平方根数值表
平方根ppt课件
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平 方 根 表(一)
平方根表（一）一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造。
2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。
3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。
4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。
二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。
2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。
三、教学过程由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。
我们看下面的计算：由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。
用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。
为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。
我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。
表中间最头部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。
由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。
这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。
第1节平方根
内容对应本章知识①整体思想实数③数形结介思想平方根、实数⑫方程思想立方根⑬分类讨论的思想算术平方根全章方法及技巧梳理I.保分点全掌握---------------知识点系统学习知识点1:平方根典例解读出题角度1:(重点)求一个数的平方根【例1一1】求下列各数的平方根：9(1)16； (2) 0： (3) 0・ 49； (4) ——:(5) 一9・121解析：根据平方根的定义及性质即可求解.解:(1)因为(±4) 2=6 所以16的平方根是±4：(2)W为02=0,所以0的平方根是0；(3)因为(±0. 7) 2=0. 49,所以0・49的平方根是土0. 7；(4)因为(±2)丄丄,所以2的平方根是±丄：II 121 121 11(5)因为一9<0,所以一9没有平方根.出题角度2：(拔高点)平方根性质的应用【例1一2】求下式中的X：(I) X2 = 64 ； (2) 2=144：(3) X2=1.69； (4) 49^=25 .解：(】)因为=64 •所以x=±8： (2) W为9/ = 144 ,所以x=±—・(3)3|丸为j2 = 1.69 ,所以x=±l ・ 3； (4)因为49A2= 25 ,所以x2=—,所49以x=±-・7方法规律1：本题中，对于(2)、(4),运用了等式的基本性质2.在求x的值时，则运用了平方根的定义.方法规律2：在求•个数的平方根时，经常需要判断这个数“是哪个数的平方”，因此，记住常见的•些数的平方，对学好本部分知识很有帮助.11121314151617181920知识浓缩1. 如果•个数的平方等于e那么这个数叫做d的_________ ,也称为_____ .如果x~ = (1 1那么就叫做__ 的平方根.2. •个正数a的正的平方根，记作“ ______ ",正数a的负的平方根记作“ _____ ”.这两个平方根合起来记作“ __________ ",读作“正、负根号求•个数的平方根的运算，叫做3・易错捉示：回•个正数的平方根有________ 个，它们互为 __________ : 0只有_____ 个平方根，它是0本身; ______ 没有平方根.举•反三训练1-1.求下列各式的值(1) 土屈;(2) -V16 ：(4)举•反三训练1-2.求满足下列各式的X的值:(1) 169X2=100；(2) +-3 = 0：(3) (2x-l)2 =9 ・1-3.已知加-1的平方根是±3,3“ + b -l 的平方根是±4,求“ + 2b 的值. 知识浓缩 举仮三训练 2-1.求下列各数的算术平方根: (1) 16： 9；(3)I. 21：36・49(5) -4.133r25x+6,解：因为•个正数的平方根互为相反数，所以(3A -2)+(5A +6)=0,所以 -丄，所以3x-2=--,所以这个数是巴. 2 24易错点拨出题角度3：(易错题)概念不淸导致错误 【例1—4】1?的平方根是 ________________ ・16错解^原式=±1-.