2019北京汇文中学高三(上)期中数学
2023-2024学年北京东城区汇文中学高三(上)期中数学试题及答案
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高三年级 数学学科本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分，共40分)1. 已知集合{}260A x x x =--≤，{}||1B y y x ==+，则AB =( )A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3] 2. 下列命题中，正确的是( )A ．12i -的虚部是2B ．|12|i -=C ．12i -的共轭复数是12i --D ．12i -在复平面内对应的点在第二象限3．已知点(6,8)P -是角α终边上一点，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35- C ．45 D ．45-4. 已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//l m ，m α⊂，则//l α B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D ． 若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥5.在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =.则CB =( ) A. 32m n - B. 23m n -+ C. 32m n + D. 23m n +6．函数2()22cos f x x x =-在区间[0,]2π上的最大值为( )A ．12B 1-C ．1D 7. 在数列{}n a 中，已知2n a n n λ=+，*N n ∈，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离为( )图1 图2 图3A.2B.2C.1D.10.设函数2(1)2,1()|2|,1x a x a x f x a x x ⎧-++<=⎨-≥⎩，给出下列四个结论：①当0a <时，函数()f x 有三个极值点； ②当01a <<时，函数()f x 有三个极值点； ③R,2a x ∀∈=是函数()f x 的极小值点； ④1R,2a a x +∀∈=不是函数()f x 的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题(每题5分，共25分)11．首项为1的等比数列{}n a 中，12342,,a a a 成等差数列，则公比q =_______．12.若函数1()2()2x x f x a =-⋅为偶函数，则a =________，()f x 的最小值为_______.13.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长为2 ，体积为3，则这个四棱锥的侧棱长为_______. 14．已知数列{}n a 满足122122111n n n n a a n a a a +-==+=+，，，*N n ∈.则集合{|20}m m a ≤中元素的个数为________.15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,R x y ∈，12010200()()1(,R)b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈，则00x y += ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）△ABC 中，222b c a +=+． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件， 并求△ABC 的面积．条件①：sin 2B =，b =；条件②：cos 3B =，a = 条件③：1a =，b =．注：条件选择错误，第（2）问得0分．在17. （14分）如图，已知PAB ⊥平面平面，四边形是矩形，PA AB =，点，分别是，的中点．（Ⅰ）若点为线段中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC .18. （15分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,]x e e∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围．ABCD ABCD E F BC PB M AD PMAEF19. （14分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F为棱CD 上一点．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11A A C E --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点F ，使1D F //平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由.20. （14分）已知函数()(2)ln x f x x e x x =--+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在区间[1,)+∞上为单调递增函数；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,1]4上的最大值在区间(,1)m m +内，求整数m 的值．21. （15分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.求证：i Ω是等差数列.【参考答案】一、选择题：BBADB CCBAD二、填空题11. 212. -1,214.2415.16.（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，又222b c a+=+，可得2cosbc A=，所以cos2A=，又因为()0,Aπ∈，所以6Aπ=（2）选择条件②由（1）知，6Aπ=，根据条件②中cos3B=，()0,Bπ∈，所以B∠也是唯一确定的，从而可得C∠也是唯一确定的，再由a=,b c也是唯一确定的，故选择条件②.因为cos3B=，()0,Bπ∈，所以1sin3B=．由正弦定理sin sina bA B=，可得1sin31sin32Bb aA===，所以()11sin sin sin cos cos sin23236C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=所以三角形面积1sin29S ab C+==17.