等腰三角形的性质与判定ppt课件
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等腰三角形的复习ppt课件
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
等腰三角形课件PPT
等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
等腰三角形判定PPT
如果EG∥BC？
A
倍 速
E
F
G
课
时
学 练
B
C
思考拓展
• 1、如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点 O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE
提示：∵ DE//BC
∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
倍
∴∠DBO=∠DOB=∠OBC,∠ECO=∠EOC=∠OCB D
等边三角形的判定方法:
• 1.三边相等的三角形是等边三角形.
• 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三 角形.
倍 速
• 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等
课 时
边三角形.
学
练
例1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°. 分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些 等腰三角形.
(同学们自已完成证明.)
倍
Ａ
速
课
时
学
练
Ｂ
Ｃ
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
C
AD=AD
D
倍
速 课
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
时 学
∴AB=AC（全等三角形的对应边
练
相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？
1.等腰三角形的两腰相等.
A
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）.
等腰三角形的性质和判定PPT教学课件
并
S联
分支点： 在并联电路中，用电器之间的
连接点M和N叫做电路的分支点。
干路： 电源两极到两个分支点的部分
电路是干路。
支路： 两个分支点间的各条电路是支路。
观察与实验：小灯泡的并联
S
（1）在你连接的并联电路中，改变开关位置， 如分别接在上图中A、B、C的位置，闭合或断开 开关，灯泡的发光情况会怎样？ （2）如果取下一个小灯泡后闭合开关，另一个 小灯泡还能发光吗？
电吹风的开关接触2 、3时吹 冷 风； 如果接触 3、4 时就吹热风；如果
接触1 、 2电吹风就 不吹风 了。
怎么想
怎么写
要想证明∠B=∠C，
只要证△ABD≌△ACD，
只需有AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD．
A BD C
等腰三角形的两个底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C．
证明:作∠BAC的平分线AD.
A
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC(已知)，
∠BAD=∠CAD(辅助线画法)，
2、如图，BO平分∠CBA, CO平分∠ABC, 且 MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长。
学有所获
操作得到的 结论
证明
发现 操作过程
证明思路 逆过来 (怎么想)
等腰三角形 的性质定理 和判定定理
证明思路(作 辅助线的方 法)
证明过程 (怎么写)
第十一章 电流和电路
求证： AB=AC ． ． E
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，
∠DAC=∠C．
Ａ
D
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠EAD=∠DAC． Ｂ
13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)
两角相等 的三角形
互为逆命题
等腰三角形的判定 方法
基本模型
A
B
C
等腰三角形的判定定理是证明 线段相等的一种重要 的方法
等腰三角形性质与判定 的区分
等
腰
变式模型
三 角 形 的 判
A
3
D
21
定
B
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：A⊿BA=BACC等腰三角形
证明：经过点A作AD⊥BC，垂足为D. A
∴ ∠1= ∠2=90°
练习 在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A （2）线段BM、CN与MN 的长度有什么关系？
M 3 1
O
6
N
∴MN=BM+CN
5
2
4
B
C
（3） ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？
∵ ΔAMN的周长= AM+MN+AN
=AM+
+AN
=AB +AC
两边相等 的三角形
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看： 要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD.
13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)
1 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角形的是( ) A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
2 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则 图中的等腰三角形有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分 成两个小等腰三角形的是( )
等腰三角形的两种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相 等的三角形是等腰三角形”来判定． (2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个 三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等” 来证明．
例2 如图13.3-10，在△ABC中，∠ABC，∠CAB 的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别 交BC，AC于点D，E. 求证：DE＝BD＋AE.
图13.3-10
导引：要证： DE＝BD＋AE ，而由图13.3-10知 DE＝DP＋PE.因此只需证： BD＋AE＝DP＋PE即可． 即需证BD＝DP，AE＝PE， 而要证这两边相等，只需证明它们所对的角 相等；因此我们可以从证角相等作为切入口 进行证明．
性质
等边
等角．
判定
例3 如图13.3-11，在△ABC中，AB＝AC，EF交 AB
于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且
BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE
和DF为对应边的全等三角形，
不妨过点E作EG∥AC交BC于
点G，则只要证明△EDG≌
△FDC即可，缺少的条件可
3 (中考·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB ＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取 BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
《等腰三角形的性质》ppt课件
若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
等腰三角形及其性质课件
因为$BD$平分$angle ABC$，$CE$平分$angle ACB$，所以$angle ABD = angle ACE$。
20
等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
28
构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
36
THANKS
20
等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
28
构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
36
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.