或丄.44错解解析：•个带分数计算平方根时，我们需要先将带分数化为假分数, 然后再分/、分母分别开平方，本题错误的原因是把1和2分别计算平16方根，然后再合起来的，这样不符合任何运算规律. 正确解法：1善的平方根为土洁 =±扌.方法规徐：带分数开平方时可先化为假分数，然后再考虑开平方.知识点2：算数平方根 典例解读出题角度1：(重点)算数平方根的概念 【例2-1］求下列各数的算术平方根(1)64;(2) (-3)2：(3) 1—.49解析：根据算术平方根的左义，求一个数d 的算术平方根可转化为求 一个数的平方等于"的运算，更具体地说，就是找岀平方后等于"的 正数. 解：(2)因为8?=64,所以64的算术平方根是8,即奶=8：(2)因为(-3尸=32=9,所以(-掰的算术平方根是3,即圧产=3；(3) 因为1兰=里，又(-)2=-,所以1兰的算术平方根是色，即49 49 7 49 49 7方法规律：这类问题应按算术平方根的左义去求.要注意(-3)2的算术 平方根是3,而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其举仮三训练2-2.小张计划用100举•反三训练举•反三训练2-4.化简 J （x-2）2 .举•反三训练2-5.下列各组数据中的三个数，可 作为出题角度2：（拔高点）算数平方根的实际应用【例2-2］ ■段电路中的电阻R （单位:欧）和电压5单位：伏）以及电流 （单位：安）之间的关系是：U 』R.己知电压为220V,电阻是22欧,求此时的电流.解：根据U=FR 、知道220=rx22,所以尸=100,由于/是正数，所以/=10 安.易错点拨出题角度3：（易错题）概念不清导致错误 【例2-3］厲的算术平方根是____________ . 错解：厲的平方根是±3.错解解析：的本身就衣示9的算术平方根，即屁3.在这里实际上是 求3的平方根.正确解法：厲的平方根是±苗.出题角度4：（易错题）忽视隐含条件导致错误 【例2-4】化简炉茹7. 错解：J （3-;r ），= 3 -；r.错解解析：错解忽视了 3-”<0这•隐含条件，因为庙$0,所以其值 不能为负数. 匸确解法：J （3—；r ）‘ =13—龙1=龙一3.方法规律：形如后的式J'•开平方，应注意被开方数中a 的正负情况： 当心0时，長=。
平方根和乘法公式
平方根和乘法公式平方根是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们求解一些复杂的计算问题。
乘法公式也是数学中的一个基础知识，通过乘法公式，我们可以简化乘法计算，提高计算效率。
接下来，我将分别介绍平方根和乘法公式的概念以及应用。
一、平方根平方根是指一个数的二次方等于该数本身的非负实数解。
常见的平方根符号是√，√a表示a的平方根。
例如，√4=2，因为2²=4。
1. 性质和表示方法平方根具有一些重要的性质，其中最重要的是非负性和下界性质。
这意味着一个非负实数的平方根是非负的，并且它的值不会小于零。
在数学计算中，我们可以使用不同的表示方法来表示平方根。
常见的表示方法有：根式表示、小数表示和指数表示。
根式表示是使用根号符号来表示平方根，例如√9=3。
小数表示是使用十进制数表示平方根，例如√2≈1.414。
指数表示是使用幂运算符号来表示平方根，例如2^(1/2)=√2。
2. 平方根的计算方法在实际计算中，我们可以使用不同的方法来计算平方根。
其中，最常用的方法是牛顿迭代法和二分法。
牛顿迭代法是一种逐步逼近的方法，它通过不断迭代求解一个函数的零点来计算平方根。
具体步骤如下：（1）选择一个初始值x0；（2）计算函数的近似导数f'(x)；（3）使用迭代公式x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f'(x_n)来逼近平方根，直到精度达到要求。
二分法是一种通过二分查找来逼近平方根的方法。
具体步骤如下：（1）确定一个搜索范围[a, b]，其中a为0，b为要求的平方根的数值；（2）计算范围的中间值mid=(a+b)/2；（3）比较mid的平方与目标值是否相等，如果相等则mid为所求的平方根；（4）如果mid的平方大于目标值，则将搜索范围调整为[a, mid]，否则调整为[mid, b]，重复步骤（2）和（3），直到找到所求的平方根。
二、乘法公式乘法公式是数学中用于简化乘法计算的基本公式，它可以帮助我们高效地求解复杂的乘法运算。
根号的开方计算方法
根号的开方计算方法一、根号的定义根号是一种数学符号，通常表示对一个数或表达式进行开方操作。
根号其实是平方根的简称，来自于平方这个概念，所以我们经常说根号就是平方根。
根号被称之为二次方根，表示一个数的平方根，如√4=2，因为2的平方等于4。
同样，√9=3，因为3的平方等于9。
当然，根号不仅仅适用于正整数，它也可以适用于小数和负数。
二、根号的基本知识1、根号的表示方法在数学中，常见的根号符号是由一条长横线加上两条垂直短线组成，其中被开方数写在长横线下方。
符号的左边，通常会有一个相应的数字，这个数字表示开几次方。
