广东省深圳市盐田高级中学2020-2021学年高一上学期国庆作业数学试题
2020-2021深圳市高级中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案
2020-2021深圳市高级中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,12．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．2 D ．23．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y 11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．14．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．15．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17．已知函数1()41xf x a =+-是奇函数，则的值为________. 18．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______. 19．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t . 24．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值．25．已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„其中01m <„.（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；（Ⅱ）当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．4．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.6．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 8．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．C解析：C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】 【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数， ∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]． 故答案为(0,3]． 【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．14．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．15．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .16．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥【解析】 【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=， 所以幂函数的解析式为12y x =， 则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥．故答案为：12()(0)f x x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为12 18．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A ∩B= 解析：【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得：,求解函数的值域可得，则，结合新定义的运算可知：，表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】 【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π， cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．(1)1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题. 22．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021xx -≥-，解不等式即可得出答案；(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x xa a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=---∴2a =.(2)222()421x xf x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x xx ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.(3)22222244()2212121x x x x xf x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <-综上1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.23．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 24．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m = 【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 25．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„ 令()20y f x =-=，得()2f x =， 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=，得10x =或110， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）.所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，110，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.由题易知()0f x >恒成立.所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根. ②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =， 要使得两根都满足题意，则有1100m <. 又01m <„，所以10100m <„. 所以实数m 的取值范围为10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.26．（1）2（2）{}2log 5x|2<x < 【解析】 【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案. 【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122xx xx f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。
深圳高级中学高中园2023-2024学年高一上学期期中数学(有答案)
（1）求集合 A ，集合 B ；
（2）求 A B, A B ．
. 18.
已知集合
A
x
x2 x
0 ，集合 B
x a 2 x 2a 1
（1）若 a 1，求 ðR A B ；
（2）若 x A 是 x B 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 19 已知 a,b R ，且 a b 2 ，
B. x0 R, x02 x0 1 0
C. x0 R, x02 x0 1 0
D. x0 R, x02 x0 1 0
4. 已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f x x 1 x ，则 f 1 （ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 0
5. 如果 a,b, c, d R ，则正确的是（ ）
B. 3,5,7,8
C. 5,8
D. 8
2. 函数 g x x 3 的定义域为（ ）
A. {x | x 3}
B. {x | x 3}
C. {x | x 3}
D. {x x 3}
3. 设命题 P : x0 R, x02 x0 1 0 ，则命题 P 的否定为（ ）
A. x0 R, x02 x0 1 0
【答案】（1） f (x) x2 2x 3 ； （2） m 14 .
15
第 （2）求 a 1 2b 的最大值．
20. 已知幂函数 f x x 的图象经过点 P 2,2 .
（1）求 的值；
（2）若函数 g x f x 1 ，
x
①判断 g x 的奇偶性，并证明；
②判断 g x 的单调性，并证明．
21. 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通 车，已知该车每次拖 4 节车厢，一日能来回 16 次， 如果每次拖 7 节车厢，则每日能来回 10 次． （1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式； （2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客 110 人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求 出每天最多运营人数．
广东省深圳市盐田高级中学2020~2021学年高一上学期期中数学试题含答案