（Ⅰ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，A 的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为M 是PB 的中点，所以PM ∥FN ，因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . （Ⅱ）证明：,ABCD BC AB ⊥在矩形中BC AB PAB ABCD PAB ABCD AB BC ABCD ⊥⎧⎪⊥⎪⎨⋂=⎪⎪⊂⎩面面面面面 BC PAB ∴⊥面因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． 因为PA AB =，点M 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BCPB B =，所以AF ⊥平面PBC ．18.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ， 所以f ′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1， f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(e ,+∞)，减区间为(0,1e )．(Ⅲ)当1e⩽x ⩽e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x”恒成立， 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e,e]．当x ∈[1e ,1)时，gˈ(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减．当x ∈(1,e]时，gˈ(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g (e )=1+1e <1.5， 所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e)=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e,e]，都有f(x)≤ax −1． 19.(1) 以 A 为原点， AB,AD,AA 1分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A 1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， C 1(2,2,2)， D 1(0,2,2)，E(2,1,0)1111(2,2,2),(2,2,0),(0,1,2)AC AC EC ===设平面11A C E 的一个法向量为(,,)m x y z =1110m A C m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 不妨设y =2，则x =−2，z =−1, (2,2,1)m =--设直线 AC 1与平面 A 1EC 1所成角为 θ，则111sin |cos ,|3,m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯． (2)由正方体可得，平面 AA 1C 1的一个法向量为 DB →=(2,−2,0)， 则cos ,33DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ . 因为二面角 A −A 1C 1−E 为锐二面角，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2 ⟨DB →,m →⟩=13．（3）存在，设F 点的坐标为(t,2,0),所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,0,2) 平面 A 1EC 1的一个法向量为 m →=(−2,2,−1)， 因为FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m →，所以m ⃗⃗ ∙FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，t =1因为 D 1F ⊄平面 A 1EC 1，所以 D 1F//平面 A 1EC 1．此时DF =120.解：(1)x ∈[1,+∞),f ′(x )=e x +(x −2)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x ) 当x ≥1时x −1≥0,e x ≥e,1x ≤1,e x >1x ∴f ′(x )≥0，f (x )单调递增 (2)f′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x). 令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0，所以ℎ(x)在[14,1]上单调递增，因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ(1)=e −1>0，所以存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，故当x ∈[14,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,1]时，ℎ(x)>0， 又当x ∈[14,1]时，x −1≤0(等号仅在x =1时成立)，所以当x ∈[14,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,1]时，f′(x)≤0(等号仅在x =1时成立)， 所以f(x)在[14,x 0)上单调递增，在(x 0,1]上单调递减， 则f(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)⋅1x 0−x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令G(x)=1−2x −2x ，x ∈(12,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x 2)x2>0(x ∈(12,1))，所以G(x)在(12,1)上单调递增，则G(x)>G(12)=−4，G(x)<G(1)=−3， 所以−4<f(x)max <−3，所以m =−4．21.（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =.由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()iii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列， 所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-. 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。
