布，确定常数a, b，使得
P(a <U(T, )<b) = 1
5. 对“a<S(T, )<b”作等价变形,得到如下形式
即
于是
就是 的100(1)％的置信区间.
一、区间估计的基本概念
可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个 待估参数 和估计量T 的函数U(T, ), 且U(T, ) 的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是 否已知，是怎样的类型，至关重要.
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
包含真值的约占100(1 )%, 不包含的约占100%.
一、区间估计的基本概念
例如 若 0.01, 反复抽样1000 次, 则得到的 1000 个区间中不包含 真值的约为10个.
一、区间估计的基本概念
2、置信区间的求法 在求置信区间时，要查表求分位点.