2020-2021学年第一学期期中考试 盐田高级中学高一数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合{2}S xx =>−∣，{}2340T x x x =+−≤∣，则集合()RS T =（ ）A ．[]4,2−−B ．(],4−∞−C ．(],1−∞D ．[)1,+∞2．不等式250ax x c −+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣，则a ，c 的值为（ ） A ．6a =，1c = B ．6a =−，1c =−C ．1a =，6c =D ．1a =−，6c =−3．设函数21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((3))f f =（ ）A ．15 B ．139C ．23D ．34．下列不等式中，正确的是（ ）A ．44a a +≥B ．224a b ab +≥C2a b+≥ D．223x x+≥5．下列函数中是偶函数的是（ ）A ．4(0)y x x =<B ．|1|y x =+C ．221y x =+ D ．31y x =−6．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ）A ．23x >B ．||2x >C ．2x ≥D ．3x >7．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)−∞+∞8．(31)4,(1)(),(1)a x a x f x x x α−+<⎧=⎨−≥⎩是定义在(,)−∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,83⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分． 9．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +”是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“4a <”是“3a <”的必要条件； ④“a b >”是“22a b >”的充分条件． 其中真命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④10．设0b a >>，c ∈R ，则不列等式中正确的是（ ）A ．1122a b <B ．11c c a b−>− C ．22a ab b+>+ D ．22ac bc <11．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4；B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)−∞+∞； C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]−∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数；D ．1x ，2x 是()f x 定义域内的任意的两个值，且12x x <，若()()12f x f x >，则()f x 是减函数． 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +−=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x −<−，则称函数()f x 为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()1f x x =+ B ．2()f x x =C ．()f x x =−D ．22,0(),0x x f x x x ⎧−≥=⎨<⎩三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题p ：“x ∀∈R ，20x x π−≥”的否定p ⌝是_________．14．已知幂函数()22155m y m m x +=−−在(0,)+∞上为减函数，则实数m =_________．15．已知实数0x >，0y >，且412x y+=，则xy 的最小值为_________． 16．已知函数()f x 是定义在()2,2−上的奇函数且是减函数，若(1)(12)f m f m −+−0≥，则实数m 的取值范围是_________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（满分10分）已知非空集合{121}P xa x a =+≤≤+∣，{25}Q x x =−≤≤∣．（1）若3a =，求()RP Q ；（2）若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（满分12分）设集合{}2320A x x x =−+=∣，(){}222(1)50B x x a x a =+++−=∣． （1）若{2}A B =，求实数a 的值； （2）若AB A =，求实数a 的取值范围．19．（满分12分）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，2()21f x x x =++．（1）求函数()f x 的表达式； （2）请画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的单调区间． 20．（满分12分）已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在()1,1−上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明． 21．（满分12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()1007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+−≥⎪⎩．由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 22．（满分12分）若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有()00f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++−≠．（1）当1a =，2b =−时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B的中点C 在函数2()541ag x x a a =−+−+的图象上，求b 的最小值． 参考公式：()11,A x y ，()22,B x y 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭2020-2021学年第一学期期中考试 盐田高级中学高一数学试卷逐题解析与评分标准1-8CABDC DAB 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．CD13．0x ∃∈R ，2000x x π−< 14．1− 15．4 16．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．解析：∵{}2340{41}T xx x x x =+−≤=−≤≤∣∣，{2}S x x =>−∣， 则{2}RS x x =≤−∣，()(,1]R S T =−∞．故选：C ．2．解析：不等式250ax x c −+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣， 故不等式对应方程的系数满足：115321132ac a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得6a =，1c =． 故选：A ．3．解析：因为21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，所以2(3)3f =，所以22213((3))1339f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ．4．解析：0a <，则44a a+≥不成立，故A 错； 1a =，1b =，224a b ab +<，故B 错， 4a =，16b =2a b+<，故C 错；由基本不等式得223x x +≥=可知D 项正确． 故选：D ．5．解析：A 选项：因为0x <，所以定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A 选项错误；B 选项：因为|1|y x =+，所以函数图象关于1x =−对称，不关于y 轴对称， 所以函数是非奇非偶函数，故B 选项错误；C 选项：因为221y x =+，所以函数定义域为R 关于原点对称， 且2222()()()11f x f x x x −===−++， 所以函数是偶函数，故C 选项正确；D 选项：因为31y x =−，所以()3()131()f x x x f x −=−−=−−≠， 所以函数不是偶函数，故D 选项错误． 故选：C ．6．解析：由24x >解得2x >或2x <−，所以24x >成立的一个充分非必要条件是(2)(2,)−∞−+∞的真子集，因为(3,)(2)(2,)+∞−∞−⋃+∞，所以24x >成立的一个充分非必要条件是3x >， 故选：D7．解析：∵函数()f x 的定义域为R ；∴不等式220mx mx +>−的解集为R ；①0m =时，20>恒成立，满足题意； ②0m ≠时，则280m m m >⎧⎨∆=−<⎩；解得08m <<； 综上得，实数m 的取值范围是[)0,8． 故选：A ．8．解析：因为(31)4,(1)(),(1)a x a x f x x x α−+<⎧=⎨−≥⎩是定义在(,)−∞+∞上是减函数，所以3100314a a a a a−<⎧⎪−<⎨⎪−≤−+⎩，求得1183a ≤<，故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分． 9．解析：①由“a b =”可得ac bc =，但当ac bc =时，不能得到a b=，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当5a +是无理数时，a 必为无理数，反之也成立，故②正确； ③当4a <时，不能推出3a <；当3a <时，有4a <成立， 故“4a <”是“3a <”的必要不充分条件，故③正确． ④取1a =，2b =−，此时22a b <，故④错误； 故答案为：BC ．10．解析：因为12y x =在(0,)+∞上是增函数，所以1122a b <，故A 正确；因为1y c x =−在(0,)+∞上是减函数，所以11c c a b−>−，故B 正确；因为22()02(2)a ab a b b b b +−−=>++，所以22a ab b +>+，故C 正确；当0c =时，22ac bc <不成立，所以D 不成立． 故答案为：ABC ．11．解析：对于A ，若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)f x 的定义域为[0,1]，故A 错误；对于B ，函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)−∞和(0,)+∞，故B 错误； 对于C ，若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]−∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上不一定为单调增函数，故C 错误； 对于D ，为单调性的定义，正确． 故答案为：ABC ．12．解析：对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +−=，即()()f x f x −=−，所以()f x 是奇函数； 对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时， 恒有()()12120f x f x x x −<−，不妨设12x x <，()()()()()121212120f x f x f x f x x x x x −−=−>−，()()120f x f x −>，()()12f x f x >，所以()f x 在定义域内是减函数；对于A ：()1f x x =+，在R 上是增函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：2()f x x =偶函数，所以不是“理想函数”；对于C ：()f x x =−是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：22,0()||,0x x f x x x x x ⎧−≥==−⎨<⎩，()||()f x x x f x −==−，所以22,0(),0x x f x x x ⎧−≥=⎨<⎩是奇函数；根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以22,0(),0x x f x x x ⎧−≥=⎨<⎩在R 上是减函数，所以是“理想函数”． 