北京市海淀区2019届高三上期中考试数学试题(文)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2019.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。
2019年海淀区高三数学(文)期中试卷及答案
2019年海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。
【数学】北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试试卷(理)(精解版)
北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．因为集合合，所以，故选：B．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选 C.3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．向量，，，∴故选 A.4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用指函数的单调性得出结论．A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理 C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选 D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，。
【精品高三数学试卷】2019-2020北京高三(上)期中+答案
2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ={x|x 2−2x ＞0}，B ={x|−√5＜x ＜√5}，则（ ） A ．A ∪B ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（5分）化简AB →+BC →−AD →等于（ ） A ．CD →B ．DC →C ．AD →D ．CB →3．（5分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f （x ）＝（ ） A ．e x +1B ．e x ﹣1C ．e﹣x +1D ．e﹣x ﹣14．（5分）“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣2，S m ＝0，S m +1＝3，则m ＝（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（5分）函数y ＝f （x ）的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的取值范围是（ ）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．（5分）已知函数f （x ）=sinxx，下列四个命题正确的序号是（ ） ①y ＝f （x ）是偶函数；②f （x ）＜1；③当x =3π2时，y ＝f （x ）取得极小值 ④满足f （nπ6）＜f （n+16π）的正整数n 的最小值为9A ．①②③B ．①③④C ．①②D ．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f （x ）＝sin (π2x −π4)，在区间[0，1]上的最小值是 ． 10．（5分）若等比数列{a n }，满足a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60，则公比q ＝ ．11．（5分）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，则点Q 的坐标是 ．12．（5分）已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为 ．13．（5分）已知函数f （x ）={x 2−2x(x ≤0)e x −1(x ＞0)，若对∀x ∈R ，不等式f （x ）≥ax 成立，则a的取值范围是 ．14．（5分）设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x （Q ），点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y （Q ）．若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （Q ）的最大值为√2②x （Q ）+y （Q ）的取值范围是[2，√2] ③x （Q ）﹣y （Q ）恒等于0． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤）15．（13分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cos A =13． （1）求sin 2B+C 2+cos2A 的值；（2）若a =√3，求△ABC 面积的最大值．16．（13分）已知等比数列{a n }满足：a 3﹣a 2＝10，a 1a 2a 3＝125． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得1a 1+1a 2+⋯+1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．17．（13分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以原点O 为起点，再丛A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，（如图）这8个点中任取（两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望．18．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ，M ，N 分别为PB ，PC 中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AM ﹣C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？