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
例
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中
另解:因为等腰点三, ∠角B=形3的0°“，三求线∠合1和∠ADC的度A 数.
一”，所以AD是△ABC的顶 角平分线、底边上的高，即
∠1= ∠2， ∠ADC=90°
·1 2 ·
∟
B
30°· D
C
因为∠BAC=180°- 30°- 30°= 120°
证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC
上的中线).那么有什么结论?
AD⊥BC(AD是底边上的高),
BD C
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.
简称“等腰三角形三线合一”
.
等腰三角形三线合一性质应用的几何语言， 如图所示，在△ABC中
A （1）∵ AB=AC ，AD⊥BC，
∴∠_B_A_D_ = ∠_C_A_D_，_B_D_= _C_D_
所以 ∠1= ∠BAC
120°
=
=60°.
2
2
答: ∠1为60°, ∠ADC为90°.
.
填空题:
1.等腰三角形的腰长等于9,另一边长等于4,
2.那么周长=____2_2______.
2. 等腰三角形的腰长等于另一边的2倍,周长为30,
那么它的各边长分别为__1_2_，___1_2_，___6_. .
中哪些线段相等?
A
A
(1)
A
(2)
(3)
E
F
E
F
E
(4)
(5)
BD C
DE、DF分别是∠ADB、 ∠ADC 的角平分线
A
B
DC
BD C
DE、DF分别是AB、 AD上任意一点与B、C
AC边上的中线
的连接线
A
A
E
F
EF
B
C
等腰三角形两腰上
的中线相等
B
C
等腰三角形两底角
平分线相等 .
E
F
B
C
等腰三角形两腰上的高
.
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在⊿BAD和⊿CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
A≌ ⊿CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
.
推论1证明
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
A
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
B
C
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
.
推论2证明 问题：如果一个等腰三角形中有一个角 是60°，那么这个三角形是什么三角形？
第一种情况：当顶角是600时。 第二种情况：当底角是600时。
.
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。 求证：AB=AC=BC
相等
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为___4_0__°.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,_4_0_°__或__5_5_°__,5_5_°.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为__3_5_°__，__3_5__°.
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
相等的角: ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
依据: 轴对称变换的性质—轴
对称变换不改变图形的 B
形状和大小.
.
C D
已知:AB=AC ,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
结论: 1. ∠ B =∠ C
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线
3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
问题:由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用
文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等.
A
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
BD C
.
如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高).
那么有什么结论?
A
BD=CD(AD是底边上的中线),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边
A
B
D
.
探究:
如图,已知∠ABC=20°,BD=DE=EF=FG. ∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线有 几条?
若∠ABC=10°呢?试一试,并说明理由.
A
F D
B
EG
C
.
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿 实线剪开,再把它展开,得到的△ABC是等腰三角形吗?
C
A
D
B
.
利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形
等腰三角 形的性质
与判定 .
.
.
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
是什么? 所得的像是△ACD
A (2)找出图中的全等三角形以及所有相等 的线段和相等的角.你的依据是什么? △ABD≌△ACD
相等的线段:AB=AC,BD=CD
3. 等腰三角形的一边长比腰长多2cm,周长等于29cm,
则三边长分别为____9_，___9_，__1_1_.____.
.
填空题:
4. 正三角形的边长等于8,则周长等于_______2_4_____. 5. 等边三角形的周长等于72cm,则边长=_____2_4________. 6. 等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为____1_7______.
（2）∵ AB=AC ， AD是中线，
BD
C ∴A__D_⊥B__C_ ，∠B__A_D_ =∠C_A__D_ （3）∵ AB=AC ， AD是角平分线，
∴_A_D_ ⊥_B_C_ ，_B_D_ =_C_D_
.
性质运用一：生活实际
课本引例：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
3、这个命题正确吗？你能证明吗？
.
自学指导： 阅读课本P73—74内容，思考并回答下列问题： ➢等腰三角形的判定定理 与性质定理有何不 同？
➢等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是 否一样？
➢两个推论 是怎样得到的？你有什么新的发 现吗？
➢8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例 题 类似的练习。
7. 在等腰三角形中,一个内角为30°,则另外两个内角为
7_5_°___, _7_5_°__或____或. 30°,120°
.