故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．解析：命题为全称命题，则命题的否定为0x ∃∈R ，2000x x π−<，故答案为：0x ∃∈R ，2000x x π−<．14．解析：∵()22155m y m m x +=−−是幂函数，∴2551m m −−=，解得6m =或1m =−，当6m =时，()2211355m y m m x x +=−−=不满足在(0,)+∞上为减函数当1m =−时，()22115?5m y m m x x +−=−−=满足在(0,)+∞上为减函数 故答案为1m =−．15．解析：由题意可得0x >，0y >，412x y =+≥， 整理得：1≥， 解得：4xy ≥(当且仅当41x y=，即4x =且1y =时取等号)， 则xy 的最小值为4． 故答案为：4．16．解析：由题意知2122122m m −<−<⎧⎨−<−<⎩，解得1322m −<<，∵函数()f x 为奇函数，由(1)(12)0f m f m −+−≥， 得(1)(21)f m f m −≥−，∵函数()f x 在()2,2−上是减函数， ∴121m m −≤−，解得0m ≥，∴实数m 的取值范围是30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为：30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析：（1）因为P 是非空集合，所以211a a +≥+，即0a ≥．当3a =时，{}47P xx =≤≤∣， R{47}P x x x =<>∣或，{25}Q xx =−≤≤∣， 所以()R{24}P Q x x =−≤<∣．（2）若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，即PQ ，即122150a a a +−⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且12a +≥−和215a +≤的等号不能同时取得， 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围为{}02a a ≤≤．18．解析：（1）由2320x x −+=得1x =或2x =，故集合{1,2}A =．因为{2}AB =，所以2B ∈，代入B 中的方程，得24301a a a ++=⇒=−或3a =−．当1a =−时，{}240{2,2}B xx =−==−∣，满足条件； 当3a =时，{}2440{2}B xx x =−+==∣，满足条件． 综上，a 的值为1−或3−．（2）对于集合B ，()224(1)458(3)a a a ∆=+−−=+．因为A B A =，所以B A ⊆．①当0∆<，即3a <−时，B =∅满足条件； ②当0∆=，即3a =−时，{2}B =满足条件；③当0∆>，即3a >−时，{1,2}B A ==才能满足条件，则由根与系数的关系得225122(1)21257a a a a ⎧+=−+=−⎧⎪⇒⎨⎨⨯=−⎩⎪=⎩矛盾，即a 不存在．综上，a 的取值范围是3a ≤−．19．解析：（1）设0x >，则0x −<，所以2()21f x x x −=−+，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−． 所以2()21(0)f x x x x =−+−>．当0x =时，(0)0f =所以2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪−+−>⎩．（2）()f x 的图象如图所示：（3）递增区间是()1,0−，()0,1，递减区间是(,1)−∞−，(1,)+∞．20．解析：（1）由题意可知()()f x f x −=−，所以2211ax b ax bx x−++=−++， 所以0b =，所以2()1ax f x x=+， 因为1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1a =，所以2()1x f x x =+． （2）()f x 在()1,1−上递增，理由如下：设1211x x −<<<，则：()()()()()()1212122212111x x x x f x f x x x −−−=++，因为1211x x −<<<所以120x x −<，1210x x −>，2110x +>，2210x +>，所以()()()()121222121011x x x x x x −−<++， 所以()()120f x f x −<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在()1,1−上是增函数．21．解析：（1）当040x <<时，()22()7001010025010600250W x x x x x x =−+−=−+−；当40x ≥时，1000010000()70070194502509200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=−+−−=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以210600250,040()100009200,40x x x W x x x x ⎧−+−<<⎪=⎨⎛⎫−++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）若040x <<，2()10(30)8750W x x =−−+；当30x =时，max ()8750W x =万元； 若40x ≥，10000()920092009000W x x x ⎛⎫=−++≤−= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，max ()9000W x =万元． 所以2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．22．解析：（1）2()3f x x x =−−，由23x x x −−=，解得3x =或1x =−，所以所求的不动点为1−或3． （2）令2(1)1ax b x b x +++−=，则210ax bx b ++−=①由题意，方程①恒有两个不等实根， 所以24(1)0b a b ∆=−−>， 即2440b ab a −+>恒成立， 则216160a a '∆=−<，故01a <<． （3）设()11,A x x ，()2212,B x x x x ≠，2()541ag x x a a =−+−+， 又AB 的中点在该直线上， 所以1212222541x x x x aa a ++=−+−+， ∴122541ax x a a +=−+，而1x 、2x 应是方程①的两个根， 所以12bx x a+=−，即2541b a a a a −=−+， ∴2222115411114521a b a a a a a =−=−=−−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当1(0,1)2a =∈时，min 1b =−．中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学科试卷满分：150分 考试用时：120分钟一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知21{}|,M y y x x R =+∈＝，2|{1},N y y x x R =−+∈＝，则M N ＝（ ）A . {1}B ．{0,1}C . {(0,1)}D . 1 2. 与||y x =为同一函数的是（ ）A .2y = B．y =C . ,(0),(0)x x y x x >⎧=⎨−<⎩ D . y x =3.设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的（ ）A . 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 若全集U R ＝，[1,3]A ＝，22{}|0B x x x −≤＝，则()UA B ＝（ ）A . [1,2]B ． (－∞,0)∪(2,3]C . [0,1)D . (2,3] 5. 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41y+的最小值为（ ） A . 5 B .143C . 92 D . 26. 设2|1|2,||1()1,||11x x f x x x−−≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝（ ）A .12 B ． 95− C . 413 D . 2541 7. 设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ ）A . 0x <B ．0x <或4x >C . |1|1x −>D . |2|3x −> 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A .(0)2a bab a b +≥>> B ．222(0)a b ab a b +≥>> C . 2(0)abab a b a b≥>>+ D .22(0)22a b a b a b ++≤>> 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知x ∈{1，2，x 2}，则有（ ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．2x = 10. 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0 C ．cb 2＜ab 2 D ．ac (a －c )＜0 11. 下列命题中，真命题为（ ）A ．空集是任何一个非空集合的真子集B ．∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2C ．∃x ∈{－2,－1,0,1,2}，|x －2|＜2D ．∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解 12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．4ab a b ≥+ C ．14ab ≥ D ．2a b +≤ 第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1y x x =−+的定义域为 ． 14．函数266y x x =−+，x ∈(－1,5]的值域为 ．15．已知集合|||2{}A x x =＝，1{}|B x mx =−＝，若B ⊆A ，则m 值的集合为 ． 16．不等式22(23)(3)10m m x m x −−−−−<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）已知全集U ＝R ，2{|120}A x x px =++=，2{|50}B x x x q =−+=， (UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}．求A B ．18.（本题12分）若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，求不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集．19．（本题12分） 已知集合A ＝{x |212xx <−}，集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}． （1）求集合A ，B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．