若存在，求BE BC的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f （x ）＝a （x −1x ）﹣2lnx ，其中a ≥0． （Ⅰ）若a ＝2，求曲线f （x ）在x ＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数g （x ）=−ax若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．20．（13分）将所有平面向量组成的集合记作R 2，f 是从R 2到R 2的映射，记作y →=f （x →）或（y 1，y 2）＝f （x 1，x 2），其中x 1，x 2，y 1，y 2都是实数．定义映射f 的模为：在|x |＝1的条件下|y →|的最大值记做∥f ∥．若存在非零向量x →∈R ，及实数λ使得f （x →）＝λx →，则称λ为f 的一个特征值．（Ⅰ）若f （x 1，x 2）＝（12x 1，x 2）求∥f ∥；（Ⅱ）如果f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2），计算f 的特征值，并求相应的x →；（Ⅲ）试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ，②||f ∥＝|λ|．（不需证明）2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由A 中不等式变形得：x （x ﹣2）＞0， 解得：x ＜0或x ＞2，即A ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∵B ＝{x |−√5＜x ＜√5}，∴A ∩B ＝{x |−√5＜x ＜0或2＜x ＜√5}，A ∪B ＝R ， 故选：A ．2．【解答】解：AB →+BC →−AD →=AC →−AD →=DC →． 故选：B ．3．【解答】解：函数y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y ＝e ﹣x ，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 的图象关于y 轴对称， 所以函数f （x ）的解析式为y ＝e ﹣（x +1）＝e﹣x ﹣1．即f （x ）＝e﹣x ﹣1．故选：D ．4．【解答】解：若存在λ∈R ，使得a →=λb →”，则向量a →与向量b →共线，即必要性成立， 当b →为零向量时，a →为非零向量时，满足向量a →与向量b →共线”但不存在λ∈R ，使得a →=λb →”成立，即充分性不成立，故“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的必要不充分条件， 故选：B ．5．【解答】解：对于函数f （x ）＝（1x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝（−1x +x ）cos x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A 、B ．当x ＝π，f （x ）＜0，故排除C ， 但是当x 趋向于0时，f （x ）＜0，故选：D ．6．【解答】解：a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝2，a m +1＝S m +1﹣S m ＝3， 所以公差d ＝a m +1﹣a m ＝1， S m =m(a 1+a m )2=0， m ﹣1＞0，m ＞1，因此m 不能为0， 得a 1＝﹣2，所以a m ＝﹣2+（m ﹣1）•1＝2，解得m ＝5， 另解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即有数列{S n n}成等差数列，则S m−1m−1，S m m，S m+1m+1成等差数列，可得2•S m m=S m−1m−1+S m+1m+1，即有0=−2m−1+3m+1， 解得m ＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得12（m ﹣1）（a 1+a m ﹣1）＝﹣2，12m （a 1+a m ）＝0，12（m +1）（a 1+a m +1）＝3，可得a 1＝﹣a m ，﹣2a m +a m +1+a m +1=6m+1+−4m−1=0， 解得m ＝5． 故选：C ．7．【解答】解：令y ＝f （x ），y ＝kx ， 作直线y ＝kx ，可以得出2，3，4个交点， 故k =f(x)x （x ＞0）可分别有2，3，4个解． 故n 的取值范围为2，3，4． 故选：B ．8．【解答】解：由定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，①对， 当x ＞0时，sin x ＜x ，所以f （x ）＜1，因为偶函数，所以当x 不等于0时，f （x ）＜1故②成立， f '（x ）=xcosx−sinx x 2，f '（3π2）不等于0，故③错，函数y ＝sin π6x ，上的横坐标为正数的整点分别为x ＝1，2，3，4，…对应的点为（1，12），（2，√32），（3，1），（4，√32），（5，12），（6，0），（7，−12），（8，−√32），（9，﹣1）…f （x ）=sinxx =sinx−0x−0，即表示点（x ，sin x ）与原点（0，0）的斜率， f （nπ6）＜f （n+16π）正整数n 的最小值，表示斜率变小时最小的n ，观察图象，红色的直线表示（10，−√32），（0，0）连线，斜率开始变大，而前面n ＝1到9，斜率由大变小，故满足条件的最小的n ＝9，④成立．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：∵x ∈[0，1]，∴π2x ∈[0，π2]，∴π2x −π4∈[−π4，π4]，∴sin (π2x −π4)∈[−√22，√22]，∴函数f （x ）＝sin (π2x −π4)在区间[0，1]上的最小值是−√22， 故答案为：−√22．10．【解答】解：由a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60， ∴20q 2＝60，解得q =±√3．故答案为：±√3．11．【解答】解：∵平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），则|OP |＝2． 将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，设OP →=（1，√3）＝（2cos θ，2sin θ），故 cos θ=12，sin θ=√32．设点Q 的坐标为（ x ，y ），则x ＝2cos （θ+π2）＝2sin θ=√3，y ＝2sin （θ+π2）＝2cos θ＝1，故点Q 的坐标为（ √3，1）， 故答案为：（ √3，1）．12．