7.2、相对速度问题与运动学综合应用
相对速度的问题
相对速度的问题
相对速度的问题在多个领域中都有涉及，包括物理学、工程学和运动学等。
以下是一些相对速度问题的例子：
1.两等质量运动着的两物体发生弹性碰撞后速度交换。
2.火箭以一定速度飞行，燃料相对于火箭以一定速度向后喷出，火箭的速度
会如何变化。
3.一架喷气式飞机以特定速度飞行，喷出一定质量和速度的气体后，飞机的
速度会如何变化。
4.一个小孩和一辆滑板车在光滑的水平路面上以特定速度匀速运动，小孩突
然向前跳离滑板车，滑板车的速度会如何变化。
5.小明乘坐的家用轿车追赶公共汽车，两者从同一地点出发，经过一定时间
后家用轿车追上公共汽车，这是运用相对速度的思路来解决的问题。
这些例子展示了相对速度问题在不同场景中的实际应用，理解相对速度的概念和计算方法可以帮助解决这些问题。
五年级上册数学教案-7.2《相遇问题》｜北师大版
五年级上册数学教案－7.2《相遇问题》｜北师大版教学目标1. 让学生理解并掌握相遇问题的基本概念，能够识别和应用相遇问题的基本模型。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在相遇问题中的应用。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力，通过解决相遇问题，提升学生的数学素养。
教学内容1. 相遇问题的基本概念：介绍相遇问题的定义，让学生理解相遇问题的基本模型。
2. 相遇问题的解决方法：讲解相遇问题的解题思路，让学生学会运用数学知识解决相遇问题。
3. 相遇问题的应用：通过实例讲解，让学生了解相遇问题在实际生活中的应用，提高学生的应用能力。
教学重点与难点1. 教学重点：相遇问题的基本概念和解决方法，以及相遇问题在实际生活中的应用。
2. 教学难点：相遇问题的解题思路和模型的建立，以及如何运用数学知识解决实际问题。
教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学PPT等。
2. 学具：学生自备笔记本、笔等。
教学过程1. 导入：通过引入实例，让学生了解相遇问题的基本概念和模型。
2. 讲解：讲解相遇问题的解题思路和方法，让学生掌握解决相遇问题的技巧。
3. 练习：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 应用：通过实例讲解，让学生了解相遇问题在实际生活中的应用，提高学生的应用能力。
5. 总结：对本节课所学知识进行总结，让学生加深理解。
板书设计1. 相遇问题的基本概念和模型。
2. 相遇问题的解题思路和方法。
3. 相遇问题在实际生活中的应用。
作业设计1. 基础题：让学生解决一些简单的相遇问题，巩固所学知识。
2. 提高题：让学生解决一些复杂的相遇问题，提高学生的解题能力。
3. 应用题：让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
课后反思1. 教师应及时反思本节课的教学效果，对教学方法和教学手段进行改进，以提高教学效果。
2. 学生应反思自己的学习效果，找出自己的不足之处，及时进行改进，以提高自己的学习效果。
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
解答相对运动问题的几种巧妙方法
龙源期刊网
解答相对运动问题的几种巧妙方法
作者：郑金
来源：《数理化学习·高三版》2013年第09期
对于两个或多个物体的相对运动问题，除了直接应用牛顿运动定律和运动学公式以及运动的合成与分解等常规方法外，还可应用一些特殊方法，以使问题化繁为简，现归纳为以下六种方法.