20．（本题12分）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求： （1）3x ＋4y 的最小值； （2）求xy 的最小值.21．（本题12分）实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0. 若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题，求实数c 的取值范围.22．（本题12分）某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x ＋1；g （x ）＝2101(03)1912(35x x x x x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪−+−<≤⎩）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学科试卷答案满分：150分 考试用时：120分钟第I 卷（选择题）一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知21{}|,M y y x x R =+∈＝，2|{1},N y y x x R =−+∈＝，则M N ＝（ A ）A . {1}B ．{0,1}C . {(0,1)}D . 1 2. 与||y x =为同一函数的是（ B ）A .2y = B．y =C . ,(0),(0)x x y x x >⎧=⎨−<⎩ D . y x =3.设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的（ D ）A . 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 若全集U R ＝，[1,3]A ＝，22{}|0B x x x −≤＝，则()UA B ＝（ D ）A . [1,2]B ． (－∞,0)∪(2,3]C . [0,1)D . (2,3] 5. 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41y+的最小值为（ C ） A . 5 B .143C . 92 D . 26. 设2|1|2,||1()1,||11x x f x x x−−≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝（ C ）A .12 B ． 95− C . 413 D . 2541 7. 设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ C ）A . 0x <B ．0x <或4x >C . |1|1x −>D . |2|3x −>8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ D ） A .(0)2a bab a b +≥>> B ．222(0)a b ab a b +≥>> C .2(0)abab a b a b≥>>+ D .22(0)22a b a b a b ++≤>>二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知x ∈{1，2，x 2}，则有（ BC ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．2x = 10. 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ABD ） A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0 C ．cb 2＜ab 2 D ．ac (a －c )＜0 11. 下列命题中，真命题为（ AC ）A ．空集是任何一个非空集合的真子集B ．∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2C ．∃x ∈{－2,－1,0,1,2}，|x －2|＜2D ．∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解 12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ AD ） A ．2212a b +≥B ．4ab a b ≥+ C ．14ab ≥ D ．2a b +≤ 第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1y x x =−+的定义域为 ．{x |0≤x ≤1}14．函数266y x x =−+，x ∈(－1,5]的值域为 ．{x |－3≤x ≤13}15．已知集合|||2{}A x x =＝，1{}|B x mx =−＝，若B ⊆A ，则m 值的集合为 ．{－12,0,12} 16．不等式22(23)(3)10m m x m x −−−−−<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．{x |－15≤m ≤3} 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）已知全集U ＝R ，2{|120}A x x px =++=，2{|50}B x x x q =−+=，(UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}．求AB ．【解答】解：∵(UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}，∴2∈B ，4∈A ，把x ＝4代入集合A 得，42＋4p ＋12＝0，解得p ＝－7， 把x ＝2代入集合B 得，22－5×2＋q ＝0，解得q ＝6， ∴A ＝2{|120}x x px ++=＝2{|7120}x x x −+=＝{3,4}， B ＝2{|50}x x x q −+=＝2{|560}x x x −+=＝{2,3}， ∴A ∪B ＝{2,3,4}．18.（本题12分）若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，求不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集． 【解答】解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，∴03434a b a c a ⎧⎪<⎪⎪−+=−⎨⎪⎪−⨯=⎪⎩，解得：b ＝－a ，c ＝－12a ，或∴不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0即为－ax 2＋2ax ＋15a ≥0， ∵a ＜0，∴x 2－2x －15≥0，解得：x ≤－3或x ≥5， ∴不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥5}．已知集合A ＝{x |212xx <−}，集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}． （1）求集合A ，B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）集合A ＝{x |212xx <−}＝{x |－2＜x ＜2}， 集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}＝{x |m ＜x ＜m ＋1}； （2）∵B ⊆A ， ∴212m m ≥−⎧⎨+≤⎩，解得21m m ≥−⎧⎨≤⎩，∴实数m 的取值范围是{m |－2≤m ≤1}．20．（本题12分）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求： （1）3x ＋4y 的最小值； （2）求xy 的最小值.【解答】解：（1）∵正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ， ∴1y ＋3x＝5，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×5×15＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(13＋3x y＋12y x )≥15(13＋)＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号， ∴3x ＋4y 的最小值为5.（2）∵正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，∴5xy ＝x ＋3y ≥2xy ≥1225， 当且仅当x ＝3y ＝65时取等号， ∴xy 的最小值1225.实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0. 若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题，求实数c 的取值范围.【解答】解：∵实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0， ∴(a ＋1)2＋(b －2)2＝0，得a ＝－1，b ＝2， ∵不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题， ∴－x 2＋2x ＋c ＜0对一切实数恒成立， 等价于x 2－2x －c ＞0对一切实数恒成立， ∴△＝(－2)2＋4c ＜0，解得c ＜－1， ∴实数c 的取值范围为{c |c ＜－1}.22．（本题12分）某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x ＋1；g （x ）＝2101(03)1912(35x x x x x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪−+−<≤⎩）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可 【解答】解：设投入B 商品的资金为x 万元（0≤x ≤5），则投入A 商品的资金为5﹣x 万元，设收入为S （x ）万元，①当0≤x ≤3时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝1011x x ++， 则S （x ）＝6﹣x ＋1011x x ++＝17﹣[（x ＋1）＋91x +]≤17﹣＝17﹣6＝11，当且仅当x ＋1＝91x +，解得x ＝2时，取等号． ②当3＜x ≤5时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝﹣x 2＋9x ﹣12， 则S （x ）＝6﹣x ﹣x 2＋9x ﹣12＝﹣（x ﹣4）2＋10≤10，此时x ＝4．∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．。