【解答】解：∵已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1→•e 2→=1×1×cos60°=12． 设向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为θ，θ∈[0，π]．∵（2e 1→+e 2→）•（2e 2→−3e 1→）=e 1→⋅e 2→−6e 1→2+2e 2→2=12−6+2=−72， |2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4+4×12+1=√7，|2e 2→−3e 1→|=√(2e 2→−3e 1→)2=√4−12×12+9=√7，故cos θ=(2e 1→+e 2→)⋅(2e 2→−3e 1→)|2e 1→+e 2→|⋅|2e 2→−3e 1→|=−727⋅7=−12，∴θ=2π3， 故答案为：2π3．13．【解答】解：当x ≤0，f （x ）＝x 2﹣2x ≥ax ，得x 2﹣x （a +2）＝x [x ﹣（a +2）]≥0， x ≤a +2，即a ≥x ﹣2，a ≥﹣2，当x ＞0时，f （x ）＝e x ﹣1，f '（x ）＝e x ，f '（0）＝1，所以过（0，0）的切线为y ＝x ，f （x ）≥ax ，则a ≤1， 故a ∈[﹣2，1]， 故答案为：[﹣2，1]．14．【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线√2，故x （Ω）的最大值√2，故①正确； 如图：当正方形的对角线在x 轴上时， 此时x （Ω）=√2，y （Ω）=√2，此时x （Ω）+y （Ω）＝2√2最大，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图， 此时x （Ω）＝1，y （Ω）＝1， 此时x （Ω）+y （Ω）＝2为最小值．故x （Ω）+y （Ω）的取值范围是[2，2√2]，故②错误；由于x （Ω）＝y （Ω）恒成立，故x （Ω）﹣y （Ω）恒等于0，故③正确； 故所有正确结论的序号是①③ 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤） 15．【解答】解：（1）sin 2B+C 2+cos2A ＝sin 2π−A 2+2cos 2A ﹣1＝cos 2A2+2cos 2A ﹣1=1+cosA2+2cos 2A ﹣1 =1+132+2×19−1=−19；（2）cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2−23bc ≥2bc −−23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b ＝c =32，取得等号． 则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b＝c=32时，△ABC的面积取得最大值3√24．16．【解答】解：（I）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3−a2=a1q2−a1q=10⋯⋯①，则a1a2a3=a1⋅a1q⋅a1q2=(a1q)3=125⋯⋯②，解①②得：q＝3，从而a1=5 3．∴数列{a n}的通项公式a n=a1q n−1=53×3n−1=5×3n−2．（II）假设存在正整数m，使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1．∵a n=5×3n−2，∴1a n =15×(13)n−2，从而数列{1a n}是首项为35，公比为13的等比数列，从而得1a1+1a2+⋯+1a m=35[1−(13)m]1−13=910(1−13m)≥1，从而解得32﹣m≤﹣1，显然不成立，因此不存在这样的整数m使得使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1成立．17．【解答】解：（Ⅰ）从8个点中任意取两点为向量的终点的不同取法共有C82=28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P（X＝0）=828=27；（Ⅱ）两向量数量积X的所有可能取值为﹣2，﹣1，0，1．X＝﹣2时有两种情形，X＝1时有8种情形，X＝﹣1时有10种情形，X＝0时有8种情形，所以X的分布列为X﹣2﹣101P 1145142727∴E（X）＝（﹣2）×114+（﹣1）×514+0×27+1×27=−314．18．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD所以MN ∥平面P AD ．…．（4分）解：（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB ，交AB 于点O ，因为平面P AB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则A （﹣1，0，0），C （1，1，0），M （12，0，√32）， B （1，0，0），N （12，12，√32）， 则AC →=(2，1，0)，AM →=(32，0，√32)设平面CAM 法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅AC →=0n 1→⋅AM →=0，得{2x 1+y 1=032x 1+√32z 1=0， 令x 1＝1，则y 1=−2，z 1=−√3，即n 1→=(1，−2，−√3)平面ABM 法向量n 2→=(0，1，0)所以，二面角B ﹣AM ﹣C 的余弦值|cosθ|=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22 因为二面角B ﹣AM ﹣C 是锐二面角，所以二面角B ﹣AM ﹣C 等于45°…．（10分）（Ⅲ）存在点E ，使得EN ⊥平面AMN …．（11分）设E （1，λ，0），则EN →=(−12，12−λ，√32)，由{EN →⋅AM →=0EN →⋅MN →=0可得λ=12， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ，此时BE BC =12．…．