惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)

惠州市2020届高三第二次调研考试

数学（理科）

数学（理科）参考答案

一、选择题：

1．【解析】1,|22M x x N x x =>=-≤≤，所以12M

N =，，故选C ．

2．【解析】(1)z 1i i +=-，21(1)2z 1(1)(1)2

i i i

i i i i ---=

===-++-，z 的共轭复数为z i =，故选B ． 3．【解析】11

121

n n n n S a n S a --=-⎧≥⎨=-⎩时，，两式相减，整理得11

1

,,2a =∴ 所以{}n a 是首项为12，公比为1

2的等比数列，5

51112231132

12

S ⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=

=-，故选D ．

4．【解析】代数法：2

2

2

cos ,22

(2a a a 鬃-?-<>=

=

=

=

=-×--?b c b c b c

b b

,故选A. 几何法：

5．【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，6.,π2α-≤≤ 2sin 233

9∴⎝⎭，故选A. 7．【解析】如图：

，由集合的包含关系可知选A ．

8．【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中

4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：

21231

22

C =．故选C ． 9．【解析】解法一：定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，故排除A ；(100)0f >，排除C ；1

()0100

f >，排除D ；故选B ．

解法二：设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，'

1()1g x x

=-

，当(1,)x ∈+∞，'

()0g x >，()g x 单调增，当(0,1)x ∈，'

()0g x <，()g x 单调减，则()(1)0g x g ≥=．

故1

()ln 1

f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，且()f x 在(0,1)x ∈上单调增，(1,)

x ∈+∞上单调减，()0f x >，故选B ．

解法三：1

()ln 1

f x x x =

--定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，故排除A ；

当0x →时，()1

ln 1,0ln 1x x x x --→+∞∴

>--，排除D ； 当x →+∞时，1

ln 10,0ln 1

x x x x -->∴

>--，排除C ；故选B ． 10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为1212

,c c

e e a a ==，设12,PF x PF y ==，

由椭圆、双曲线定义得112

212

2,2x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧∴⎨

⎨

-==-⎩⎩，在12PF F ∆中，由余弦定理得 ()()()

222222

12

0121222122421cos cos 60,,3.222a a c x y c F PF a a xy a a +-+-∠==∴=∴=-

又222121222122

1,,3,c c c

e e a a c a c e a a a ⋅=

⋅=∴=∴=∴==故选A. 11. 【解析】①1

3

D ABC ABC V S h -∆=⋅，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此

时体积最大值为111

1324

D ABC V -=⨯⨯=，①错误；②设AC 的中点为O ，则由,Rt ABC Rt ADC ∆∆知，OA OB OC OD ===，所以O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，其

半径为112AC =，所以外接球体积为4

3

π，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；

③由①的解析过程知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面

角D AC B --的大小是0

90，③错误；④当ADC ∆沿对角线AC 进行翻折到使点D 与点B 的

，

即BD =在BCD ∆中，222BC BD CD =+，所以CD BD ⊥，又C D A D ⊥，

翻折后此垂直关系没有变，所以CD ⊥平面ABD ，所以CD AB ⊥，即异面直线AB 与CD 所

成角的最大值为0

90，④正确. 故选C ．

12．【解析】当()2x k k Z m πππ=+∈，即21

2

k x m +=时，()f x

取得极值

存在0x 使[]2

2020)(m x f x <+成立，亦即存在k 使()()22123120k k m -++<成立，

因此，只需()()2123k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以

23120m -+<，

即2

4m >，所以()(),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故选C ．

二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。 13．3

1 14．3

2 15.

4（3分）

，1

2

（2分） 16．[]14， 【16题注】①求出的范围区间端点开闭错误不给分。 ②写成：12

1114PF PF ≤

+≤、{}|14λλ≤≤（集合元素一般形式用题目以外的字母表示）不扣分。 ③写成以下四种形式不给分：{}|14x x ≤≤，{}|14y y ≤≤，{}|14a a ≤≤，{}|14b b ≤≤。 13．【解析】

()()'2'11

3,1312,.3

f x ax f a a x =+∴=+=∴=