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A.1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C2. 已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）Ａ．1 Ｂ．1或4 Ｃ．4 Ｄ．2或4参考答案：B3. 等差数列中，，那么的值是（）（A） 12 （B） 24 （C） 16 （D） 48参考答案：B略4. 若集合A={0,1,2,4}，B={1,2,3}，则A∩B=（）A. {0,1,2,3,4}B. {0,4}C. {1,2}D. {3}参考答案：C【详解】因为，所以选C.考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.5. 如图所示，在△ABC，已知，角C的平分线CD把三角形面积分为3:2两部分，则cos A等于（）A. B. C. D. 0参考答案：C【分析】由两个三角形的面积比，得到边，利用正弦定理求得的值. 【详解】角的平分线，，设，，设，在中，利用正弦定理，解得：.【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.6. 已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：D，7. 定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设，，，则大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 已知向量，，，则的取值范围是() A．[0，]B．[0，] C．[，] D．[，]参考答案：C略9. 平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．2参考答案：A考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），且∥，∴1?x﹣（﹣2）?（﹣2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．10. 从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为A. 1000B. 1200C. 130D.1300参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在和上均为单减，记，则M的取值范围是.参考答案：设，∵在和上均为单减，，，，M ，，在上递减，，，的取值范围是，故答案为.12. 设全集,则________________。
2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={x|(x −1)2<3x +7,x ∈R}，B ={x|xx+1≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−1,0]D. [−1,0)2.已知函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，则f(f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. −13.设角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12，则y 等于( )A. 2B. −2C. 12D. −124.已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)单调增加，则满足f(2x −1)<f()的x 取值范围是( )A. ()B. ［)C. ()D. ［)5. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M 和m ，则M −m =A. 8B. 7C. 6D. 56.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立7.已知函数f(x)=2|cosx|sinx +sin2x ，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x =π4对称； ②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.若一个函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y =f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，函数y =f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是( )A. (−2,0)∪(2,5]B. (−5,−2)∪(2,5)C. [−2,0]∪(2，5]D. [−5,−2)∪(2,5]9.sin(−1080°)=( )A. −12B. 1C. 0D. −110. 函数f(x)=(12)x −15x 的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，其中a >b >0，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b 2>√abB. a 2+b 2>2abC. 2aba+b <√abD. a+b 2<√a2+b 2212. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =−|x|C. y =−x 2+1D. y =2|x|二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式组{sinx ≥02cosx −1>0的解集为______ ．14. 已知tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=______． 15. 下列命题正确的是______ (写序号)①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”： ②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为“π”是“a =1”的必要不充分条件； ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−x +1，则当x >0，f(x)= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ (Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．18. (Ⅰ)设U =R ，A ={x|−2≤x <4}，B ={x|8−2x ≥3x −7}，求(∁U A)∩(∁U B)． (Ⅱ)已知集合A ={x|3x −4≤0}，B ={x|x −m <0}，且A ∩B =B ，求m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,7π12]上的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=x 2+1x ．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1,+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m 满足f(3m)>f(5−2m)，求m 的取值范围．21. 在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且bcosC =√2acosB −ccosB ， (1)求角B 大小(2)设A =θ，求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ−2的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx −ln x(a,b ∈R)．(1)当a =8，b =−6时，求f(x)的零点的个数；(2)设a >0，且x =1是f(x)的极小值点，试比较ln a 与−2b 的大小．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由A 中不等式变形得：x 2−5x −6<0，即(x −6)(x +1)<0， 解得：−1<x <6，即A =(−1,6)，由B 中不等式变形得：x(x +1)≤0，且x +1≠0， 解得：−1<x ≤0，即B =(−1,0]， 则A ∩B =(−1,0]． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，∴f(−1)=−1+11=10， f(f(−1)=f(10)=lg10=1． 故选：C ．推导出f(−1)=−1+11=10，从而f(f(−1)=f(10)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：∵角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12， ∴y−1=12， ∴y =−12， 故选：D ．由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切．本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．4.答案：A解析：由题意需满足|2x−1|<，解得，故选A．5.答案：C解析：解：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A(−1,−1)时目标函数有最小值为m=−3，当直线y=−2x+z过B(2,−1)时目标函数有最大值为M=2×2−1=3.∴M−m=6．故选：C．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：解：对于①，函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，由于f(−π4)=−2，f(3π4)=0，∴f(−π4)≠f(3π4)，故f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故①错误．对于②，区间[−π4,π4]上，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．对于③，函数f(π3)=√3，f(4π3)=0，∴f(π3)≠f(4π3)，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．对于④，当cosx≥0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为−2；当cosx<0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=−2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，故④正确．故选：C．利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0,5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2,5]，故当x∈[−5,0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5,−2)，综上f(x)<0的解集是[−5,−2)∪(2,5]，故选：D由当x∈[0,5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5,0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式即可求解．解：sin(−1080°)=−sin(3×360°+0°)=0．故选：C．10.答案：B解析：本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．由f(1)⋅f(2)<0结合零点存在性定理即可得解．解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，又f(1)=12−15=310>0,f(2)=14−25=−320<0，∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．