（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)=2(x−1x−lnx)，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2−1x)，∴f′（1）＝2，即切线斜率为2，故由点斜式方程可得切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）原问题等价于至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣2lnx，x∈[1，e]，则ℎ′(x)=a−2x=ax−2x，①当a＝0时，ℎ′(x)=−2x＜0，则函数h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）min＝h （e）＝﹣2＜0，符合题意；②当a＞0时，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2a，则函数h（x）在(0，2a)上单调递减，令h′（x）＞0，解得x＞2a，则函数h（x）在(2a，+∞)单调递增，（i）当2a≤1，即a≥2时，h（x）min＝h（1）＝a＜0，此时无解；（ii）当1＜2a＜e，即2e＜a＜2时，ℎ(x)min=ℎ(2a)=2−2ln2a＜0，解得0＜a＜2e，此时无解；（iii）当2a≥e，即0＜a≤2e时，h（x）min＝h（e）＝ae﹣2＜0，解得0＜a＜2e，此时0＜a＜2 e．综上，实数a的取值范围为[0，2e )．20．【解答】解：（Ⅰ）由于此时y12+y22=14x12+x22，又因为是在x12+x22=1的条件下y12+y22=14x12+x22═14+34x22≤1（x2＝±1时取最大值），所以此时有||f ||＝1；（Ⅱ）由f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2）＝λ（x 1，x 2），可得{x 1+x 2=λx 1x 1−x 2=λx 2：， 解此方程组可得：（λ﹣1）（λ+1）＝1，从而λ＝±√2． 当λ=√2时，解方程组{x 1+x 2=√2x 1x 1−x 2=√2x 2，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为x →=m(√2+1，1)，其中m ∈R 且m ≠0．当λ=−√2时，同理可得相应的x →=m(1−√2，1)，其中m ∈R 且m ≠0．（Ⅲ）由方程组{a 1x 1+a 2x 2=λx 1b 1x 1+b 2x 2=λx 2，可得x 1（a 1﹣λ，b 1）+x 2（a 2，﹣b 1﹣λ）＝0 从而向量（a 1﹣λ，b 1）与（a 2，﹣b 1﹣λ）平行， 从而有a 1，a 2，b 1，b 2应满足：(a 1−b 1)2+4a 2b 1=0； 当f （λ→ ）＝λx → 时，f 有唯一的特征值，且||f ||＝|λ|， 故f(λ→)=λx →．。
北京汇文中学届高三上学期期中考试数学理试题
北京汇文中学 2015-2016 学年度 第一学期期中考试 高三（理科）数学一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 复数i (3 + 4i ) 的虚部为（ ）（A ）3（B ） 3i （C ）4（D ） 4i2 已知命题 p : ∀x ∈ R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是（）A ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ 2B ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < 2C ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ -2D ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < -23．下列函数中，对于任意 x ∈ R ，同时满足条件 f (x ) = f (-x ) 和 f (x - π) = （ ）f (x ) 的函数（A ） f (x ) = sin x（C ） f (x ) = cos x（B ） f (x ) = sin x cos x（D ） f (x ) = cos 2x - sin 2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入 a = 2, b = 2，那么输出的 a 值为（ ）（A ） 4 （B ）16 （C ） 256（D ） log 3 165.满 足 a , b ∈{-1, 0,1, 2} ,且 关 于 x 的 方 程ax 2 + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a , b ) 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．102 32115俯⎨ 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ） 2（C ） 44（B ）3（D ） 5正(主)视图侧(左)视图视图7． 已知 a , b ∈ R ．下列四个条件中，使 a > b 成立的必要而不充分的条件是（）（A ） a > b -1（C ）| a | >| b |8.点 P (x , y ) 是曲线 C : y =（B ） a > b +1（D ） 2a> 2b1(x > 0) 上的一个动点，曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 xA ,B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② ∆OAB 的周长有最小值 4 + 2 ；③曲线 C 上存在两点 M , N ，使得 ∆OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 若向量a ,b 满足 | a |=| b |=| a + b |= 1 ,则 a ⋅ b 的值为 .a = 3,b = 2, A = π10．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a , b , c .6 ，则tan B = .11.若数列{a n }的前 n 项和 S n = n -10n (n = 1，2，3， ) ，则此数列的通项公式为 .12. 已知为锐角， cos =5 ，则 tan( π+) = 5 4⎧ x ≥ 1,⎪x + y - 4 ≤ 0,⎪kx - y ≤ 0 13. 不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域，则 的值为.⎩ k14．设某商品的需求函数为 Q = 100 -EQQ '5P ，其中 Q , P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 EQEP大于 1（其中 = - EP QP ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的取值范围是 .2 2北京汇文中学2015-2016 学年度第一学期期中考试答题纸高三（理科）数学班级姓名学号成绩一、选择题：题号１２３４５６７８选项二、填空题：9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题,共6 小题，共80 分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知∆ABC 的三个内角分别为A,B,C,且2sin2 (B + C) = （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若BC = 7, AC = 5, 求∆ABC 的面积S.sin 2 A. 316. 