插值法(一)概论
插值法的原理及应用
插值法的原理及应用1. 插值法的概述插值法是数值计算和数值分析中常用的一种方法，它通过已知数据点的函数值来估计在这些数据点之间的未知函数值。
插值方法的目的是找到一个简单的函数，它可以近似地表达已知数据点的函数值，并能够在数据点之间进行插值。
插值法的原理是基于一个假设，即已知的数据点所对应的函数值在数据点之间是连续变化的。
根据这个假设，插值方法可以通过构造一个适当的插值函数来实现对未知部分的估计。
2. 插值法的基本思想插值法的基本思想是利用已知数据点构造一个插值函数，使得这个函数在已知数据点上与真实函数的函数值相等。
通过这个插值函数，就可以估计在已知数据点之间任意点的函数值。
插值法通常使用不同的插值函数来逼近真实函数，常见的插值函数有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等。
这些插值函数都有着自己特定的优点和适用范围。
3. 插值法的应用领域插值法在实际应用中具有广泛的应用领域，下面列举了几个常见的应用领域：•地理信息系统(GIS)：在地理信息系统中，插值法被用于估计未知地点的特征值，比如海拔高度、降雨量等。
通过已知地点的观测值，可以利用插值法来生成整个区域的连续表面。
•图像处理：在图像处理中，插值法被用于图像放大和缩小。
通过已知像素点的颜色值，可以使用插值法来估计未知像素点的颜色值，从而实现图像的放大和缩小。
•金融领域：在金融领域，插值法被广泛用于计算隐含利率曲线、期权价格等。
通过已有的市场数据点，可以使用插值法来估计未知数据点，从而进行金融风险管理和定价等工作。
•物理模拟：在物理模拟中，插值法被用于数值求解微分方程。
通过已知的初始条件和边界条件，可以使用插值法来逼近微分方程的解，从而对物理系统进行模拟和预测。
•数据压缩：在数据压缩中，插值法被用于图像和音频信号的离散化。
通过已知的采样点，可以使用插值法来估计未知的采样点，从而实现对信号的压缩和还原。
4. 插值法的优缺点插值法作为一种数值计算方法，具有以下优点和缺点：4.1 优点•插值法可以通过已知数据点来近似估计未知数据点的函数值，因此可以实现对连续变化的函数值的估计。
计算方法—插值法
Ln(x)须满足插值条件 Ln(xi)=yi i=0,1,2,3,…,n 即y0l0(xi)+y1l1(xi)+…+yili(xi) …+ynln(xi) = yi
为此，只需这组基函数满足：
li (x j )
ij
1 0
i j i j
2019/11/22
18
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
求插值基函数li(x)
∵ li(x0)=0,…,li(xi-1)=0,li(xi+1)=0,…,li(xn)=0
即li(x)有n个零点，x0,x1,…,xk-1,xk+1,…,xn。
li (x) c(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )
又 li (xi ) 1 c(xi x0 ) (xi xi1)(xi xi1) (xi xn ) 1 c 1/(xi x0 ) (xi xi1)(xi 与x节i1点) 有(关关xi，而xn与)f无
2019/11/22
4
2.1 引言
重要术语 对于n+1个基点的插值问题，我们称： f(x) 为被插值函数；
Chapter2 插值法
P(x)为插值函数；
x0,x1,…,xn为插值基点或插值节点； P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n为插值条件； [a,b]为插值区间。
注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对
2-1 插值多项式的唯一性
Chapter2 插值法
已知y=f(x)的函数表，且xi(i=0,1,…,n)两两互异，xi∈ [a,b]。 求次数不超过n的多项式
使得Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n
第2章_插值法
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
插值法
l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。
由条件：l0(x0) = 1，得
A
1
,
( 1 .3 )
证明 因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0,
即 x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为
.
可设
R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1).