故选：B．11.答案：D解析：解：由图形可知，OF=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2，(a>b>0)，所以CF=√OF2+OC2=√(a+b2)2−(a−b2)2=√a2+b22，Rt△ACF中，由OF<CF可得，a+b2<√a2+b22．故选：D．计算出CF，OF，由OF<CF即可求解．本题主要考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：对于A，函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，是奇函数，不满足条件；对于B，函数y=−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于C，函数y=−x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于D，函数y=2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，分析选项中四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握常见的基本初等函数的性质是解题的关键．13.答案：{x|2kπ≤x ≤2kπ+π3,k ∈Z}解析：解：因为{sinx ≥02cosx −1>0，可得{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合， 如图所示， 由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式的解集为{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.故答案为：{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.原不等式组可化为{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集为图中阴影重叠的部分，即可得解原不等式的解集．本题主要考查了不等式组的解法，考查了正弦函数，余弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．14.答案：−3解析：解：tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α −2sinαcosα=1−tan 2αtan 2α+1 −2tanα=1−44+1−4=−3． 故答案为：−3．利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可． 本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．15.答案：①②④解析：解：对于①：先将量词变为∀x ∈R ，结论x 02+1>3x 0变成x 2+1≤3x ，可见①为真命题；对于②：f(x)=cos2ax，其最小正周期的计算方法是2π|ω|，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔x2+2x−ax≥0在[1,2]上恒成立，所以③为假命题；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB=2R，∵sinA>sinB，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB，故④是真命题．故答案为：①②④．对于①：根据特称命题的否定方法判断；对于②：先将f(x)=cos2ax−sin2ax化成：f(x)=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=2πω，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．16.答案：−2x2−x−1解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)=2x2−x+1，∴x>0时，−x<0；∴f(−x)=2(−x)2−(−x)+1=2x2+x+1，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−(2x2+x+1)=−2x2−x−1；故答案为：−2x2−x−1由x<0时f(x)的解析式，结合函数的奇偶性求出x>0时f(x)的解析式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵θ∈(0,π)，∴θ∈[π4,π2)；(Ⅱ)f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1， ∵θ∈[π4,π2)，2θ−π6∈[π3,5π6) ∴当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．解析：(Ⅰ)设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式12bcsinθ=1，表示出bc ，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc 代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈(0,π)，利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；(Ⅱ)将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值． 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)B ={x|8−2x ≥3x −7}={x|x ≤3}，则∁U B ={x|x >3}．∵A ={x|−2≤x <4}，∴∁U A ={x|x <−2或x ≥4}．∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4}；(Ⅱ)A ={x|x ≤43},B ={x|x <m}，∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，∴m ≤43．解析：(Ⅰ)求解一次不等式化简集合B，然后分别求出∁U A和∁U B，取交集得答案；(Ⅱ)分别求解一元一次不等式化简两集合，由A∩B=B得B⊆A，再结合两集合端点值间的关系得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系的判断与运用，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π，∴T=2πω=2，即ω=2，(Ⅱ)∵0≤x7π12，∴−π3≤2x−π3≤5π6，当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)有最小值−√32，当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)有最小值1．解析：(Ⅰ)根据图象中相邻两个最高点的距离是π，利用T=2πω=2；即可求出(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的最值．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．20.答案：证明：(1)f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，(2)x∈(1,+∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)=x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，=(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，(3)解：由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1,2)解析：(1)检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，(2)先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．21.答案：解：(1)∵bcosC=√2acosB−ccosB，∴由正弦定理得，sinBcosC=√2sinAcosB−sinCcosB，则sin(B+C)=√2sinAcosB，又sin(B+C)=sinA≠0，∴cosB=√22，由0<B<π得，B=π4；(2)由(1)得，C=π−A−B=3π4−θ，∵△ABC是锐角三角形，∴{0<3π4−θ<π20<θ<π2，解得π4<θ<π2，∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ−2=1−cos(π2+2θ)−√3cos2θ−2=sin2θ−√3cos2θ−1=2sin(2θ−π3)−1，由π4<θ<π2得，π6<2θ−π3<2π3，∴12<sin(2θ−π3)≤1，则0<2sin(2θ−π3)−1≤1，即函数f(x)的值域是(0,1]．解析：(1)由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(2)由(1)和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．本题考查了正弦定理，两角和(差)的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵a=8，b=−6，∴f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x (x >0) 当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0，∴f(x)有两个零点；(Ⅱ)依题有f′(1)=0，∴2a +b =1即b =1−2a ，∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0)则g′(a)=1a −4=1−4a a ， 当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(Ⅱ)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出lna 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道偏难题．。