一、相对速度法
若两个物体都做匀速直线运动，则其中一个物体相对于另一个物体做匀速直线运动；对于同一直线上的两个物体的匀速运动，可以选择其中一个物体为参照物，相对速度大小等于二者速率之和或差；对于不在同一直线上的两个物体的匀速运动，可由速度矢量三角形求相对速度.对于两个匀变速运动，若加速度相同，则一个物体相对于另一个物体也做匀速直线运动.。
运动学 牵连速度 相对速度 绝对速度
运动学牵连速度相对速度绝对速度运动学是物理学中研究物体运动的学科，其中牵连速度、相对速度和绝对速度是运动学中常见的概念。
本文将对这三个概念进行解释和比较。
一、牵连速度牵连速度是指在同一直线上两个物体之间的速度差。
当两个物体在同一直线上运动时，它们的牵连速度可以通过一个物体相对于另一个物体的速度来计算。
具体而言，若物体A的速度为v1，物体B的速度为v2，则物体A相对于物体B的牵连速度为v1-v2，物体B相对于物体A的牵连速度为v2-v1。
牵连速度的正负表示相对运动的方向。
二、相对速度相对速度是指两个物体相对于彼此的速度。
当两个物体不在同一直线上运动时，它们的相对速度可以通过它们各自的速度的矢量和来计算。
具体而言，若物体A的速度为v1，物体B的速度为v2，则物体A相对于物体B的相对速度为v1-v2，物体B相对于物体A的相对速度为v2-v1。
相对速度的正负表示相对运动的方向。
相对速度的概念在实际生活中有很多应用。
例如，两辆车以不同的速度在同一方向行驶，它们之间的相对速度就是它们速度之差。
如果两辆车以相同的速度行驶，它们之间的相对速度就是零。
相对速度的概念还可以应用于飞机与地面之间的相对速度、船只在河流中的相对速度等。
三、绝对速度绝对速度是指物体相对于参考点的速度。
参考点可以是固定的地面，也可以是其他物体。
绝对速度与物体本身的运动状态有关，并且无论其他物体是否存在，绝对速度都是相对于参考点来计算的。
绝对速度的概念在物理学中有广泛的应用。
在工程领域，我们常常需要计算物体相对于地面的速度，例如飞机的空速、汽车的速度等。
在天文学中，我们需要计算天体相对于地球的速度，例如行星的速度、彗星的速度等。
绝对速度的概念还可以应用于机器人的运动控制、物体的轨迹分析等领域。
运动学中的牵连速度、相对速度和绝对速度是描述物体运动的重要概念。
牵连速度用于描述同一直线上两个物体之间的速度差，相对速度用于描述两个物体相对于彼此的速度，而绝对速度则是指物体相对于参考点的速度。
相对运动思维在运动学中应用
相对运动思维在运动学中应用矢量运算： （1）矢量加法：C→→→=+C B A（2）矢量减法：AA-B→→→-=B A C运动是相对的，必须先选定适当的参考系。
参考系：假定不动的物体。
任何物体都可以作为参考系，一般情况是以地球作为参考系。
相对运动在不同参考系中各运动学参考系之间的变换关系：→→→+=BC AB AC v v v ,→→→+=BC AB AC x x x ,→→→+=BC AB AC a a a如果各运动学量不在同一条直线上就用向量运算；如果在同一条直线上，则可以规定好正方向，然后按照符号规则，确定各物理量的符号。
两物体相对运动，要把握两个物理参量：一个是相对初速度，一个是相对加速度.在求两个运动的物体之间的相对位移时，传统思路将两物体的位移均求出，再相减，即可求出相对推移。
而相对运动，分析物体的相对加速度及相对初速度，可求相对位移。
例1：一小船在河中逆水划行，经过某桥下时，一草帽落于水中顺流而下，半小时后划船人才发觉，并立即掉头追赶，结果在桥下8千米处追上草帽，求水流速度的大小。
设船掉头时间不计，划船速率及水流速率恒定。
（以水为参考系）例2如图所示，某人与一平直公路的垂直距离h ＝50m ，有一辆汽车以速度V 0＝10m/s 沿此公路驶来，当人与汽车相距L ＝200m 与水平方向成多大的角度，以多大的速度奔跑？V 1=2.5m/s练习1、有A 、B 两船在大海中航行，A 船航向正东，速度15Km/h ，B 船航行正北，航速20Km/h ，问两船经过多少时间AB 两船相距最近？最近距离多少？t=1.28时，极小值24Km练习2、一辆车以速度u=10m/s 的速度沿着平直公路匀速行驶。
在离此公路d=50m 处有一个人，当他与车的连线和公路的夹角41arctan=α时开始匀速奔跑。
已知他奔跑的最大速度为5m/s 。