固定任一 x，作辅助函数，令
( t ) f( t ) L 1 ( t ) k ( x ) ( t x 0 ) ( t x 1 ) ,
线性插值误差
易知满足插值条件： L1(xi) = yi , i=0,1
定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数, 若 f (x) 一阶连续可
导，f "(x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x∈(a ,b),
至少存在一点ζ∈(a,b),使得
R 1 ( x ) f( x ) L 1 ( x ) f" 2 ( !) ( x x 0 ) ( x x 1 )
则Ψ (xi )=0, i =1,2, Ψ (x)=0, 即Ψ (t)有3个零点x0, x1, x。
假定，x0 < x < x1 , 分别在[x0，x]和[x，x1]上应用洛尔 （Rolle）定理，可知， Ψ′(t)在每个区间上至少存在一个零
点，ζ1，ζ2，使Ψ′(ζ1)=0，Ψ′(ζ2)=0(此即Ψ′(t)有2个零点)。 再利用洛尔定理知， Ψ′(t)在[ζ1,ζ2]上至少有一个零点ζ， 使Ψ″ (ζ)=0。
便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。
常用的函数逼近方法有： ► 插值法； ► 最小二乘法（或称均方逼近）； ► 一致逼近等。
1插值法
1 x1
2 x1
1 xn
2 xn
n x0
n x1
n xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
§1.1 引言
（预备知识3 ）泰勒(Taylor)公式
设f ( x)在包含x0的(a, b)内具有直到n阶导数， 当x (a, b)时有： f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
§1.1 引言
一. 问题提出：
表示两个变量x,
y内在关系，一般由函数式 y = f(x) 表
达。但在实际问题中，有两种情况： 1. 由实验观测而得的一组离散数据(函数表) , 显然这 种函数关系式 y = f(x) 存在且连续, 但未知。 2. 函数解析表达式已知, 但计算复杂, 不便使用。通常
2点L公式
§1.2 Lagrange 插值
容易验证，过点 (x0, y0) 与 (x1, y1) 直线方程就是上 式 ，如下图所示。
y
误差
y (x ) f (x )
f (x ) y (x )
x0
x1
x
§1.2 Lagrange 插值
二. 抛物线插值(三点插值)
已知三个插值节点及其函数值：
§1.1 引言
插值公式
y i yi
n
(1)
(2)
近似关系式 f ( x)
i 0
i 0 n
i
计算方法——插值法综述
计算方法——插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。
有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。
解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ϕ逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ϕ的函数值近似替代)(x f 的函数值。
插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ϕ作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即⎩⎨⎧≠==k i ki x l i k 01)( （1.1）上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设)())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得)())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-（1.2）故 )())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+-（1.3）由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
第1章 插值法_xin
pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) （2.3）
事实上，由于每个插值基函数 lk ( x)(k 0,1,, n) 都是n次 多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时， xi 根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值 为 yi i 0,1,, n ，因此，它就是待求的n次插值多项式Pn x 。 形如(2.3)的插值多项式称为Lagrange插值多项式，记为
y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
y f x
0
x
0
图3
x
1
x
115 L1 (115) 10 *
115 121 115 100 11* 10.714 100 121 121 100
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
将所得结果与 115 的精确值10.7238…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改 写成公式（2.8）的对称形式
编程框图如图4，可用二重循环来完成 Ln (x)值的计算，先通过内 循环，即先固定k，令 j 从 0到 n ( j k ) ，累乘求得
8
（2) Taylor余项
f ( n1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x x0 ) n1 , [a, b] (n 1)!
（3) Taylor插值 求做n次多项式 pn ( x) ，使满足
( pnk ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ), k 0,1,, n
有的函数解析表达式过于复杂，不便直接使用；
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分段插值函数
• 将插值区间多个子区间，在每个子区间 上均为线性函数，表示为：
f (x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
分段多项式
Lk
(x)
x
xk x
xk
xk 1
xk 1 xk 1
xk 1
, ,
0,
xk1 x xk
xk x xk1
Lagrange插值函数
• 用每一个yi和一个含x的（n-1）次多项式 乘积的线性组合。
n
f (x) Lk (x) yk k 1
k 1,2,n
Lagrange插值多项式
Lk
(x)
(x x1)(x (xk x1)(xk
xk1)(x xk1)(x xk1)(xk xk1)(xk
xn ) xn
• 二次插值公式为：
L2 (x)
2
lk (x) yk
k 0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x (x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
f (0.25) (0.25 0.5)(0.25 1) 1 (0.25 0)(0.25 1) (1.648721)
插值法
插值法
• 插值法是对一系列有限数据拟合出一条 平滑曲线的过程。
• 按照所提供数据的类型及期望得到结果 的型式，将插值法分为两类：
– 标准插值法 – 最小二乘插值法
插值法基本问题的描述
• 给出一组数据点(xi,yi), i=1,2,…,n,要求构造 出一平滑曲线f(x)，使其通过这些数据点。
很少作为独立方法应用
• Lagrange插值法能够提供所构造的插 值函数滑顺程度有限。
• 改进的方法
– 分段插值 – Hermite插值法
分段插值
• 高次插值的Runge现象。函数在进行高次 Lagrange插值时，表现为区间两端点处误 差很大的现象。
• 大范围内使用高次插值，逼近的效果往 往不理想，故应采用分段低次插值
实际误差为：0.0123 估计误差约等于实际误差的两倍，结果不算太坏。
内插与外插（外推）
• 在给定的点x，计算出插值公式的值作为 f(x)的近似值，此过程称为插值，点x称为 插值点；若插值点x位于插值区间之内， 此种插值过程称为内插，否则称为外插 （或外推）。
• 在例1中，若插值区间相同，在x=-0.25处 插值，可求得f(x)=0.83345，与精确值 0.77880相比，误差等于0.055。
(0 0.5)(0 1)
(0.5 0)(0.5 1)
(0.25 0)(0.25 0.5) (2.718282) 1.271756 (1 0)(1 0.5)
e1 F (0.25) 2.71828 (0.25 0)(0.25 0.5)(0.25 1) 0.0212
3!