2021-2022学年广东省深圳高级中学高一(上)期末数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−455．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．1167．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P 会按确定的比率衰减（称为衰减率），P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P =(12)ta （其中a 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：log 20.75≈﹣0.4 参考时间轴：A ．宋B ．唐C ．汉D ．战国二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（ ）A ．若函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f （x ）是增函数B ．y ＝x +1和y =√(1+x)2表示同一函数C ．函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 ．14．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ ．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= ． 16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ ． 四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg 2•lg 50+lg 5•lg 20﹣lg 100•lg 5•lg 2．18．（12分）已知α为第三象限角，且f （α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α=−323π，求f （α）的值． （3）若f （α）=2√65，求cos （π+α）的值．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，π4]上的最大值与最小值．20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）={f(x)，−1＜x＜1k|x|+1，x≤−1或x≥1，讨论函数y＝h（h（x））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）【解答】解：集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}， B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}＝{x |x ＞1}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：C ．2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0是假命题， ∴Δ＝a 2﹣4＞0 ∴a ＞2或a ＜﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：A ．3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由a 2+a ＞0；解得：a ＞0或a ＜﹣1， 故p 是q 的充分不必要条件， 故选：C ．4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−45【解答】解：由x +4＝0得x ＝﹣4，此时y ＝a 0+2＝1+2＝3，即定点P （﹣4，3）， 则|OP |＝5，则sin α=35，故选：A ．5．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【解答】解：因为92°是第二象限角， 所以a ＝tan92°＜0，因为指数函数y ＝（1π）x 在R 上为减函数，且0＜2＜3，所以0＜（1π）3＜（1π）2＜（1π）0＝1，所以0＜b ＜l ，因为y ＝log πx 为（0，+∞）上的增函数，π＜92， 所以c ＝log π92＞1， 所以c ＞b ＞a ． 故选：B ．6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．116【解答】解：∵实数x ，y 满足2x +y ＝1， ∴y ＝1﹣2x ，∴xy ＝x （1﹣2x ）＝﹣2x 2+x ＝﹣2（x −14）2+18≤18， 当x =14，y =12时取等号， 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵g（x）=ln|x|x3为定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，又f（x）=ln|x−3|(x−3)3=g（x﹣3），∴f（x）的图象关于（3，0）成中心对称，可排除A与B；又当x→3+时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→0，故可排除D，故选：C．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（）参考数据：log20.75≈﹣0.4参考时间轴：A．宋B．唐C．汉D．战国【解答】解：∵每经过5730年衰减为原来的一半，∴P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)t5730(t＞0)，由题意可得，(12)t5730=0.75，即t5730=−log20.75≈0.4，解得t≈2292，由2021﹣2292＝﹣271，可判断该文物属于战国．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（）A．若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f（x）是增函数B．y＝x+1和y=√(1+x)2表示同一函数C．函数y=log13(−x2−2x+3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12【解答】解：函数y =−1x在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，但f （x ）在定义域内不是增函数，故A 为假命题；函数y =√(1+x)2=|x +1|，与函数y ＝x +1的解析式不同，不是同一函数，故B 为假命题； 函数y =log 13t 为减函数，而t ＝﹣x 2﹣2x +3在（﹣1，1）上是减函数，∴函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是（﹣1，1），故C 为假命题；函数f （x ）＝x 2+4ax +2a ＝（x +2a ）2﹣4a 2+2a 的值域是[0，+∞），可得﹣4a 2+2a ＝0，解得a ＝0或12，故D 为真命题．故选：ABC ．（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0【解答】解：由s ＝f （t ）的图象可得定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A 正确； 由s ＝f （t ）的图象可得图象在x 轴上方，且最大值为5，则值域为（0，5]，故B 正确； 当s ＝2和s ＝4时，分别有三个或两个不同的t 值与之对应，故C 错误； 当t ∈（0，1）时，s ＝f （t ）为递增函数，故D 正确． 故选：ABD ．（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象 如下图示：由图可知g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象在区间[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]上有交点，函数f （x ）在[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]存在零点， 故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象【解答】解：对于函数f(x)=sin(3x −π4)，由于满足f （x −π12）＝sin （3x −π2）＝﹣cos3x ，故函数f(x −π12)为偶函数，故A 正确； 由于f （π）＝sin （3π−π4）＝sin （π−π4）＝sinπ4=√22，故B 错误； 若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值半个周期π3，故C 正确；把函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin （3x ﹣π）＝﹣sin3x 的图象，故D 错误， 故选：AC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 −√3 ．【解答】解：tan300°＝tan （360°﹣60°）＝﹣tan60°=−√3． 故答案为：−√314．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x ，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ 12．【解答】解：根据题意，函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f （2）=log 122＝﹣1，则f [f （2）]＝f （﹣1）=12；故答案为：12．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= −725 ． 【解答】解：∵sin(α+π12)=35，∴sin(2α−π3)=sin[2（α+π12）−π2]＝﹣cos2（α+π12） =2sin 2(α+π12)−1=2×(35)2−1=−725． 故答案为：−725．16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ 3√1010．【解答】解：设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x =√10cos(x +θ)， 当x ＝﹣θ，即cos （﹣θ）＝cos θ=3√10=3√1010时函数取得最大值． 故答案为：3√1010．四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg2•lg50+lg5•lg20﹣lg100•lg5•lg2．【解答】解：（1）原式=(94)12−1−(278)23+(110)−1=32−1−94+10=334；（2）原式＝lg2lg50+lg5lg20﹣2lg5lg2＝（lg2lg50﹣lg5lg2）+（lg5lg20﹣lg5lg2）＝lg2（lg50﹣lg5）+lg5（lg20﹣lg2）＝lg2+lg5＝1．18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π) sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f（α）；（2）若α=−323π，求f（α）的值．（3）若f（α）=2√65，求cos（π+α）的值．【解答】解：（1）f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)=(−cosα)⋅(sinα)⋅(−tanα)(cosα)⋅(−tanα)=−sinα；（2）f（α）＝f（−323π）＝﹣sin（−323π）＝sin323π＝sin2π3=√32；（3）∵f（α）＝﹣sinα=2√6 5，∴sinα=−2√6 5，又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−1−(−2√65)2=−15，∴cos（π+α）＝﹣cosα=1 5．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π4]上的最大值与最小值．