问：（1）他应该向什么方向奔跑，才能尽快与车相遇？（2）他至少以多大速度奔跑，才能与车相遇？（1）172arcsin 41arctan + (2)s m /1710例3、甲车以4m/s 的速度匀速行驶，这时乙车以速度20m/s 向夹运动，且距离为125m ，乙立即制动，问应该以多大的加速度制动，才可以避免相撞？例4、球A 以速度0v 从距离地面h 高处平抛，其正下方在地面上的B 球以速度0v 竖直上抛，经过多少时间两球距离最小？最小距离是多少？m例5、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a 的匀加速运动．在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动(如图)．当半圆柱体的速度为v 时，杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度．θtan v v p =，θθ32cos tan R v q a p -=例6图所示，A 、B 两个滑块用短细线（长度可以忽略）相连放在斜面上，从静止开始共同下滑，经过0.5s ，细线自行断掉。
运动学综合应用举例
aB
cos30o
aA
sin
30o
a
t BA
aC
沿 ar方向投影
aB
sin 30
aA
cos30
an BA
ar
2
ar 65 mm s
AE
aBt A AB
r3ad 6
s
2
运动学综合应用举例 运动学综合应用举例
2v2 l
运动学综合应用举例 运动学综合应用举例
2.动点 ：滑块B 动系 ：OA杆
绝对运动 ：直线运动(BD) 相对运动 ：直线运动(OA) 牵连运动 ：定轴转动(轴O)
va ve vr 大 小 v? ? 方向 √ √ √
沿BD方向投影
ve va v
vr 0
OA
ve OB
v l
运动学综合应用举例 运动学综合应用举例
解析法： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3. 速度、加速度
xA l
sin v 2
v sin 2
l
v sin 2 v2 sin 2 sin 2
l
l2
当 600时有
AB
3v 4l
3 3v2
AB
8l2
运动学综合应用举例 运动学综合应用举例
运动学综合应用举例
cos 30
at AB
3
3l2
AB
at AB
AB
3
3 2
运动学综合应用举例 运动学综合应用举例
例4
运动学综合应用举例
如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，
A为铰A链B ，6滑0m块mB, 可沿30槽, 杆vA A1E0中3的mm直/槽s,滑aA动 1。0 图3m示m瞬/ s时2,
运动学9-运动学综合应用举例-2019
学
A
习
D B
题
45°
l
课
OA
v
O
E
l
解
运 杆BE作平面运动，滑块B沿杆OA滑动，并带
动杆OA转动。
动 首先求B点速度（瞬心法）
学 O点为BE的速度瞬心
A
习 题
BE
v l
vB B
45°
l
课
vB BEl v
OA O
D
BE
v E
l
解
运
复合运动求杆OA角速度
动 动系：固结在OA上
学 习 题
运 动 学 习 题 课
运动学综合问题的求解要点总结
运
1、点的复合运动中，动点、动系的选择很关 键，要保证相对运动尽量简单（轨迹最好为直
动
线或圆）。加速度分析时，不要遗漏科氏加速 度。牵连运动分析时，若动点位于动刚体外，
学
注意运用刚体延拓的思想分析牵连速度或牵连 加速度。
习
2、学会快速画出基点法或点的复合运动方程
研究对象及其运动分析
运 机构 — 刚体 + 联接点（传递、限制运动）
动
角速度 、角加
位置、 速度、 主动件
学
速度 运动分析
加速度
从动件
习 如运动方程容易建立：在一般位置建立点的运动
描述（如直角坐标描述）
题 课
运动方程不易建立： 刚体运动描述（如基点法）
只求某瞬时的运动： 复合运动描述
动点可以”不动”
运 基点分析 aA aB art arn
3个未知数
动 复合分析 aA aet aen ar ac 3个未知数
学
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ve vr AB杆速度瞬心点P的位置(图b)
AO r / sin
解 动点:凸轮圆心O点;动系:AB杆 va ve vr (图b) va 0
vr // AB
v / PA PA AO / tan 2.9(rad / s)