如图，PA ⊥ 平面ABC ，AB ⊥ BC ，AB = PA = 2BC = 2 ，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥ 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A - PC - B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥ AC ，并求PD的值．PCCBP17.设函数f (x) = (x + 1)2 - 2k ln x ．（Ⅰ）k=2 时，求函数f(x)的增区间；（Ⅱ）当k<0 时，求函数g(x)= f '(x) 在区间（0，2]上的最小值．* 18.设数列{a n}的前n 项和为S n，且2a n=S n+2n+1(n∈N).（Ⅰ）求a1 ，a2 ，a3 ；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n ⋅ a n }的前n 项和T n .19．已知函数f (x) = ln x - a，其中a ∈ R ．x（Ⅰ）当a = 2 时，求函数f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x ∈ (1, +∞) ，都有f (x) > -x + 2 ，求a 的取值范围．20. 设满足以下两个条件的有穷数列a1 , a2 ,⋅⋅⋅, a n 为n（n =2, 3, 4, … ,）阶“期待数列”：① a1 + a2 + a3 + + a n = 0 ；②a1+a2+a3+ + a n= 1.（1）分别写出一个单调递增的3 阶和4 阶“期待数列”；（2）若某2015 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为S k (k = 1, 2, 3, , n) ，试证：S k≤ 1 .22题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBCAC-1 9.2 ；10. ； 11. 2n-11；41213.114 (10, 20)15． 解: （Ⅰ） 2sin 2(B + C ) =sin 2 A .∴ 2 s in 2 A = 2 sin A c os A ,……………………….2 分sin A ≠ 0,∴sin A = cos A ,∴tan A = ,……………………….4 分0 < A < ,∴ A = 60 °.…………………….6 分（Ⅱ）在 ∆ABC 中, BC 2= AB 2+ AC 2- 2 A B ⨯ AC ⨯ cos 60, BC = 7, AC = 5,∴ 49 = AB 2 + 25 - 5AB , ∴ AB 2 - 5AB - 24 = 0,∴ AB = 8 或 AB = -3 (舍),………….10 分∴ S= 1 AB ⨯ AC ⨯ sin 60 = 1 ⨯ 5 ⨯ 8 ⨯ 3= 10 . …………………….13 分∆ABC2 2 216. 解：（Ⅰ）因为 PA ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 PA ⊥ BC ．因为 BC ⊥ AB ， PA AB = A ，所以 BC ⊥ 平面 PAB ．又 AM ⊂ 平面 PAB ， 所以 AM ⊥ BC ．因为 PA = AB ， M 为 PB 的中点， 所以 AM ⊥ PB ． 又 PB BC = B ，所以 AM ⊥ 平面 PBC ．……………………………5 分3 3 3 3 3xyz ．zCDAByMP （Ⅱ）如图，在平面 ABC 内，作 AZ ∥ BC ，则 AP , AB , AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系 A -x则 A (0, 0, 0), P (2, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 2,1) ， M (1,1, 0) ．AP = (2, 0, 0) ， AC = (0, 2,1) ， AM = (1,1, 0) ．设平面 APC 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n ⋅ AP = 0, ⎧x = 0,⎨ 即 ⎨⎪⎩n ⋅ AC = 0, ⎩2 y + z = 0.令 y = 1，则 z= -2 ． 所以 n = (0,1, -2) ．由（Ⅰ）可知 AM = (1,1, 0) 为平面 BPC 的法向量，设 n , AM 的夹角为，则 c os =因为二面角 A - PC - B 为锐角，所以二面角 A - PC - B 的余弦值为10 ．1010 ．…………………………10 分10（Ⅲ）设 D (u , v , w ) 是线段 PC 上一点，且 PD = PC (0≤ ≤ 1) ． 即 (u - 2, v , w ) = (-2, 2,1) ．所以 u = 2 - 2, v = 2, w = ．所以 BD = (2 - 2, 2- 2,) ． 由 BD ⋅ AC = 0 ，得= 4． 5因为 4∈[0,1] ，所以在线段 PC 上存在点 D ，使得 BD ⊥ AC ．5-k -k -k -k nPD 此时，PC= =4 ． ………………………………14 分517. 解：（1）k =2， f (x ) = (x + 1)2 - 4 l n x ．则 f '(x ) = 2x + 2 - 4．x= 2(x -1)(x + 2) ＞0，（此处用“≥”同样给分） x注意到 x ＞0，故 x ＞1，于是函数的增区间为 (1, +∞) ．（写为 [1, +∞) 同样给分）6 分（2）当 k ＜0 时，g (x )= f '(x ) = 2x + 2 -2k ．g (x )= 2(x +-k) + 2 ≥ 4 + 2 9 分 xx当且仅当 x = 时，上述“≥”中取“=”．①若 ∈ (0, 2]，即当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；…②若 k ＜-4，则 g '(x ) = 2(1 +k) 在 (0, 2] 上为负恒成立，x 2故 g (x )在区间 (0, 2] 上为减函数，于是 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 g (2)=6-k ． ………………………13 分综上所述，当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；当 k ＜-4 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k ． ………………………15 分18.