一、复习： 1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角） 2、这个定理的逆命题是什么？
如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
例
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中
另解:因为等腰点三, ∠角B=形3的0°“，三求线∠合1和∠ADC的度A 数.
一”，所以AD是△ABC的顶 角平分线、底边上的高，即
∠1= ∠2， ∠ADC=90°
·1 2 ·
∟
B
30°· D
C
因为∠BAC=180°- 30°- 30°= 120°
证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC
上的中线).那么有什么结论?
AD⊥BC(AD是底边上的高),
BD C
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.
简称“等腰三角形三线合一”
.
等腰三角形三线合一性质应用的几何语言， 如图所示，在△ABC中
A （1）∵ AB=AC ，AD⊥BC，
∴∠_B_A_D_ = ∠_C_A_D_，_B_D_= _C_D_
所以 ∠1= ∠BAC
120°
=
=60°.
2
2
答: ∠1为60°, ∠ADC为90°.
.
填空题:
1.等腰三角形的腰长等于9,另一边长等于4,
2.那么周长=____2_2______.
2. 等腰三角形的腰长等于另一边的2倍,周长为30,
那么它的各边长分别为__1_2_，___1_2_，___6_. .
中哪些线段相等?
A
A
(1)
A
(2)
(3)
E
F
E
F
E
(4)
(5)
BD C
DE、DF分别是∠ADB、 ∠ADC 的角平分线
A
B
DC
BD C
DE、DF分别是AB、 AD上任意一点与B、C
AC边上的中线
的连接线
A
A
E
F
EF
B
C
等腰三角形两腰上
的中线相等
B
C
等腰三角形两底角
平分线相等 .
E
F
B
C
等腰三角形两腰上的高
.
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在⊿BAD和⊿CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
A≌ ⊿CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
.
推论1证明
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
A
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
B
C
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
.
推论2证明 问题：如果一个等腰三角形中有一个角 是60°，那么这个三角形是什么三角形？
第一种情况：当顶角是600时。 第二种情况：当底角是600时。
.
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。 求证：AB=AC=BC
相等
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为___4_0__°.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,_4_0_°__或__5_5_°__,5_5_°.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为__3_5_°__，__3_5__°.
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
相等的角: ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
依据: 轴对称变换的性质—轴
对称变换不改变图形的 B
形状和大小.
.
C D
已知:AB=AC ,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
结论: 1. ∠ B =∠ C
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线
3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
问题:由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用
文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等.
A
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
BD C
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如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高).
那么有什么结论?
A
BD=CD(AD是底边上的中线),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边
A
B
D
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探究:
如图,已知∠ABC=20°,BD=DE=EF=FG. ∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线有 几条?
若∠ABC=10°呢?试一试,并说明理由.
A
F D
B
EG
C
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如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿 实线剪开,再把它展开,得到的△ABC是等腰三角形吗?
C
A
D
B
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利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形
等腰三角 形的性质
与判定 .
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在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
是什么? 所得的像是△ACD
A (2)找出图中的全等三角形以及所有相等 的线段和相等的角.你的依据是什么? △ABD≌△ACD
相等的线段:AB=AC,BD=CD
3. 等腰三角形的一边长比腰长多2cm,周长等于29cm,
则三边长分别为____9_，___9_，__1_1_.____.
.
填空题:
4. 正三角形的边长等于8,则周长等于_______2_4_____. 5. 等边三角形的周长等于72cm,则边长=_____2_4________. 6. 等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为____1_7______.
（2）∵ AB=AC ， AD是中线，
BD
C ∴A__D_⊥B__C_ ，∠B__A_D_ =∠C_A__D_ （3）∵ AB=AC ， AD是角平分线，
∴_A_D_ ⊥_B_C_ ，_B_D_ =_C_D_
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性质运用一：生活实际
课本引例：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
3、这个命题正确吗？你能证明吗？
.
自学指导： 阅读课本P73—74内容，思考并回答下列问题： ➢等腰三角形的判定定理 与性质定理有何不 同？
➢等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是 否一样？
➢两个推论 是怎样得到的？你有什么新的发 现吗？
➢8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例 题 类似的练习。
7. 在等腰三角形中,一个内角为30°,则另外两个内角为
7_5_°___, _7_5_°__或____或. 30°,120°
.
一、复习： 1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角） 2、这个定理的逆命题是什么？
如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。