2 a
va = vA ve = vB
v r v v 2ve v a cos 30 31(km / h)
2 e
sin : sin 30 ve : vr 75 .4
4
只有当B物体(参照物)作平行移动时,A物体
vr v A v B 对B物体的相对速度才有：
vr
va
30
A
30
vA E
30
vB ve
F A E
B
vc ve
C v1
vr vA
B
D v C
C(c)
vA
va
h
v2
A
y vB c x vB O B
D
B C P O A A
B
vr ve
D
P C (c ) A
A
B C
ve
D
D
vA
vB
va
vA
va
vr
16
vB v A cos30 5 3(m / s) OC杆角速度: OC vB / rOB 50 3(rad / s) 动点: CD杆C端点; 动系:OC杆; va ve vr ve 2vB 100 3(m / s) va ve / cos30 200(m / s)
30
AC BC
动点: CD杆C端点; 动系: AB杆; 图示时刻动点的牵连点:AB杆上的c点;
va ve vr
ve vc Pc
14
15
北
R r
vA
O
vB
A B
东
B
30
A r O
vB vA
B(b)
B1 b1 A1
vr
va
30 y x
例7.2-1 Ａ车在圆弧形环城公路上匀速行驶,B车 沿直线公路匀速行驶,图示时刻两车相距0.18km, 两车连线刚好经过圆心点O;求该时刻: 1) B车相对A车的速度; r 0.24 km 2) A车相对B车的速度; vA = vB = 60 km / h
确定两系/两点/三运动 1) 动点:B车; 动系:A车上固连的坐标系 牵连点(图示时刻,t时刻) :动系中与 动点(B车)重合的那个点(b点) t时刻动点及其牵连点 在t+⊿t时刻的新位置(图b)
A O
30
v B 30 e
B
vB
r
30
A vA O
30 A ve vr va
O B P
B
O
AvFra bibliotekva
O
A
B C D
O
A
C
P B
O C
vr
D
30 A
ve
O A D
B
P
B C C
C
v
vr O v e
vr
v
A
D B
C F O 60 A
A
D B O B
C
2 e 2 a
va ve vr (图c)
va = vA
sin : sin 30 va : vr 29.5
3
r 0.24 km
vA = vB = 60 km / h
解 2) 动点:A车,动系:B车；
AB 0.18km
va ve vr (图b)
10
FB=0.1m
5rad / s
解 图a, AC杆作瞬时平动,其上各点速度都相等; 动点:AC杆; 动系:FB杆的B端点;
va ve vr (图b)
ve va tan30 rFB / 3 0.29(m / s)
11
课堂练习题3 图示机构中滑块A在向右运动,求图 示时刻CD杆的瞬时速度; v A 0.2m / s AB 0.4m
只有当A/B两物体都作平行移动时,
A对B的相对速度与B对A的相对速度才等大反向
5
2 零速度问题(动点绝对速度等于零的运动学问题)
例7.2-2 AB杆的A端沿水平线向右作匀速直线运动, 运动过程中该杆始终与一个半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角速度 r 0.1m 30 v 1m / s
7.2 相对速度问题与运动学综合应用 澄清几个模糊的概念：
甲物体相对于乙物体的速度: vr甲 v甲 v乙 ？ 甲物体对乙物体的相对速度与 乙物体对甲物体的相对速度: vr甲 vr乙 ？
甲物体对乙物体 相对速度的模:
vr甲
dr甲乙 dt
1
1 物体之间的相对速度
6
3 运动学知识综合应用(刚体平面运动与刚体相对 运动知识综合应用) 例7.2-3 求图a/b所示各机构中CD杆的瞬时速度; 已知：图a中 v A 10m / s OB=BC=0.1m; 图b中FB=0.1m, 5rad / s
9
v A 10m / s
OB=BC=0.1m
解 图a; AB杆B端点速度(图b,速度投影定理):
2
va ve vr (图c)
解 1) 动点:B车,动系:A车；
vA = vB = 60 km / h
r 0.24 km AB 0.18km
vA ve OB 105(km / h) OA
v r v v 2ve v a cos 30 61(km / h)