（Ⅲ）由(Ⅱ) 得： a n + 2 = 5⨯ 2n -1 ，即 a = 5⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N * ) . -knn -1*则 na n = 5n ⋅ 2 - 2n (n ∈ N ) .……………8 分设数列{5n ⋅ 2n -1} 的前 n 项和为 P ,12n -2n -1则 P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5⨯(n -1) ⋅ 2+ 5⨯ n ⋅ 2 ，123n -1n所以 2P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5(n -1) ⋅ 2 + 5n ⋅ 2 ，12n -1n所以 -P n = 5(1+ 2 + 2 +... + 2 ) - 5n ⋅ 2 ，即 P n = (5n - 5) ⋅ 2n + 5 (n ∈ N * ) .……………11 分nn (n +1)所以数列{n ⋅ a n }的前 n 项和 T n = (5n - 5) ⋅ 2 + 5 - 2 ⨯ ， 2n 2 *整理得， T n = (5n - 5) ⋅ 2 - n - n + 5 (n ∈ N ) .……………13 分19． （Ⅰ）解：由 f (x ) = ln x - 2 12 ，得 f '(x ) = + x x x 2，……………… 2 分所以 f '(1) = 3 ，又因为 f (1) = -2 ，所以函数 f (x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x - y - 5 = 0 .……………… 4 分（Ⅱ）解：由f (x ) > -x + 2 ，得 ln x - a > -x + 2 ， x即 a < x ln x + x 2 - 2x .……………… 6 分设函数g (x ) = x ln x + x 2 - 2x ，则 g '(x ) = ln x + 2x - 1 ， ……………… 8 分因为 x ∈ (1, +∞) ，所以 ln x > 0 ， 2x -1 > 0 ，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g '(x ) = ln x + 2x - 1 > 0 ， ……………… 10 分故函数 g (x ) 在 x ∈ (1, +∞) 上单调递增，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) > g (1) = -1.……………… 11 分因为对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有 f (x ) > -x + 2 成立，所以对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有a < g (x ) 成立.所以 a ≤-1.……………… 13 分- 1 , 0, 120. 解：（Ⅰ）数列- 3 , - 1 , 1 , 3为三阶期待数列 …………………………………………1 分22数列88 8 8为四阶期待数列, ………………………………………2 分（Ⅱ）设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d ，2013(a + a) 因为a 1 + a 2 + a 3 + + a 2013 = 0 ，∴12013= 0,2∴ a 1 + a 2013 = 0 ，即a 1007 ∴ a 1008 = d ,= 0 ， …………………………………………3 分当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾，a+ a+ + a= 1, 当 d>0 时，据期待数列的条件①②可得 1008100920132∴ 1006d + 1006 ⨯1005 d = 1 ,即d = 1,2 2 1006 ⨯1007 ∴ a n = a 1007 + (n -1007)d =n -1007. 1006 ⨯1007(n ∈ N *且n ≤ 2013) ，当 d<0 时，同理可得a n = -n +10071006 ⨯1007. (n ∈ N *且n ≤ 2013) .…………………………………8 分【注】只写一种的扣一分; n 的范围未写的扣一分S = 0 ≤ 1（Ⅲ）当 k=n 时，显然n成立； …………………………………………………………10 分2当 k<n 时，根据条件①得S k = a 1 + a 2 + + a k = -(a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ) ，即 S k = a 1 + a 2 + + a k = a k +1 + a k +2 + + a n ，∴ 2 S k = a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n ≤ a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n = 1,S ≤ 1(k = 1, 2, 3, , n).k2………………………………………………………………………14分。
2019届北京高三上学期期中数学(文)试卷含解析
2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年北京市汇文中学高三上学期期中考试数学试卷(带讲解)
是 ， ，
故选：C.
5.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数 定义域是R，是奇函数，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上也单调递增，
【详解】 ．若 ，当 时， ，所以选项 不成立；
．若 ，当 时，则 ，所以选项 不成立；
．因为 ，将 两边同除以 ，则 ，所以选项 成立；
．如果 满足 ，但是 ，所以选项 不成立．
故选： ．
8.已知等比数列 中， ，且 ，那么 的值是（）.
A.15B.31C.63D.64
【答案】B
【分析】设等比数列 公比为 ，根据已知求出 的值即得解.
【答案】
【分析】根 求出 和 ，由 即可求解.
【详解】因为 是数列 的前 项和.若 ，
可得 ， ，
所以 ，
故答案为： .
14.已知 ，则 的最小值是________.
【答案】5
【分析】将 变形为 ，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是5,
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，