【解答】解：函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx =√3sin x cos x﹣sin2x=√32sin2x−1−cos2x2＝sin （2x +π6）−12，x ∈R ； （Ⅰ）f （x ）的最小正周期为T =2π2=π， 令−π2++2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ；﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）因为0≤x ≤π4， 所以π6≤2x +π6≤2π3，所以12≤sin(2x +π6)≤1，所以0≤f(x)≤12．当且仅当x ＝0时 f （x ）取最小值f （x ）min ＝f （0）＝0，当且仅当2x +π6=π2，即x =π6时f （x ）取得最大值f(x)max =f(π6)=12．﹣﹣﹣（12分） 20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）【解答】解：（1）由题意知，当x ＝10时，R （x ）＝10×102+10a ＝4000，所以a ＝300，当0＜x ＜40时，W ＝900x ﹣（10x 2+300x ）﹣260＝﹣10x 2+600x ﹣260，当x ≥40时，W =900x −901x 2−9450x+10000x −260=−x 2+9190x−10000x，所以W ={−10x 2+600x −260，0＜x ＜40−x 2+9190x−10000x，x ≥40．（2）当0＜x ＜40时，W ＝﹣10（x ﹣30）2+8740， 所以当x ＝30时，W 有最大值，最大值为8740， 当x ≥40时，W =−(x +10000x)+9190≤−2√10000+9190=8990， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，W 有最大值，最大值为8990， 因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元．21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：{A +B =1−A +B =−3，可得{A =2B =−1，所以f （x ）＝2sin （ωx +φ）﹣1， 因为T2=7π12−π12=π2，所以T =π=2πω，可得ω＝2，所以，f （x ）＝2sin （2x +φ）﹣1．由2×π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，可得φ=π3+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以k =0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)−1．令2x +π3=kπ(k ∈Z)，可得x =kπ2−π6(k ∈Z)，所以，对称中心为(kπ2−π6，−1)(k ∈Z)． （2）由于先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，故g(x)=2sin[2(x +π6)+π3]−1+1=2sin(2x +2π3)． 当x ∈[−π4，π6]时，2x +2π3∈[π6，π]，sin(2x +2π3)∈[0，1]，g(x)∈[0，2]， 若关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，则1﹣2a ＝g （x ）有实根， 所以，0≤1﹣2a ≤2，可得：−12≤a ≤12． 所以，实数a 的取值范围为[−12，12]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数h （x ）={f(x)，−1＜x ＜1k|x|+1，x ≤−1或x ≥1，讨论函数y ＝h （h （x ））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lg 1−x x+1，由1−x 1+x＞0，可得﹣1＜x ＜1， f （﹣x ）＝lg1+x 1−x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，且0＜x ＜1时，f （x ）＝lg （﹣1+2x+1）递减， 可得f （x ）在（﹣1，1）递减， 且f （x ）的值域为R ，不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0，即为f （f （x ））＞﹣f （lg 2）＝f （﹣lg 2）， 则﹣1＜f （x ）＜﹣lg 2，即﹣1＜lg1−x 1+x＜lg 12，即为0.1＜1−x 1+x ＜12， 解得13＜x ＜911， 则原不等式的解集为（13，911）；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1）， 若存在x 1，x 2∈[0，1）， 使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 当0≤x ＜1，f （x ）＝lg1−x x+1的值域为（﹣∞，0]，当a ＞1时，g （x ）在[0，1）递减，可得g （x ）的值域为（2﹣a ，1]， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域存在交集， 即有2﹣a ＜0，即a ＞2；若0＜a ＜1，则g （x ）在[0，1）递增，可得g （x ）的值域为[1，2﹣a ）， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域不存在交集， 综上可得a 的范围是（2，+∞）； （3）由y ＝h [h （x ）]﹣2 得h [h （x ）]＝2， 令t ＝h （x ）， 则h （t ）＝2， 作出图象， 当k ≤0时， 只有一个﹣1＜t ＜0， 对应1个零点， 当0＜k ≤1时， 1＜k +1≤2， 此时t 1＜﹣1， ﹣1＜t 2＜0，t 3=1k ≥1，由k +1−1k =k 2+k−1k =1k （k +1+√52）（k −√5−12），得在√5−12＜k ≤1，k +1＞1k ，三个t 分别对应一个零点，共3个， 在0＜k ≤√5−12时，k +1≤1k ，三个t 分别对应1个，1个，3个零点，共5个， 综上所述：当k ＞1或k ＝0时，y ＝h [h （x ）]﹣2只有1个零点， 当k ＜0或√5−12＜k ≤1时，y ＝h [h （x ）]﹣2有3个零点， 当0＜k ≤√5−12时，y ＝h [h （x ）]﹣2有5个零点．。
2020-2021学年广东省深圳市高一(上)期中数学试卷(学生版+解析版)
2020-2021学年广东省深圳市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：1．（5分）已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，则集合B ＝（）A．{0，2，4，6，8，10}B．{0，2，4，6，8，9，10}C．{2，4，6，8，9，10}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1x B．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝|x+2|3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．a2＞b2C．1a ＜1bD．﹣2a＜﹣2b4．（5分）如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是（）A．B．C．D．5．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，且f（x）满足f(−1)=12，则（）A ．f(−12)＜f(2) B ．f(−12)＞f(2)C ．f(−12)=f(2)D ．f(12)=−16．（5分）设函数f(x)={12x −1(x ≥0)1x(x ＜0)，若f （a ）＝a ，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．﹣1C ．﹣2或﹣1D ．±1或﹣27．（5分）已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣x +1＜0的解集为（a ，b ），则2a +b 的最小值是（ ） A ．6B ．5+2√6C ．3+2√2D ．38．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）C ．2ab a+b ≤√ab （a ＞0，b ＞0）D ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞0，b ＞0）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题含解析
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）A.-4B.14-C.14D.42．在空间直角坐标系O xyz -中，已知球A 的球心为()1,0,0，且点(B -在球A 的球面上，则球A 的半径为（） A.4 B.5 C.16D.253．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,a b c （单位：cm ），这个规定用数学关系式表示为（） A.130a b c ++< B.130a b c ++> C.130a b c ++≤D.130a b c ++≥4．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于A.6πB.4π C.3π D.23π5． “2,3k k πθπ=+∈Z ”是 “sin 2θ=”的（ ） A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．已知0,0x y >> ，且11112x y +=+，则x y +的最小值为 A.3 B.5 C.7D.97．直线l ：mx y 10-+=与圆C ：22x (y 1)5+-=的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定8．已知定义在R 上的偶函数()f x ，在(,0]-∞上为减函数，且(3)0f =，则不等式(3)()0x f x +<的解集是（） A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(,3)(0,3)-∞-C.(3,0)(0,3)-⋃D.(,3)(3,3)-∞--9．已知函数()cos()0,02f x A x b πωϕωϕ⎛⎫=++>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A.()4cos 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B.()4cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C.()4cos 233f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭D.()4cos 236f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭10．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点P （-2，4），则下列不等关系正确的是（ ） A.()()12f f -< B.()()33f f -< C.()()45f f >-D.()()66f f >-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。