6
精确值为： e0.25 1.2840254
Lagrange插值法
• 通过给定数据点，可构造线性多项式函 数：
•
f (x)
得到
an1x n1
an2
xn2
a1xΒιβλιοθήκη a0an1xi n1 an2 xi n2 a1xi a0 yi i 1,2,n
典型线性方程组求解的问题
• 当n>4或n>5时求解要借助于计算机； • 当n>5，时方程可能为病态； • 不能具有紧凑格式的表达式。
• 该误差值为x=0.25处插值实际误差的四倍 多
• 可以看出，Lagrange插值法用于外推较内 插结果相差很大。
• 对函数ex用五点插值比用三点插值要好
• 五点插值时，误差均较小，仍发出波动 分布，误差最大值出现在插值区间两端 点附近。
• 最大误差相对于所 用插值节点数的变 化曲线。
• n较大时，估计误 差小于实际误差。
k 1
k 1
• 其中Uk(x)和Vk(x)分别是（2n-1）次多项式， 具有如下特性：
• 方法本身问题。
例2
• 选用正弦函数sin2πx，在0<x<1区间的插值 问题。
• 给出四点插值和七点插值结果。
• 最大误差远大于指数函数的最大误 差值。
• 多项式插值函数拟合波动函数比拟 合平滑函数要困难。
• 相对于插值节点数 的最大误差曲线。
• 是非一条平滑曲线， 原因是在正弦曲线 上节点位置的选择 非常重要。
对插值曲线的要求
• 由问题的陈述，必须满足
f (xi ) yi
i 1,2,, n
• 函数必须容易定值。
• 应该容易进行微分和积分。
• 应具有线性可调参数。
• Lagrange插值法 • Hermite插值法 • 样条（Splines）插值法 • 拉力样条（Tension Spline）插值法 • 参量插值法和多维插值法
)
且满足：
Lk
(x
j
)
kj
1, 0,
j k, j k.
误差分析
• 实际误差 • 估计误差
y(n) ( ) F (x)
n!
x1 xn
F (x) (x x`1)(x x2 )(x xn )
例1
• 选定函数ex，0<x<1,给定x=0,x=0.5,x=1，求 x=0.25处的插值。
• 其误差更加增大，且更集中在曲率大 的局域内。
• 随节点数增加最大误差下降愈加缓慢。
多项式插值法的重要特性
• 插值曲线必在精确值附近上下波动 • 逼近平滑函数较逼近波动函数或具有集
中曲率函数能获得更高的精度 • 大于三点或四点的Lagrange插值法很少应
用 • Lagrange插值法是其它许多方法的基础，
a,b xk1, xk1,
k 1,2,, n 1
整个区间使用Lagrange插值函数
Hermite插值法
• 给出n个互异节点x1,x2,…xn处的函数值yi和 导数值yi’，寻求一个与所有节点数据协 调的（2n-1）次多项式。
Hermite插值函数
n
n
f (x) Uk (x) yk Vk (x) yk'
例3
• 选用具有密集曲率的函数，典型的超椭 圆方程，其用于圆形截面与正方形截面 间的整形。
y
(1
xm
)
1 m
• 当m取较大时，曲线几乎表示一个正方形
• m=2时，方程为圆方程。
• 其误差值远大于指数函数的误差值，且 集中是x=1附近。
• 随节点数增加最大误差下降很慢。
• m=4时，结果于2时规律类似。