如果有数字而没有符号，那么我们默认认为是对这个数进行二次方根运算。
例如：√9 表示对9进行二次方根运算，结果为3√(7+2) 表示对7+2进行二次方根运算，即对9进行运算，结果为3√7+2 表示对7进行二次方根运算，结果为根号7，再加上2，结果为根号7+22、根号的含义根号其实就是求平方根的一种方法。
它表达的是这样一个含义，如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就称之为另一个数的平方根。
例如，2的平方等于4，所以2是4的平方根。
3、根号的运算根号运算是一种数学基本运算，它可以应用于整数、分数、正数、负数等情况。
一般来说，我们将根号运算分为两类：整平方根和小数平方根。
（1）整平方根对于一个整数N，如果它的某个正整数平方等于N，那么这个正整数就是N的一个整平方根。
例如：9=3^2，所以3就是9的一个整平方根。
（2）小数平方根对于一个正实数a，如果存在一个正实数b，使得b^2=a，则称b为a的平方根，也就是a的小数平方根。
例如：√2 就是2的小数平方根。
4、开方规律因数的性质：如果一个数能被分解为两个数积的形式，那么这两个数必有一个不大于这个数的平方根，另一个不小于这个数的平方根。
例如25=5×5，其中5≤25的平方根，而5≥25的平方根。
耐心写好开方的奇数串(3、5、7、9、11……)我们可以以5次方开5次方根来举例，它的大概过程如下所示：求5次方根，即：√（x^5）转换成幂指数：x^5(1/5)化简指数：x(1/(5*1/1))=x^(1/5)将x^(1/5)写在根号下面，即：√x^(1/5)将1/5写在根号上面，即： 5 1√x^(---)5这样就得到了x的5次方根。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
数字的平方根表：给出30到40的数字的平方根结果表
数字的平方根表：给出30到40的数字的
平方根结果表
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在数学和科学领域中，平方根是一个重要的概念。
它表示一个数字的平方根，即某个数字的平方等于该根的平方。
平方根的计算
极为重要，它在众多领域中被广泛应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
- 数字30的平方根为5.4772
- 数字31的平方根为5.5677
- 数字32的平方根为5.6569
- 数字33的平方根为5.7446
- 数字34的平方根为5.8309
- 数字35的平方根为5.9161
- 数字36的平方根为6
- 数字37的平方根为6.0828
- 数字3根为6.1644
- 数字39的平方根为6.245
- 数字40的平方根为6.3246
根据表格的数据，我们可以观察到数字的平方根逐渐增加。
此外，每个数字的平方根也是一个近似值，通常在小数点后保留几位有效数字。
平方根是数学中一个重要而有趣的概念，在实际应用中有着广泛的用途。
例如，平方根常用于计算机图形学中的三维坐标变换，用于测量物体的边长或物理量的强度等。
总结而言，本文档给出了30到40之间数字的平方根结果表。
这个表格展示了每个数字的对应平方根值，为读者提供了一个方便查阅相关数值的工具。
平方根和立方根的计算
运算规则的异同点
定义：平方根是求一个数的平方 等于给定值，立方根是求一个数 的立方等于给定值。
运算优先级：在四则运算中，先 进行乘方运算，再进行乘除运算， 最后进行加减运算，但在实际计 算中，人们通常先进行乘除运算， 再进行加减运算。
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运算规则：平方根有正负两个解， 因为正数的平方和负数的平方可 能相等；立方根只有一个解，因 为任何数的立方不可能为负数。
运算方法：使 用牛顿迭代法 或二分法等数 值计算方法求
解。
运算性质：立 方根具有非负 性，即对于任 何实数a，其立 方根³√a也是
非负的。
运算符号：在 数学中，表示 立方根的符号 是“³√”，读
作“三次根 号”。
平方根和立方根的
03
应用
在数学领域的应用
平方根在几何学中的应用：用于 计算矩形的面积和周长
计算立方根
立方根的性质
定义：求一个数的立方等于另一个数的值的过程 பைடு நூலகம்符号：表示为“³√”，读作“三次根号” 性质：立方根是连续的，即对于任何实数a，都存在唯一的实数b，使得b³=a 运算性质：立方根具有结合律、交换律和指数律，类似于普通算术运算中的加法、乘法和幂运算
立方根的运算规则
定义：求一个 数的立方等于 另一个数的值， 即x³=a，则x 为a的立方根。
平方根的运算规则
定义：求一个数的平方根，即求一个数a的平方根，记作√a，其中a≥0。
运算规则：正数a的平方根有两个值，分别为正数和负数；0的平方根是0；负数没有实数 平方根。
运算性质：平方根具有非负性，即对于任意实数a，有√a≥0。
运算方法：可以使用牛顿迭代法等数值计算方法求解平方根。